Групповые алгебры и модули над ними

Является ли алгебра кватернионов вещественной групповой алгеброй:

Пусть $V$ — векторное пространство над полем $F$ с базисом $\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right), \varphi : F\left[\mathbf{S}_{3}\right] \rightarrow \operatorname {End} V$ — гомоморфизм, где $\varphi (\sigma )\left(e_{i}\right)=e_{\sigma (i)}$ для всех $\sigma \in \mathbf{S}_{3}(i=1,2,3)$. Найти размерность ядра и размерность образа гомоморфизма $\varphi$.

Найти базис ядра гомоморфизма $\varphi : \mathbb {C}\left(\langle a\rangle_{n}\right) \rightarrow \mathbb {C}$, при котором $\varphi (a)=\varepsilon$, где $\varepsilon$ — корень степени $n$ из 1.

Пусть группа $H$ изоморфна факторгруппе группы $G$. Доказать, что $F[H]$ изоморфна факторалгебре алгебры $F[G]$.

Пусть $G=G_{1} \times G_{2}$. Доказать, что в

Пусть $G$ — конечная группа, $R$ — множество отображений из $G$ в поле $F$. Определим на $R$ операции, полагая для $f_{1}, f_{2} \in R$

Доказать, что $R$ — алгебра над полем $F$ и отображение

из $R$ в $F[G]$ — изоморфизм алгебр.

Доказать, что если группа $G$ содержит элементы конечного порядка, то групповая алгебра $F[G]$ имеет делители нуля.

Доказать, что всякий неприводимый $F[G]$-модуль изоморфен фактормодулю регулярного $F[G]$-модуля.

Найти все коммутативные двусторонние идеалы групповой алгебры $\mathbb {C}^{G}$ для:

Найти все элементы $x$ групповой алгебры $F[G]$, удовлетворяющие условию $x g=x$ при любом $g \in G$.

Найти базис центра групповой алгебры групп:

Доказать, что в групповой алгебре $A$ свободной абелевой группы ранга $r$ нет делителей нуля. Поле частных для $A$ изоморфно полю рациональных дробей от $r$ переменных.

Пусть $A$ — кольцо, $V$ - $A$-модуль и $V=U \oplus W$, причём $U$ — неприводимый модуль и в $W$ нет подмодулей, изоморфных $U$. Доказать, что если $\alpha$ — автоморфизм модуля $V$, то $\alpha (U)=U$.

Пусть $A$ — кольцо, $A$-модуль $V$ разложен в прямую сумму подмодулей $V=U \oplus W, \varphi : U \rightarrow W$ — гомоморфизм $A$-модулей. Доказать, что $U_{1}=\left\{ x+\varphi (x) \mid x \in U\right\}$ есть $A$-подмодуль в $V$, изоморфный $U$, и $V=U_{1} \oplus W$.

Пусть $A$ — полупростая конечномерная алгебра над $\mathbb {C}$ и $A$-модуль $V$ разлагается в прямую сумму попарно неизоморфных неприводимых $A$-модулей: $V=V_{1} \oplus \ldots \oplus V_{k}$. Найти группу автоморфизмов модуля $V$.

Пусть $A$ — полупростая конечномерная алгебра над $\mathbb {C}$ и $A$ модуль $V$ есть прямая сумма двух изоморфных неприводимых $A$-модулей. Доказать, что группа автоморфизмов $A$-модуля $V$ изоморфна $\mathbf{G} \mathbf{L}_{2}(\mathbb {C})$.

Пусть $A$ — полупростая конечномерная алгебра над $\mathbb {C}$ и $V-A$-модуль, конечномерный над $\mathbb {C}$. Доказать, что $V$ имеет конечное число $A$-подмодулей тогда и только тогда, когда он является прямой суммой попарно неизоморфных неприводимых $A$-модулей.

Пусть $G$ — конечная группа, $F$ — поле характеристики 0 и групповая алгебра $A=F[G]$ рассматривается как левый модуль над собой. Доказать, что для любого его подмодуля $U$ и гомоморфизма $A$-модулей $\varphi : U \rightarrow A$ существует такой элемент $a \in A$, что $\varphi (u)=u a$ для всех $u \in U$.

Для каких конечных групп комплексная групповая алгебра является простой?

Пусть $A=F[G]$ ($F$ — поле), $G$ — конечная группа порядка $n>1$, и для $n \cdot 1 \neq 0$ положим

Доказать, что $A e_{1}$ и $A e_{2}$ — собственные двусторонние идеалы и $A=A e_{1} \oplus A e_{2}$.

Доказать, что равенство

в групповой алгебре $F[G]$ задает на пространстве $F[G]$ симметрическую билинейную функцию и ядро этой функции $f$ — двусторонний идеал в $F[G]$.

Пусть $G$ — конечная группа, $f$ — билинейная функция на $\mathbb {R}^{G}$, определенная в задаче 71.21. Доказать, что $f$ невырождена, и найти сигнатуру функции $f$ для групп:

Пусть $H$ — подгруппа группы $G$ и $\omega (H)$ — левый идеал в $F[G]$, минимальный среди левых идеалов, содержащих $\left\{ h-1 \mid h \in H\right\}$. Доказать, что если $H$ — нормальная подгруппа, то идеал $\omega (H)$ двусторонний.

Разложить в прямую сумму полей групповые алгебры группы $\langle a\rangle_{3}$ над полями вещественных и комплексных чисел.

Доказать, что $\mathbb {Q}\left[\langle a\rangle_{p}\right]$ ($p$ — простое число) есть прямая сумма двух двусторонних идеалов, один из которых изоморфен $\mathbb {Q}$, а другой $\mathbb {Q}(\varepsilon )$, где $\varepsilon$ — первообразный корень степени $p$ из 1.

Пусть $G$ — конечная группа, $\operatorname {char} F$ не делит $\left|G\right|, I$ — идеал в $F[G]$. Доказать, что $I^{2}=I$.

Найти идемпотенты и минимальные идеалы в кольцах:

Пусть $G$ — конечная группа. Доказать, что при любом $a \in \mathbb {C}^{G}$ уравнение $a=a x a$ разрешимо в $\mathbb {C}^{G}$.

Сколько различных двусторонних идеалов в алгебре:

Для каких конечных групп $G$ групповая алгебра $\mathbb {C}^{G}$ является прямой суммой $n$ матричных алгебр, если:

Пусть $G$ — группа, $A$ — алгебра над полем $F$ с единицей, $\varphi$ — гомоморфизм $G \rightarrow A^{*}$. Доказать, что существует единственный гомоморфизм $F[G] \rightarrow A$, ограничение которого на $G$ совпадает с $\varphi$.

Доказать, что если char $F$ не делит порядка конечной группы $G$, то любой двусторонний идеал групповой алгебры $F[G]$ является кольцом с единицей. Верно ли это утверждение для произвольных алгебр с единицей?

Пусть $F$ — поле характеристики $p>0, p$ делит порядок конечной группы $G$ и

Доказать, что $F[G] u$ — подмодуль левого регулярного модуля, не выделяющийся прямым слагаемым.

Пусть $G=\langle a\rangle_{p}, F$ — поле характеристики $p, \Phi : G \rightarrow \mathbf{G L}_{2}(F)$, где

• представление группы $G$. Указать такой $F[G]$ подмодуль $U$ регулярного представления $V=F[G]$, что представление $G$ на $V / U$ изоморфно $\Phi$. При каких $p$ представление $\Phi$ изоморфно регулярному представлению?

Доказать, что алгебра $\mathbb {F}_{2}\left[\langle a\rangle_{2}\right]$ не является прямой суммой минимальных левых идеалов.

Пусть $H-p$-группа, являющаяся нормальной подгруппой в конечной группе $G, F$ — поле характеристики $p$.

Доказать, что все идеалы групповой алгебры бесконечной циклической группы главные.

Доказать, что циклический модуль над алгеброй $F\left[\langle a\rangle_{\infty }\right]$ либо конечномерен над $F$, либо изоморфен левому регулярному $F\left[\langle a\rangle_{\infty }\right]$-модулю.

Пусть $A=\mathbb {C}\left[\langle g\rangle_{\infty }\right], P=A x_{1} \oplus A x_{2}$ — свободный $A$-модуль с базисом $\left(x_{1}, x_{2}\right), H$ — подмодуль, порожденный в $P$ элементами $h_{1}, h_{2}$. Разложить $P / H$ в прямую сумму циклических $A$-модулей и найти их размерности, если:

Пусть $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ — линейные операторы на $V=F[x], \mathcal{A}(f(x))=f^{\prime }(x), \mathcal{B}(f(x))=x f(x)$. Доказать, что отображение $\varphi : g \mapsto \mathcal{A B}$ продолжается до гомоморфизма $F\left[\langle g\rangle_{\infty }\right] \rightarrow \operatorname {End} V$, и найти $\operatorname {Ker} \varphi$.

Пусть $M$ — максимальный идеал алгебры $A=F\left[\langle a\rangle_{\infty }\right]$ и $r=\operatorname {dim}_{F}(A / M)$.

Доказать, что:

Доказать, что групповая алгебра свободной абелевой группы конечного ранга является нётеровой.

Доказать, что в групповой алгебре свободной абелевой группы конечного ранга справедлива теорема о существовании и единственности разложения на простые множители.

Разложить в произведение простых множителей элемент групповой алгебры $A=\mathbb {C}^{G}$ свободной абелевой группы $G$ с бази$\operatorname {com}\left(g_{1}, g_{2}\right)$ :

Пусть $G$ — свободная абелева группа с базисом $\left(g_{1}, g_{2}\right)$. Найти факторалгебру групповой алгебры $A=F[G]$ по идеалу $I$, порожденному элементами:

Доказать, что если группа $G$ конечна и алгебра $\mathbb {C}^{G}$ не имеет нильпотентных элементов, то $G$ коммутативна.

Пусть $H$ — нормальная подгруппа в группе $G, V$ — некоторый $F[G]$-модуль и $(H-1) V$ — линейная оболочка элементов вида $(h-1) v$, где $h \in H, v \in V$.

Доказать, что:

Доказать, что комплексные групповые алгебры групп $\mathbf{D}_{4}$ и $\mathbf{Q}_{8}$ изоморфны.

Найти число попарно неизоморфных комплексных групповых алгебр размерности 12.

Доказать, что число слагаемых в разложении групповой алгебры симметрической группы $\mathbf{S}_{n}$ над полем $\mathbb {C}$ в прямую сумму матричных алгебр равно числу представлений числа $n$ в виде

где $n_{1} \geqslant n_{2} \geqslant \ldots \geqslant n_{k}>0$.