Теоремы Силова

Найти число силовских 5 -подгрупп в $A_{5}$.

Проверить, что множество $P$ матриц

над $Z_{3}$ составляет группу, изоморфную группе кватернионов $Q_{8}$ и являюшуюся силовской 2 -подгруппой в $\mathrm{SL}\left(2, Z_{3}\right)$. Показать, что $P \triangleleft \mathrm{SL}\left(2, Z_{3}\right)$.

Показать, что группы $S_{4}$ и $\mathrm{SL}\left(2, Z_{3}\right)$ не изоморфны. Будут ли изоморфны группы $\operatorname {PSL}\left(2, Z_{3}\right)$ и $A_{4}$?

Доказать, что всякая группа $G$ порядка $p q$ ($p<q$ — простые числа) является либо циклической, либо неабелевой с нормальной силовской $q$-подгруппой, причём последнее возможно тогда и только тогда, когда $q-1$ делится на $p$. В частности, все группы порядка 15 циклические.

Получить заново (см. [ВА I, гл. $6 \S 1$, пример]) сравнение $(p-1) !+1 \equiv 0(\bmod p)$ для простого $p$ путём прямого подсчёта числа $N_{p}$ силовских $p$-подгрупп в симметрической группе $S_{p}$.

Убедиться в том, что группа $G$ порядка $\left|G\right| \leqslant 30$ не может быть простой.