Отношения эквивалентности. Факторизация отображений

Показать, что фактормножество $\mathbb {R}^{2} / \sim$, получающееся из рис. 8, и любая прямая $l$, пересекающая ось $O x$, находятся в биективном соответствии.

Положить $P(x, y) \sim P\left(x^{\prime }, y^{\prime }\right)$ для точек вещественной координатной плоскости $\mathbb {R}^{2}$ в точности тогда, когда $x^{\prime }-x \in \mathbb {Z}$ и $y^{\prime }-y \in \mathbb {Z}$. Доказать, что $\sim$ является отношением эквивалентности и что фактормножество $\mathbb {R}^{2} / \sim$ геометрически изображается точками на торе (поверхности бублика; рис. 11).

Рис. 11

Показать, что множества из двух, трех и четырёх элементов имеют соответственно 2,5 и 15 различных фактормножеств.

Пусть $\sim$ — отношение эквивалентности на множестве $X$ и $f: X \rightarrow Y-$ отображение, для которого

Показать, что это условие совместимости $f$ с $\sim$ (более слабое, чем рассмотренное в п. 2) позволяет правильно определить индуцированное отображение $\bar{f}: \bar{x} \mapsto f(x)$ из $X / \sim$ в $Y$, приводящее к факторизации $f=\bar{f} \cdot p$, но $\bar{f}$ уже не обязательно должно быть инъективным. В чём заключается условие инъективности $\bar{f}$?

Изобразить диаграммами частично упорядоченные множества:

1. $\mathcal{P}(\left\{ a, b, c, d\right\} )$;

2. множество всех делителей целого числа 24 (отношения порядка указаны в тексте).