§ II.3.5

Ортогональные многочлены

[7/29%]
Показать
LaTeX
Задача II.3.5.1

Тригонометрический ряд ∑k=1∞sin⁡ktk\sum_{k=1}^{\infty } \frac{\sin k t}{\sqrt{k}} сходится на R\mathbb {R}. Используя неравенство Бесселя, показать, что он не является рядом Фурье никакой функции f∈C2(−π,π)f \in C_{2}(-\pi , \pi ).

?
Задача II.3.5.2

Получить рекуррентные формулы:

?
(а)

для многочленов Лежандра Pn+1(t)=2n+1n+1tPn(t)−nn+1Pn−1(t)P_{n+1}(t)=\frac{2 n+1}{n+1} t P_{n}(t)-\frac{n}{n+1} P_{n-1}(t);

(б)

для многочленов Чеб́ышева Tn+1(t)=2tTn(t)−Tn−1(t)T_{n+1}(t)=2 t T_{n}(t)-T_{n-1}(t);

(в)

для многочленов Эрмита Hn+1(t)=2tHn(t)−2nHn−1(t)H_{n+1}(t)=2 t H_{n}(t)-2 n H_{n-1}(t).

Задача II.3.5.3

Доказать самосопряжённость дифференциального оператора S\mathcal{S} из п. 6 непосредственно, не опираясь на общую формулу (**) из п. 5.

?
Задача II.3.5.4

Доказать, что f(x,t)=11−2tx+x2−f(x, t)=\frac{1}{\sqrt{1-2 t x+x^{2}}}- производящая функция для многочленов Лежандра (в разложении f(x,t)f(x, t) по степеням xx коэффициентом при xnx^{n} служит Pn(t)P_{n}(t)).

?
Задача II.3.5.5

Доказать, что max⁡−1⩽t⩽1∣12n−1Tn(t)∣=12n−1\max_{-1 \leqslant t \leqslant 1}\left|\frac{1}{2^{n-1}} T_{n}(t)\right|=\frac{1}{2^{n-1}}.

?
Задача II.3.5.6

Доказать, что многочлены Чебышева второго рода

Un(t):=1n+1dTn+1(t)dt=∑m=0[n/2][n+12m+1]tn−2m(t2−1)m U_{n}(t):=\frac{1}{n+1} \frac{d T_{n+1}(t)}{d t}=\sum _{m=0}^{[n / 2]}\left[\begin{smallmatrix} n+1 \\ 2 m+1 \end{smallmatrix}\right] t^{n-2 m}\left(t^{2}-1\right)^{m}

ортогональны на отрезке [−1,1][-1,1] с весом 1−t2\sqrt{1-t^{2}} :

∫−111−t2Um(t)Un(t)dt={0,m≠nπ/2,m=n \int _{-1}^{1} \sqrt{1-t^{2}} U_{m}(t) U_{n}(t) d t=\begin{cases} 0, & m \neq n \\ \pi / 2, & m=n \end{cases}
?
Задача II.3.5.7

Доказать, что все нули многочленов Tn(t),Un(t)T_{n}(t), U_{n}(t) — вещественные, попарно различны и лежат внутри отрезка [−1,1][-1,1]. Указать эти нули в явном виде.

?