Эрмитовы векторные пространства

$\mathbb {C} O(n)=\left\{ \left.A \in M_{n}(\mathbb {C})\right|^{t} A \cdot A=E\right\}$ — определение комплексной ортогональной группы. Понятно, что $O(n) \subset \mathbb {C} O(n)$ и $S O(n) \subset S \mathbb {C} O(n)$ (подгруппы в $O(n)$ и $\mathbb {C} O(n)$ элементов с определителем 1). Можно ли по аналогии с теоремой 2 говорить о включениях $\mathbb {C} O(n) \subset U(n)$ и $S \mathbb {C} O(n) \subset U(n)$?

Показать, что метрики $d_{1}$ и $d_{2}$ из п. 5 не индуцируются каким-либо скалярным произведением на $\mathbb {R}^{n}$ (аналогично на $\mathbb {C}^{n}$).

Используя функциональные средства, проверить, что формулой

для любого $p \geqslant 1$ на пространстве $\mathbb {R}^{n}$ задаётся норма (так называемая $l_{p}$-норма). Проверить, что

Тогда формально можно считать $d_{1}(\mathbf{x}, \mathbf{y})=\left\| \mathbf{x}-\mathbf{y}\right\|_{\infty }$ (очевидно, что $d_{2}(\mathbf{x}, \mathbf{y})=\left\| \mathbf{x}-\mathbf{y}\right\|_{1}, d(\mathbf{x}, \mathbf{y})=\left\| \mathbf{x}-\mathbf{y}\right\|_{2}$).

На векторном пространстве $C(0,1)$ непрерывных функций $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ существуют аналоги указанных норм:

Более общо: $\left\| f\right\|_{p}=\left(\int_{0}^{1}|f(t)|^{p} d t\right)^{1 / p}$ (это упражнение носит необязательный характер).