§ II.6.3

Внешняя алгебра

[5/40%]
Показать
LaTeX
Задача II.6.3.1

Пусть V=RnV=\mathbb {R}^{n} — вещественное пространство, натянутое на векторыстолбцы A(1),…,A(n)A^{(1)}, \ldots , A^{(n)}, и BB — произвольный вектор-столбец. Показать, что компоненты λk\lambda_{k} решения векторного уравнения

∑kλkA(k)=B \sum _{k} \lambda _{k} A^{(k)}=B

даются соотношением

(A(1)∧…∧A(n))λk=A(1)∧…∧A(k−1)∧B∧A(k+1)∧…∧A(n) \left(A^{(1)} \wedge \ldots \wedge A^{(n)}\right) \lambda _{k}=A^{(1)} \wedge \ldots \wedge A^{(k-1)} \wedge B \wedge A^{(k+1)} \wedge \ldots \wedge A^{(n)}

Вывести отсюда формулы Крамера [ВА I, гл. 3, § 3].

?
Задача II.6.3.2

Пусть VV - nn-мерное векторное пространство над полем K\mathfrak {K} характеристики нуль,

Z=∑k=0nZk(Zk∈Λk(V)) Z=\sum _{k=0}^{n} Z_{k} \quad \left(Z_{k} \in \Lambda ^{k}(V)\right)
  • элемент внешней алгебры Λ(V)\Lambda (V),
Z(Λ(V))={Z∣Z∧X=X∧Z∀X∈Λ(V)} \mathcal{Z}(\Lambda (V))=\left\{ Z \mid Z \wedge X=X \wedge Z \quad \forall X \in \Lambda (V)\right\}

— центр внешней алгебры.

Показать:

?
(а)

для обратимости ZZ, т.е. для существования Z−1Z^{-1}, необходимо и достаточно, чтобы Z(0)≠0Z_{(0)} \neq 0;

(б)

Z∈Z(Λ(V))⟺{Z2i−1=0 при i=1,…,m, если n=2m,Z2i−1=0 при i=1,…,m−1, если n=2m−1.Z \in \mathcal{Z}(\Lambda (V)) \Longleftrightarrow \begin{cases} Z_{2 i-1}=0 \text{ при } i=1, \ldots , m, \text{ если } n=2 m, \\ Z_{2 i-1}=0 \text{ при } i=1, \ldots , m-1, \text{ если } n=2 m-1.\end{cases}

Как переформулировать указанные условия в случае бесконечномерного пространства VV?

Задача II.6.3.3

Пусть A:V→V\mathcal{A}: V \rightarrow V — линейный оператор. Его pp-й внешней степенья называется линейный оператор

ΛpA:Λp(V)→Λp(V) \Lambda ^{p} \mathcal{A}: \Lambda ^{p}(V) \rightarrow \Lambda ^{p}(V)

определённый на разложимых pp-векторах формулой

(∧pA)(x1∧…∧xp)=A(x1)∧…∧A(xp) \left(\wedge ^{p} \mathcal{A}\right)\left(\mathbf{x}_{1} \wedge \ldots \wedge \mathbf{x}_{p}\right)=\mathcal{A}\left(\mathbf{x}_{1}\right) \wedge \ldots \wedge \mathcal{A}\left(\mathbf{x}_{p}\right)

Это, очевидно, есть знакопеременное полилинейное отображение. При фиксированном базисе пространства VV можно говорить о матрице AA оператора A\mathcal{A} и о её pp-й внешней степени ∧pA\wedge^{p} A. Показать, что

det⁡∧pA⋅det⁡∧n−pA=(det⁡A)[np]. \operatorname {det} \wedge ^{p} A \cdot \operatorname {det} \wedge ^{n-p} A=(\operatorname {det} A)\left[\begin{smallmatrix} n \\ p \end{smallmatrix}\right].
?
Задача II.6.3.4

Пусть на векторном пространстве VV задана невырожденная квадратичная форма qq. Пусть ff — билинейная форма, полярная к qq. Тогда на Λp(V)\Lambda^{p}(V) можно ввести квадратичную форму q∧pq^{\wedge p} формулами

q∧0=1,q∧p(x1∧…∧xp)=∣f(x1,x1)⋯f(x1,xp)⋯⋯⋯f(xp,x1)⋯f(xp,xp)∣ q^{\wedge 0}=1, \qquad q^{\wedge p}\left(\mathbf{x}_1 \wedge \ldots \wedge \mathbf{x}_p\right)=\begin{vmatrix} f(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_1) & \cdots & f(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_p) \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ f(\mathbf{x}_p,\mathbf{x}_1) & \cdots & f(\mathbf{x}_p,\mathbf{x}_p) \end{vmatrix}

Доказать, что полученное продолжение формы qq на алгебру Λ(V)\Lambda (V) является невырожденной квадратичной формой.

?
Задача II.6.3.5

Ориентаиией nn-мерного евклидова векторного пространства (V,(∗∣∗))(V,(* \mid *)) называется элемент d∈Λn(V)d \in \Lambda^{n}(V), для которого (d∣d)∧n=1(d \mid d)^{\wedge n}=1.

Пусть, далее, (e1,…,en),(e1′,…,en′)\left(\mathbf{e}_{1}, \ldots , \mathbf{e}_{n}\right),\left(\mathbf{e}_{1}^{\prime }, \ldots , \mathbf{e}_{n}^{\prime }\right) — два базиса в VV. Говорят, что эти базисы одинаково ориентированы, если определитель матрицы перехода от одного из них к другому положителен. Понятно, что порядок базисных векторов при этом важен. Ясно также, что множество упорядоченных базисов пространства VV разбивается в точности на два класса, состоящих из одинаково ориентированных базисов, тогда как базисы из разных классов ориентированы по-разному (или противоположно). Выбор одного из этих классов называется ориентаиией пространства VV.

Существует ли какая-либо связь между двумя определениями ориентации?

?