Начала тензорного исчисления

Символ Кронекера. Проверить, что $\delta_{i}^{j}$ является элементом из $\mathbb {T}_{1}^{1}(V)$, представляющим тождественное отображение пространства $V$ в себя.

Метрический тензор. Пусть $V=\left\langle \mathbf{e}_{1}, \ldots , \mathbf{e}_{n}\right\rangle_{\mathbb {R}}$ — евклидово векторное пространство со скалярным произведением, заданным положительно определённой билинейной формой

(следуя традиции, принятой геометрами, мы используем здесь букву $g$ и символы $g_{i j}$). Принято $G_{0}=\left(g_{i j}\right.$) называть метрическим тензором (типа $(2,0)$) пространства $V$. Таким образом, компоненты метрического тензора — это элементы матрицы Грама исходного базиса в $V$ относительно соответствующего скалярного произведения.

Теперь мы вспоминаем, что евклидово пространство канонически изоморфно своему двойственному пространству $V^{*}$, а базис $(\mathbf{e}_{i})$ отождествляется с дуальным к нему базисом $(\mathbf{e}^{i})$ пространства $V^{*}:\left(\mathbf{e}_{i} \mid *\right)=\mathbf{e}^{i}$ (см. (13) из § 1 гл. 3). Если $g^{i j}=g\left(\mathbf{e}^{i}, \mathbf{e}^{j}\right)$, то $G^{0}=\left(g^{i j}\right)$ также называется метрическим тензором (теперь уже типа $(0,2)$) пространства $V$. При этом $g_{i j}$ и $g^{i j}$ являются ковариантными и контравариантными координатами метрического тензора $G$.

Проверить, что $G^{0} G_{0}=E$, т.е.

Подъём поля скаляров. Пусть $V$ — вещественное векторное пространство с базисом ($\left.\mathbf{e}_{1}, \ldots , \mathbf{e}_{n}\right), V^{\mathbb {C}}$ — его комплексификация (см. п. $3 \S 4$ гл. 3). Поскольку поле $\mathbb {C}$ суть векторное пространство над $\mathbb {R}$ с базисом $(1, i)$, мы можем построить векторное пространство

Проверить, что $\mathbb {R}$-линейное отображение

определяет изоморфизм $\mathbb {C} \otimes V$ с $V^{\mathbb {C}}$.

Более общо: пусть $\mathfrak {K}$ — подполе поля $\mathfrak {L}, V$ — векторное пространство над $\mathfrak {K}$. Рассмотрев сначала $\mathfrak {L}$ как векторное пространство над $\mathfrak {K}$, построим тензорное произведение $\mathfrak {L} \otimes_{\mathfrak {K}} V$. После этого введём на нём структуру векторного пространства над $\mathfrak {L}$, определив умножение на скаляры $a \in \mathfrak {L}$ формулой

Убедиться в корректности этого определения.

Пусть $\operatorname {dim} V>1, \operatorname {dim} W>1$. Показать, что в тензорном произведении $V \otimes W$ существуют элементы, не представимые в виде $\mathbf{v} \otimes \mathbf{w}$.

Пусть $A, B$ — обратимые квадратные матрицы. Указать матрицу, обратную к $A \otimes B$.

Сравнить

с клеточной матрицей (20).

Доказать формулу (22) для квадратных матриц $A, B$ порядков $n$ и $m$ соответственно с комплексными коэффициентами, используя возможность их приведения к треугольному виду.