Множества и отображения

Пусть $\Omega =\left\{ +,-,++,+-,-+,--,+++, \ldots \right\} -$ множество всех конечных последовательностей плюсов и минусов, а $f: \Omega \rightarrow \Omega$ — преобразование, переводящее элемент $\omega =\omega_{1} \omega_{2} \ldots \omega_{n} \in \Omega$ в $\omega^{\prime }=\omega_{1} \dot{\omega }_{1} \omega_{2} \dot{\omega }_{2} \ldots \omega_{n} \dot{\omega }_{n}$, где $\dot{\omega }_{k}=-$, если $\omega_{k}=+$, и $\dot{\omega }_{k}=+$, если $\omega_{k}=-$. Показать, что в $f(f \omega )$ любой отрезок длины $>4$ содержит ++ или --.

Имеет ли отображение $f: \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$, заданное правилом $n \mapsto n^{2}$, правое обратное? Указать для $f$ два левых обратных отображения.

Пусть $f: X \rightarrow Y$ — отображение и $S, T$ — подмножества в $X$. Показать, что

Привести пример, показывающий, что последнее включение нельзя, вообще говоря, заменить равенством.

Множество всех подмножеств множества $S$ обозначается

Если, например, $S=\left\{ s_{1}, s_{2}, \ldots , s_{n}\right\}$ — конечное множество из $n$ элементов, то $\mathcal{P}(S)$ состоит из пустого множества $\varnothing , n$ одноэлементных множеств $\left\{ s_{1}\right\} ,\left\{ s_{2}\right\} , \ldots \left\{ s_{n}\right\} , n(n-1) / 2$ двухэлементных множеств $\left\{ s_{i}, s_{j}\right\} , 1 \leqslant i<j \leqslant n$, и т.д. вплоть до $T=S$. Какова мощность множества $\mathcal{P}(S)$?

Пусть $f: X \rightarrow Y$ — отображение и $b=f(a)$ для некоторого $a \in X$. Прообраз

иногда называют ещё слоем над элементом $b \in \operatorname {Im} f$. Показать, что всё множество $X$ является объединением непересекающихся слоёв (т.е. разбиением множества $X$).

Предупреждение. Обозначение $f^{-1}(b)$ не следует ассоциировать с обратным отображением, которого может и не быть.

Показать, что конечная декартова степень счётного множества является счётным множеством.

$S \triangle T$

Рис. 6

Симметрическая разность двух множеств $S$ и $T$ обозначается $S \triangle T$ : $S \triangle T=(S \backslash T) \cup (T \backslash S)$ (рис. 6). Показать, что $S \backslash T=(S \cup T) \backslash (S \cap T)$.