К построению теории определителей

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — произвольная функция с условием $f(0)=0$.

Доказать, что существует, и притом только одна, функция $\mathcal{D}: M_{n}(\mathbb {R}) \rightarrow \mathbb {R}$, обладающая следующими свойствами:

1. если $A$ содержит столбец нулей, то $\mathcal{D}(A)=0$;

2. если $A^{\prime }$ получается из $A$ элементарным преобразованием типа (II) над столбцами, то $\mathcal{D}\left(A^{\prime }\right)=\mathcal{D}(A)$;

3. если $A=\operatorname {diag}(\lambda , 1,1, \ldots , 1)$ — диагональная матрица, то $\mathcal{D}(A)=f(\lambda )$.

При $f(\lambda )=\lambda$ получаем $\mathcal{D}=\operatorname {det}$, но произвол в выборе $f$ полезен в других приложениях.

Читателю предлагается выдвинуть и обосновать собственные варианты аксиоматического описания функции det.