Свёртка, симметризация и альтернирование тензоров

Поднятие и опускание индексов. Пусть по-прежнему $(V, g)$ — евклидово векторное пространство, $T$ — тензор типа $(p, q)$ с координатами $T_{i_{1} i_{2} \ldots i_{p}}^{j_{1} j_{2} \ldots j_{q}}$. Построим тензор с координатами $\sum_{k} g^{i k} T_{k i_{2} \ldots i_{p}}^{j_{1} j_{2} \ldots j_{q}}$ и у координат полученного тензора индекс $i$ обозначим через $i_{1}$, а затем положим

Говорят, что тензор в левой части этого равенства суть результат применения к $T$ операции поднятия индекса $i_{1}$. Операция опускания иядекса при помощи метрического тензора $G$ определяется аналогично. Например,

• координаты тензора, полученного в результате опускания у тензора $T$ индекса $j_{2}$ на последнее место в ряду нижних индексов.

В общем, подъём $s$-го индекса и опускание $t$-го индекса — это линейные отображения

в результате применения которых получаются тензоры с компонентами

Мы здесь воспользовались "блочным расположением" сложных индексов у координат тензора. Например, тензор $T \in V \otimes V^{*}$ можно задавать компонентами, которые обозначаются $T_{i}^{j}$, а $T \in V \otimes V^{*} \otimes V \otimes V-$ компонентами $T_{i_{1}}{ }^{j_{1}}{ }_{i_{2} i_{3}}$.

Операции подъёма и опускания индексов можно применять несколько раз, причём и к самому метрическому тензору.

Показать, что

Убедиться в справедливости равенства $g^{i k} x_{k}=x^{i}$, означающего, что контравариантные координаты $x^{i}$ вектора $\mathbf{x}$ получаются применением операции поднятия индекса у ковариантных координат $x_{i}$ того же вектора.

Пусть $\operatorname {dim} V>1$. Показать, что $\mathbb {T}(V)$ — некоммутативное кольцо без делителей нуля. Единственными обратимыми элементами в $\mathbb {T}(V)$ являются ненулевые скаляры.

Вычислить в явном виде тензорные инварианты $J_{2}, J_{3}$ в примере 2.