Общие свойства корней

Будет ли кольцо полиномиальных функций над полем из $p$ элементов целостным?

Пусть $P$ — бесконечное поле и $f$ — ненулевой многочлен из $P\left[X_{1}, \ldots , X_{n}\right]$. Опираясь на теорему 3 и используя индукцию по $n$, доказать существование $a_{1}, \ldots , a_{n} \in P$, для которых $f\left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right) \neq 0$. Это даёт изоморфизм $P\left[X_{1}, \ldots , X_{n}\right]$ с кольцом полиномиальных функций от $n$ переменных над $P$.

Ненулевой многочлен $f \in \mathbb {Z}_{p}\left[X_{1}, \ldots , X_{n}\right]$ степени $<p$ по каждой переменной обладает сформулированным в упр. 2 свойством: $f\left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right) \neq 0$ для некоторых $a_{1}, \ldots , a_{n} \in \mathbb {Z}_{p}$. Показать, что любой многочлен $f \in \mathbb {Z}_{p}\left[X_{1}, \ldots , X_{n}\right]$ можно записать в виде

где $f^{*}$ — редуиированный многочлен $\left(\operatorname {deg}_{X_{i}} f^{*} \leqslant p-1, i=1,2, \ldots , n\right)$ степени $\operatorname {deg} f^{*} \leqslant \operatorname {deg} f$. Сделать обоснованное заключение, что отображение $f \mapsto \tilde{f}=\tilde{f}^{*}$ является эпиморфизмом кольца $\mathbb {Z}_{p}\left[X_{1}, \ldots , X_{n}\right]$ на кольцо полиномиальных функций от $n$ переменных над $\mathbb {Z}_{p}$ с ядром $L=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}^{p}-X_{i}\right) \mathbb {Z}_{p}\left[X_{1}, \ldots , X_{n}\right]$.

Теорема (Шевалле). Пусть $f\left(X_{1}, \ldots , X_{n}\right)$ — однородный многочлен (форма) над $\mathbb {Z}_{p}$ степени $r<n$. Тогда уравнение $f\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)=0$ имеет хотя бы одно нетривиальное решение.

Пусть $f\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)$ — целочисленная квадратичная форма. Теорема Шевалле (см. упр. 4), сформулированная на языке теории сравнений, утверждает, что при $n \geqslant 3$ сравнение

имеет ненулевое решение. Проверить, что все решения сравнения $x^{2}-2 y^{2} \equiv 0(\bmod 5)$ тривиальны и, следовательно, условие $r<n$ существенно.

Показать, что НОД $\left(f^{\prime }, f\right)=1$, если $\operatorname {char} P=0, f$ — неприводимый над полем $P$ многочлен и $f^{\prime }$ — его производная.

Доказать, что $f^{\prime }=0 \Longrightarrow f=$ const для многочлена $f(X)$ над полем нулевой характеристики и $f^{\prime }=0 \Longrightarrow f(X)=g\left(X^{p}\right)$ для многочлена $f(X)$ над полем характеристики $p>0$ ($g$ — некоторый другой многочлен).

Из п. 3 мы знаем, что каждое дифференцирование кольца многочленов $P[X]$ имеет вид

Установить справедливость утверждений:

1. множество констант (то, что переходит при дифференцированиях в нуль) — подкольцо в $P[X]$;

2. произведение $T_{u} T_{v}$, вообще говоря, не является дифференцированием, но если $\operatorname {char} P=p>0$, то степень $\left(T_{u}\right)^{p}$ — дифференцирование;

3. коммутатор $\left[T_{u}, T_{v}\right]=T_{u} T_{v}-T_{v} T_{u}$ всегда является дифференцированием вида $T_{w}$, где $w=u v^{\prime }-u^{\prime } v$.

В случае кольца многочленов $P\left[X_{1}, \ldots , X_{n}\right]$ от $n$ переменных естественно ввести оператор частного дифферениирования по $k$-й переменной

1. Показать, что множеством констант для $\frac{\partial }{\partial X_{k}}$ служит кольцо многочленов $P\left[X_{1}, \ldots , \hat{X}_{k}, \ldots , X_{n}\right]$ от $n-1$ переменной $(\operatorname {char} P=0)$.

2. Пусть $f\left(X_{1}, \ldots , X_{n}\right)$ — форма (однородный многочлен) степени $m$. Убедиться в справедливости тождества Эйлера

   $$\sum _{k=1}^{n} X_{k} \frac{\partial f}{\partial X_{k}}=m \cdot f\left(X_{1}, \ldots , X_{n}\right)$$

   Обратно: если $\operatorname {char} P=0$, то тождеству Эйлера удовлетворяют только формы степени $m=1,2,3, \ldots$

Показать, что отсутствие линейных множителей у многочлена

равносильно выполнению условия

При $n \leqslant 3$ неприводимые многочлены над $\mathbb {Z}_{2}$ исчерпываются следующими:

Выписать все неприводимые многочлены над $\mathbb {Z}_{2}$ при $n=4$ и $n=5$ (их будет соответственно 3 и 6).

Исходя из сравнения

установить неприводимость многочлена $X^{5}-X-1$ над $\mathbb {Q}$.

Аналогично, доказать неприводимость многочлена $X^{5}-X-1$ над $\mathbb {Q}$, перейдя к сравнению по модулю 3 (это гораздо проще).