§ 2.12

Несобственные интегралы с бесконечными пределами

[256/85%]
Показать
LaTeX
Подпараграф
2.12.2 · Задачи[256/85%]
Задача 2.12.1

Вычислить интеграл или установить его расходимость. ∫2+∞dxx2\int_{2}^{+\infty } \frac{d x}{x^{2}}.

?
Задача 2.12.2

Вычислить интеграл или установить его расходимость. ∫0+∞dxx2+4\int_{0}^{+\infty } \frac{d x}{x^{2}+4}.

?
Задача 2.12.3

Вычислить интеграл или установить его расходимость. ∫0+∞sin⁡3xdx\int_{0}^{+\infty } \sin 3 x d x.

?
Задача 2.12.4

Вычислить интеграл или установить его расходимость. ∫1+∞e−3xdx\int_{1}^{+\infty } e^{-3 x} d x.

?
Задача 2.12.5

Вычислить интеграл или установить его расходимость. ∫−∞0dxx+1\int_{-\infty }^{0} \frac{d x}{x+1}.

?
Задача 2.12.6

Вычислить интеграл или установить его расходимость. ∫−∞0x+1x2+1dx\int_{-\infty }^{0} \frac{x+1}{x^{2}+1} d x.

?
Задача 2.12.7

Вычислить интеграл или установить его расходимость. ∫3+∞2x+5x2+32x−10x−dx\int_{3}^{+\infty } \frac{2 x+5}{x^{2}+3} \frac{2 x-10}{x-} d x.

?
Задача 2.12.8

Вычислить интеграл или установить его расходимость. ∫−∞+∞dx2x2−5x+7\int_{-\infty }^{+\infty } \frac{d x}{2 x^{2}-5 x+7}.

?
Задача 2.12.9

Вычислить интеграл или установить его расходимость. ∫e+∞dxxln⁡x\int_{e}^{+\infty } \frac{d x}{x \ln x}.

?
Задача 2.12.10

Вычислить интеграл или установить его расходимость. ∫e+∞dxxln⁡2x\int_{e}^{+\infty } \frac{d x}{x \ln^{2} x}.

?
Задача 2.12.11

Вычислить интеграл или установить его расходимость. ∫0+∞x2−xdx\int_{0}^{+\infty } x 2^{-x} d x.

?
Задача 2.12.12

Вычислить интеграл или установить его расходимость. ∫1+∞ln⁡(x2+x)xdx\int_{1}^{+\infty } \frac{\ln \left(x^{2}+x\right)}{x} d x.

?
Задача 2.12.13

Вычислить интеграл или установить его расходимость. ∫0+∞dxxx\int_{0}^{+\infty } \frac{d x}{x \sqrt{x}}.

?
Задача 2.12.14

Вычислить интеграл или установить его расходимость. ∫1+∞dxxx−1\int_{1}^{+\infty } \frac{d x}{x \sqrt{x-1}}.

?
Задача 2.12.15

Вычислить интеграл. ∫1+∞dx(1+x)x\int_{1}^{+\infty } \frac{d x}{(1+x) \sqrt{x}}.

?
Задача 2.12.16

Вычислить интеграл. ∫1+∞x4dx(x5+1)4\int_{1}^{+\infty } \frac{x^{4} d x}{\left(x^{5}+1\right)^{4}}.

?
Задача 2.12.17

Вычислить интеграл. ∫−∞−2dxxx2−1\int_{-\infty }^{-2} \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}.

?
Задача 2.12.18

Вычислить интеграл. ∫0+∞sh⁡xsh⁡2xdx\int_{0}^{+\infty } \frac{\operatorname {sh} x}{\operatorname {sh} 2 x} d x.

?
Задача 2.12.19

Вычислить интеграл. ∫0+∞dxex+ex\int_{0}^{+\infty } \frac{d x}{e^{x}+\sqrt{e^{x}}}.

?
Задача 2.12.20

Вычислить интеграл. ∫2+∞xx3−1\int_{2}^{+\infty } \frac{x}{x^{3}-1}.

?
Задача 2.12.21

Вычислить интеграл. ∫1+∞x2+1x4+1dx\int_{1}^{+\infty } \frac{x^{2}+1}{x^{4}+1} d x.

?
Задача 2.12.22

Вычислить интеграл. ∫0+∞dx(x2+9)x2+9\int_{0}^{+\infty } \frac{d x}{\left(x^{2}+9\right) \sqrt{x^{2}+9}}

?
Задача 2.12.23

Вычислить интеграл. ∫0+∞e−xdx\int_{0}^{+\infty } e^{-\sqrt{x}} d x.

?
Задача 2.12.24

Вычислить интеграл. ∫1+∞xearctg⁡x(1+x2)1+x2dx\int_{1}^{+\infty } \frac{x e^{\operatorname {arctg} x}}{\left(1+x^{2}\right) \sqrt{1+x^{2}}} d x.

?
Задача 2.12.25

Вычислить интеграл. ∫2+∞dxxx2+x−1\int_{2}^{+\infty } \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}+x-1}}.

?
Задача 2.12.26

Вычислить интеграл. ∫0+∞dx(x2+1+x)2\int_{0}^{+\infty } \frac{d x}{\left(\sqrt{x^{2}+1}+x\right)^{2}}.

?
Задача 2.12.27

Вычислить интеграл. ∫0+∞dx(4x2+1)x2+1\int_{0}^{+\infty } \frac{d x}{\left(4 x^{2}+1\right) \sqrt{x^{2}+1}}.

?
Задача 2.12.28

Вычислить интеграл. ∫0+∞x2+12(x2+1)2dx\int_{0}^{+\infty } \frac{x^{2}+12}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x.

?
Задача 2.12.29

Вычислить интеграл. ∫0+∞e−axsin⁡bxdx,a>0\int_{0}^{+\infty } e^{-a x} \sin b x d x, a > 0.

?
Задача 2.12.30

Вычислить интеграл. ∫0+∞e−axcos⁡bxdx,a>0\int_{0}^{+\infty } e^{-a x} \cos b x d x, a > 0.

?
Задача 2.12.31

Вычислить интеграл. ∫0+∞e−axsin⁡2bxdx,a>0\int_{0}^{+\infty } e^{-a x} \sin^{2} b x d x, a > 0.

?
Задача 2.12.32

Вычислить интеграл. ∫0+∞xne−xdx,n∈N\int_{0}^{+\infty } x^{n} e^{-x} d x, n \in N.

?
Задача 2.12.33

Вычислить интеграл. ∫−∞+∞dx(x2+x+1)3\int_{-\infty }^{+\infty } \frac{d x}{\left(x^{2}+x+1\right)^{3}}.

?
Задача 2.12.34

Вычислить интеграл. ∫−∞+∞dx(ax2+2bx+c)n,a>0,ac−b2>0,n∈N\int_{-\infty }^{+\infty } \frac{d x}{\left(a x^{2}+2 b x+c\right)^{n}}, a > 0, a c-b^{2} > 0, n \in N.

?
Задача 2.12.35

Вычислить интеграл. ∫2+∞dx(x−1)x2−2\int_{\sqrt{2}}^{+\infty } \frac{d x}{(x-1) \sqrt{x^{2}-2}}.

?
Задача 2.12.36

Вычислить интеграл. ∫1+∞dx(2x−1)x2−1\int_{1}^{+\infty } \frac{d x}{(2 x-1) \sqrt{x^{2}-1}}.

?
Задача 2.12.37

Вычислить интеграл. ∫1+∞dx(4x2−1)x2−1\int_{1}^{+\infty } \frac{d x}{\left(4 x^{2}-1\right) \sqrt{x^{2}-1}}.

?
Задача 2.12.38

Вычислить интеграл. ∫0+∞arctg⁡(1−x)(x−1)43dx\int_{0}^{+\infty } \frac{\operatorname {arctg}(1-x)}{\sqrt[3]{(x-1)^{4}}} d x.

?
Задача 2.12.39

Вычислить интеграл. ∫0+∞ln⁡x1+x2dx\int_{0}^{+\infty } \frac{\ln x}{1+x^{2}} d x.

?
Задача 2.12.40

Вычислить интеграл. ∫0+∞xln⁡x(1+x2)2dx\int_{0}^{+\infty } \frac{x \ln x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x.

?
Задача 2.12.41

Вычислить интеграл. ∫1+∞2−x2x3x2−1dx\int_{1}^{+\infty } \frac{2-x^{2}}{x^{3} \sqrt{x^{2}-1}} d x.

?
Задача 2.12.42

Вычислить интеграл. ∫0+∞dx(xα+1)(x2+1),α∈R\int_{0}^{+\infty } \frac{d x}{\left(x^{\alpha }+1\right)\left(x^{2}+1\right)}, \alpha \in R.

?
Задача 2.12.43

Вычислить площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции. y=xe−x2/2,x∈[0;+∞)y = x e^{-x^{2} / 2}, x \in [0 ;+\infty ).

?
Задача 2.12.44

Вычислить площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции. y=x/(x+1)2,x∈[1;+∞)y = \sqrt{x} /(x+1)^{2}, x \in [1 ;+\infty ).

?
Задача 2.12.45

Вычислить площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции. y=e−xth⁡x,x∈[0;+∞)y = e^{-x} \operatorname {th} x, x \in [0 ;+\infty ).

?
Задача 2.12.46

Вычислить площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции. y=x4e−x,x∈[0;+∞)y = x^{4} e^{-x}, x \in [0 ;+\infty ).

?
Задача 2.12.47

Вычислить площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции.

?
(1)

y=xx/(x5+1),x∈[0;+∞)y = x \sqrt{x} /\left(x^{5}+1\right), x \in [0 ;+\infty );

(2)

y=xα/2/(xα+2+1)y = x^{\alpha / 2} /\left(x^{\alpha +2}+1\right), α>−2,x∈(0;+∞)\alpha > -2, x \in (0 ;+\infty ).

Задача 2.12.48

Вычислить площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции. y=(x+1)/(x2+4x+5)2,x∈[−1;+∞)y = (x+1) /\left(x^{2}+4 x+5\right)^{2}, x \in [-1 ;+\infty ).

?
Задача 2.12.49

Вычислить площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции. y=∣sin⁡x∣e−x,x∈[0;+∞)y = \left|\sin x\right| e^{-x}, x \in [0 ;+\infty ).

?
Задача 2.12.50

Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной при вращении кривой y=1/(1+x2)y = 1 /\left(1+x^{2}\right) вокруг ее асимптоты.

?
Задача 2.12.51

Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной при вращении кривой y=f(x)y = f(x) вокруг оси абсцисс:

?
(1)

y=e−xsin⁡πx,x⩾0y = e^{-x} \sin \pi x, x \geqslant 0;

(2)

y=e−xsin⁡x,x⩾0y = e^{-x} \sqrt{\sin x}, x \geqslant 0.

Задача 2.12.52

Найти площадь поверхности, полученной при вращении кривой y=e−x,x⩾0y = e^{-x}, \quad x \geqslant 0, вокруг ее асимптоты.

?
Задача 2.12.53

Найти площадь поверхности (псевдосферы), полученной при вращении кривой (трактрисы) x=cos⁡t+ln⁡tg⁡(t/2),y=sin⁡tx = \cos t+\ln \operatorname {tg}(t / 2), y = \sin t, вокруг оси абсцисс.

?
Задача 2.12.54

Доказать неравенство. 0<∫10+∞x2dxx4+x+1<0,10 < \int_{10}^{+\infty } \frac{x^{2} d x}{x^{4}+x+1} < 0,1.

?
Задача 2.12.55

Доказать неравенство. ∣∫0+∞cos⁡4xx2+4dx∣<π4\left|\int_{0}^{+\infty } \frac{\cos 4 x}{x^{2}+4} d x\right| < \frac{\pi }{4}.

?
Задача 2.12.56

Доказать неравенство. 0,25<∫1+∞x6+1x11+1dx<0,350,25 < \int_{1}^{+\infty } \frac{x^{6}+1}{x^{11}+1} d x < 0,35.

?
Задача 2.12.57

Доказать неравенство. 129<∫1+∞x30+1x60+1dx<129+159\frac{1}{29} < \int_{1}^{+\infty } \frac{x^{30}+1}{x^{60}+1} d x < \frac{1}{29}+\frac{1}{59}.

?
Задача 2.12.58

Доказать неравенство. 0<∫0+∞x20+1x40+1dx−2019<0,050 < \int_{0}^{+\infty } \frac{x^{20}+1}{x^{40}+1} d x-\frac{20}{19} < 0,05.

?
Задача 2.12.59

Доказать неравенство. 0<∫0+∞e−xdxx+100<0,010 < \int_{0}^{+\infty } \frac{e^{-x} d x}{x+100} < 0,01.

?
Задача 2.12.60

Доказать неравенство. 0<∫2+∞e−x2dx<14e40 < \int_{2}^{+\infty } e^{-x^{2}} d x < \frac{1}{4 e^{4}}.

?
Задача 2.12.61

Доказать неравенство. 0<∫10+∞e−x2dx<15⋅21020 < \int_{10}^{+\infty } e^{-x^{2}} d x < \frac{1}{5 \cdot 2^{102}}.

?
Задача 2.12.62

Доказать неравенство. ∣∫2+∞e−x4cos⁡x4dx∣<0,521\left|\int_{2}^{+\infty } e^{-x^{4}} \cos x^{4} d x\right| < 0,5^{21}.

?
Задача 2.12.63

Доказать неравенство. 0<∫0+∞e−x2dx−∫03e−x2dx<0,5110 < \int_{0}^{+\infty } e^{-x^{2}} d x-\int_{0}^{3} e^{-x^{2}} d x < 0,5^{11}.

?
Задача 2.12.64

Исследовать на сходимость интеграл. ∫0+∞x3+7x5−x2+2dx\int_{0}^{+\infty } \frac{x^{3}+7}{x^{5}-x^{2}+2} d x.

?
Задача 2.12.65

Исследовать на сходимость интеграл. ∫0+∞xdxx5+23.\int_{0}^{+\infty } \frac{x d x}{\sqrt[3]{x^{5}+2}}.

?
Задача 2.12.66

Исследовать на сходимость интеграл. ∫0+∞xdx1+x73\int_{0}^{+\infty } \frac{x d x}{\sqrt[3]{1+x^{7}}}.

?
Задача 2.12.67

Исследовать на сходимость интеграл. ∫0+∞x+11+2x+x2dx\int_{0}^{+\infty } \frac{\sqrt{x+1}}{1+2 \sqrt{x}+x^{2}} d x.

?
Задача 2.12.68

Исследовать на сходимость интеграл. ∫0+∞sin⁡2xxdx\int_{0}^{+\infty } \frac{\sin^{2} x}{x} d x.

?
Задача 2.12.69

Исследовать на сходимость интеграл. ∫0+∞sin⁡2xx2dx\int_{0}^{+\infty } \frac{\sin^{2} x}{x^{2}} d x.

?
Задача 2.12.70

Исследовать на сходимость интеграл. ∫0+∞sin⁡23xx4+23dx\int_{0}^{+\infty } \frac{\sin^{2} 3 x}{\sqrt[3]{x^{4}+2}} d x.

?
Задача 2.12.71

Исследовать на сходимость интеграл. ∫1+∞1+arcsin⁡(1/x)1+xxdx\int_{1}^{+\infty } \frac{1+\arcsin (1 / x)}{1+x \sqrt{x}} d x.

?
Задача 2.12.72

Исследовать на сходимость интеграл. ∫2+∞(cos⁡2x−1)dx\int_{2}^{+\infty }\left(\cos \frac{2}{x}-1\right) d x.

?
Задача 2.12.73

Исследовать на сходимость интеграл. ∫1+∞ln⁡xdxxx2−1\int_{1}^{+\infty } \frac{\ln x d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}.

?
Задача 2.12.74

Исследовать на сходимость интеграл. ∫0+∞sin⁡(1/x)(x−cos⁡(π/x))2dx\int_{0}^{+\infty } \frac{\sin (1 / x)}{(x-\cos (\pi / x))^{2}} d x.

?
Задача 2.12.75

Исследовать на сходимость интеграл. ∫0+∞ln⁡(1+x5)x+xdx\int_{0}^{+\infty } \frac{\ln \left(1+x^{5}\right)}{\sqrt{x+\sqrt{x}}} d x.

?
Задача 2.12.76

Исследовать на сходимость интеграл. ∫−3/2+∞x+3x22x+3dx\int_{-3 / 2}^{+\infty } \frac{x+3}{x^{2} \sqrt{2 x+3}} d x

?
Задача 2.12.77

Исследовать на сходимость интеграл. ∫0+∞(1xsh⁡x−1x)dx\int_{0}^{+\infty }\left(\frac{1}{x \operatorname {sh} x}-\frac{1}{x}\right) d x.

?
Задача 2.12.78

Исследовать на сходимость интеграл. ∫0+∞(e−1/x2−e−4/x2)dx\int_{0}^{+\infty }\left(e^{-1 / x^{2}}-e^{-4 / x^{2}}\right) d x.

?
Задача 2.12.79

Исследовать на сходимость интеграл. ∫0+∞x−2(arctg⁡x31+x2)dx\int_{0}^{+\infty } x^{-2}\left(\operatorname {arctg} \frac{x^{3}}{1+x^{2}}\right) d x.

?
Задача 2.12.80

Исследовать на сходимость интеграл. ∫0+∞1xarctg⁡x2+xdx\int_{0}^{+\infty } \frac{1}{\sqrt{x}} \operatorname {arctg} \frac{x}{2+x} d x.

?
Задача 2.12.81

Исследовать на сходимость интеграл. ∫0+∞xdx1+x2sin⁡2x\int_{0}^{+\infty } \frac{x d x}{1+x^{2} \sin^{2} x}.

?
Задача 2.12.82

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл ∫−∞0eαxdx\int_{-\infty }^{0} e^{\alpha x} d x.

?
Задача 2.12.83

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл ∫e+∞dxxαln⁡x\int_{e}^{+\infty } \frac{d x}{x^{\alpha } \ln x}.

?
Задача 2.12.84

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл ∫1+∞ln⁡xdxxα\int_{1}^{+\infty } \frac{\ln x d x}{x^{\alpha }}

?
Задача 2.12.85

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл ∫e+∞dxxln⁡αx\int_{e}^{+\infty } \frac{d x}{x \ln^{\alpha } x}.

?
Задача 2.12.86

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл ∫1+∞ln⁡(1+e1/x−1α)dx\int_{1}^{+\infty } \ln \left(1+\frac{e^{1 / x}-1}{\alpha }\right) d x, α≠0\alpha \neq 0.

?
Задача 2.12.87

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл ∫2+∞eαxdx(x−1)αln⁡x\int_{2}^{+\infty } \frac{e^{\alpha x} d x}{(x-1)^{\alpha } \ln x}.

?
Задача 2.12.88

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл ∫3+∞e−x−ln⁡x(1+xα)α−2dx\int_{3}^{+\infty } \frac{e^{-x}-\ln x}{\left(1+x^{\alpha }\right)^{\alpha -2}} d x.

?
Задача 2.12.89

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл ∫0+∞arctg⁡2xxαdx\int_{0}^{+\infty } \frac{\operatorname {arctg} 2 x}{x^{\alpha }} d x.

?
Задача 2.12.90

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл ∫0+∞xα−101arctg⁡αx1+xdx\int_{0}^{+\infty } x^{\alpha -101} \operatorname {arctg}^{\alpha } \frac{x}{1+x} d x.

?
Задача 2.12.91

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл ∫0+∞x4α/3arctg⁡x1+xαdx\int_{0}^{+\infty } x^{4 \alpha / 3} \operatorname {arctg} \frac{\sqrt{x}}{1+x^{\alpha }} d x.

?
Задача 2.12.92

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл ∫1+∞ln⁡αch⁡xx2ln⁡3(1+1x)dx\int_{1}^{+\infty } \frac{\ln^{\alpha } \operatorname {ch} x}{x^{2} \ln^{3}\left(1+\frac{1}{x}\right)} d x.

?
Задача 2.12.93

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл ∫0+∞xα−xdx\int_{0}^{+\infty } x^{\alpha -x} d x.

?
Задача 2.12.94

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл ∫0+∞ln⁡(1+x−2α)xα+x−αdx,α>0\int_{0}^{+\infty } \frac{\ln \left(1+x^{-2 \alpha }\right)}{\sqrt{x^{\alpha }+x^{-\alpha }}} d x, \quad \alpha > 0.

?
Задача 2.12.95

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл ∫0+∞(x+1x)αln⁡(1+x−3α)dx,α>0\int_{0}^{+\infty }\left(x+\frac{1}{x}\right)^{\alpha } \ln \left(1+x^{-3 \alpha }\right) d x, \alpha > 0.

?
Задача 2.12.96

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл ∫0+∞dx1+xαsin⁡2x\int_{0}^{+\infty } \frac{d x}{1+x^{\alpha } \sin^{2} x}.

?
Задача 2.12.97

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл ∫0+∞ln⁡(1+x2)(x+α)2dx\int_{0}^{+\infty } \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{(x+\alpha )^{2}} d x.

?
Задача 2.12.98

Найти все неотрицательные значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞1+x3+xα−1x3dx\int_{0}^{+\infty } \frac{\sqrt{1+x^{3}+x^{\alpha }}-1}{x^{3}} d x.

?
Задача 2.12.99

Найти все неотрицательные значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞arctg⁡xα1+x2dxx\int_{0}^{+\infty } \operatorname {arctg} \frac{x^{\alpha }}{1+x^{2}} \frac{d x}{x}.

?
Задача 2.12.100

Найти все неотрицательные значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞ln⁡(1+x+xα)x3dx\int_{0}^{+\infty } \frac{\ln \left(1+x+x^{\alpha }\right)}{\sqrt{x^{3}}} d x.

?
Задача 2.12.101

Найти все неотрицательные значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞ln⁡(xα+ex)x3+x5dx\int_{0}^{+\infty } \frac{\ln \left(x^{\alpha }+e^{x}\right)}{\sqrt{x^{3}+x^{5}}} d x.

?
Задача 2.12.102

Определить, при каких значениях параметров α\alpha и β\beta сходится интеграл. ∫e+∞ln⁡αxdx(e1/x2−1)β\int_{e}^{+\infty } \frac{\ln^{\alpha } x d x}{\left(e^{1 / x^{2}}-1\right)^{\beta }}.

?
Задача 2.12.103

Определить, при каких значениях параметров α\alpha и β\beta сходится интеграл. ∫2+∞ln⁡αxdxx23arctg⁡β(1/x)\int_{2}^{+\infty } \frac{\ln^{\alpha } x d x}{\sqrt[3]{x^{2}} \operatorname {arctg} \beta (1 / x)}.

?
Задача 2.12.104

Определить, при каких значениях параметров α\alpha и β\beta сходится интеграл. ∫1+∞dxxαln⁡βx\int_{1}^{+\infty } \frac{d x}{x^{\alpha } \ln^{\beta } x}.

?
Задача 2.12.105

Определить, при каких значениях параметров α\alpha и β\beta сходится интеграл. ∫0+∞xαdxxβ+1,β⩾0\int_{0}^{+\infty } \frac{x^{\alpha } d x}{x^{\beta }+1}, \quad \beta \geqslant 0.

?
Задача 2.12.106

Определить, при каких значениях параметров α\alpha и β\beta сходится интеграл. ∫0+∞dxxα+xβ\int_{0}^{+\infty } \frac{d x}{x^{\alpha }+x^{\beta }}.

?
Задача 2.12.107

Определить, при каких значениях параметров α\alpha и β\beta сходится интеграл. ∫−∞+∞∣x−1∣α∣x+1∣βdx\int_{-\infty }^{+\infty }|x-1|^{\alpha }|x+1|^{\beta } d x.

?
Задача 2.12.108

Определить, при каких значениях параметров α\alpha и β\beta сходится интеграл. ∫0+∞xαxdx(x+13−1)βsin⁡β(x/(x+1))\int_{0}^{+\infty } \frac{x^{\alpha x} d x}{(\sqrt[3]{x+1}-1)^{\beta } \sin^{\beta }(x /(x+1))}.

?
Задача 2.12.109

Определить, при каких значениях параметров α\alpha и β\beta сходится интеграл. ∫0+∞arctg⁡αxdx(x2+2)(ex−1)β\int_{0}^{+\infty } \frac{\operatorname {arctg}^{\alpha } x d x}{\left(x^{2}+2\right)\left(e^{x}-1\right)^{\beta }}.

?
Задача 2.12.110

Определить, при каких значениях параметров α\alpha и β\beta сходится интеграл. ∫0+∞ln⁡α(ex−x)dx(x+x)βarcsin⁡(x/(x+1))\int_{0}^{+\infty } \frac{\ln^{\alpha }\left(e^{x}-x\right) d x}{(x+\sqrt{x})^{\beta } \arcsin (x /(x+1))}.

?
Задача 2.12.111

Определить, при каких значениях параметров α\alpha и β\beta сходится интеграл. ∫0+∞ln⁡(x2+1)−2ln⁡x(x+14−1)αarctg⁡βxdx\int_{0}^{+\infty } \frac{\ln \left(x^{2}+1\right)-2 \ln x}{(\sqrt[4]{x+1}-1)^{\alpha } \operatorname {arctg}{ }^{\beta } x} d x.

?
Задача 2.12.112

Определить, при каких значениях параметров α\alpha и β\beta сходится интеграл. ∫0+∞dx1+xα∣sin⁡x∣β\int_{0}^{+\infty } \frac{d x}{1+x^{\alpha }|\sin x|^{\beta }}.

?
Задача 2.12.113

Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл. ∫0+∞xcos⁡7xdxx2+2x+2\int_{0}^{+\infty } \frac{x \cos 7 x d x}{x^{2}+2 x+2}.

?
Задача 2.12.114

Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл. ∫−∞+∞(x−1)sin⁡2xx2−4x+5dx\int_{-\infty }^{+\infty } \frac{(x-1) \sin 2 x}{x^{2}-4 x+5} d x.

?
Задача 2.12.115

Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл. ∫0+∞sin⁡x2dx\int_{0}^{+\infty } \sin x^{2} d x.

?
Задача 2.12.116

Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл. ∫0+∞xcos⁡x4dx\int_{0}^{+\infty } x \cos x^{4} d x.

?
Задача 2.12.117

Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл. ∫0+∞sin⁡3(x2+2x)dx\int_{0}^{+\infty } \sin^{3}\left(x^{2}+2 x\right) d x.

?
Задача 2.12.118

Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл. ∫0+∞sin⁡ln⁡xxdx\int_{0}^{+\infty } \frac{\sin \ln x}{\sqrt{x}} d x.

?
Задача 2.12.119

Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл. ∫1+∞sign⁡sin⁡ln⁡xxdx\int_1^{+\infty } \frac{\operatorname {sign} \sin \ln x}{x} d x.

?
Задача 2.12.120

Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл. ∫1+∞sin⁡(sin⁡xx)dxx\int_1^{+\infty } \sin \left(\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\right) \frac{d x}{\sqrt{x}}.

?
Задача 2.12.121

Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл. ∫0+∞x2sin⁡(cos⁡x3x+1)dx\int_{0}^{+\infty } x^{2} \sin \left(\frac{\cos x^{3}}{x+1}\right) d x.

?
Задача 2.12.122

Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл. ∫1+∞(1−e(sin⁡x)/x)xdx\int_{1}^{+\infty }\left(1-e^{(\sin x) / x}\right) \sqrt{x} d x.

?
Задача 2.12.123

Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл. ∫0+∞(1−e(sin⁡x4)/(x2+1))x2dx\int_{0}^{+\infty }\left(1-e^{\left(\sin x^{4}\right) /\left(x^{2}+1\right)}\right) x^{2} d x.

?
Задача 2.12.124

Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл. ∫1+∞(1−ex−2/3sin⁡x)dx\int_{1}^{+\infty }\left(1-e^{x^{-2 / 3} \sin x}\right) d x.

?
Задача 2.12.125

Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл. ∫1+∞arctg⁡cos⁡xx23dx\int_{1}^{+\infty } \operatorname {arctg} \frac{\cos x}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x.

?
Задача 2.12.126

Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл. ∫2+∞xln⁡(1−sin⁡x2x−1)dx\int_{2}^{+\infty } \sqrt{x} \ln \left(1-\frac{\sin x^{2}}{x-1}\right) d x.

?
Задача 2.12.127

Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл. ∫0+∞ecos⁡xsin⁡sin⁡xxdx\int_{0}^{+\infty } \frac{e^{\cos x} \sin \sin x}{x} d x.

?
Задача 2.12.128

Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл. ∫0+∞esin⁡xsin⁡sin⁡xxdx\int_{0}^{+\infty } \frac{e^{\sin x} \sin \sin x}{x} d x.

?
Задача 2.12.129

Исследовать на абсолютную и условную сходимость при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫1+∞xαsin⁡xx3+1dx\int_{1}^{+\infty } \frac{x^{\alpha } \sin x}{x^{3}+1} d x.

?
Задача 2.12.130

Исследовать на абсолютную и условную сходимость при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫2+∞(x+1)αsin⁡xln⁡xdx\int_{2}^{+\infty } \frac{(x+1)^{\alpha } \sin x}{\ln x} d x.

?
Задача 2.12.131

Исследовать на абсолютную и условную сходимость при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫2+∞cos⁡xdxxα+ln⁡x\int_{2}^{+\infty } \frac{\cos x d x}{x^{\alpha }+\ln x}.

?
Задача 2.12.132

Исследовать на абсолютную и условную сходимость при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫1+∞sin⁡x(ln⁡(x+1)−ln⁡x)αdx\int_{1}^{+\infty } \frac{\sin x}{(\ln (x+1)-\ln x)^{\alpha }} d x.

?
Задача 2.12.133

Исследовать на абсолютную и условную сходимость при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫2+∞sin⁡x(arctg⁡(1/x)−arctg⁡(1/x2))αdx\int_{2}^{+\infty } \frac{\sin x}{\left(\operatorname {arctg}(1 / x)-\operatorname {arctg}\left(1 / x^{2}\right)\right)^{\alpha }} d x.

?
Задача 2.12.134

Исследовать на абсолютную и условную сходимость при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫2+∞(xarctg⁡x−ln⁡(1+x))αsin⁡xdx\int_{2}^{+\infty }(x \operatorname {arctg} x-\ln (1+x))^{\alpha } \sin x d x.

?
Задача 2.12.135

Исследовать на абсолютную и условную сходимость при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫1+∞cos⁡xdx(2x−cos⁡ln⁡x)α\int_{1}^{+\infty } \frac{\cos x d x}{(2 x-\cos \ln x)^{\alpha }}.

?
Задача 2.12.136

Исследовать на абсолютную и условную сходимость при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫1+∞cos⁡(1+2x)(x−ln⁡x)αdx\int_{1}^{+\infty } \frac{\cos (1+2 x)}{(\sqrt{x}-\ln x)^{\alpha }} d x.

?
Задача 2.12.137

Исследовать на абсолютную и условную сходимость при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫1+∞x+1xαsin⁡x3dx\int_{1}^{+\infty } \frac{x+1}{x^{\alpha }} \sin x^{3} d x.

?
Задача 2.12.138

Исследовать на абсолютную и условную сходимость при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫2+∞cos⁡xxαln⁡xdx\int_{2}^{+\infty } \frac{\cos \sqrt{x}}{x^{\alpha } \ln x} d x.

?
Задача 2.12.139

Исследовать на абсолютную и условную сходимость при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫1+∞x2cos⁡x3(3x−arctg⁡x)αdx\int_{1}^{+\infty } \frac{x^{2} \cos x^{3}}{(3 x-\operatorname {arctg} x)^{\alpha }} d x.

?
Задача 2.12.140

Исследовать на абсолютную и условную сходимость при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫1+∞sin⁡(x+x2)xαdx\int_{1}^{+\infty } \frac{\sin \left(x+x^{2}\right)}{x^{\alpha }} d x.

?
Задача 2.12.141

Исследовать на абсолютную и условную сходимость при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫1+∞sin⁡(x+1x)dxxα\int_{1}^{+\infty } \sin \left(x+\frac{1}{x}\right) \frac{d x}{x^{\alpha }}.

?
Задача 2.12.142

Исследовать на абсолютную и условную сходимость при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫1+∞sin⁡ln⁡xxαsin⁡xdx\int_{1}^{+\infty } \frac{\sin \ln x}{x^{\alpha }} \sin x d x.

?
Задача 2.12.143

Исследовать на абсолютную и условную сходимость при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫1+∞xαsin⁡1xcos⁡xdx\int_{1}^{+\infty } x^{\alpha } \sin \frac{1}{x} \cos x d x.

?
Задача 2.12.144

Исследовать на абсолютную и условную сходимость при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫0+∞xαsin⁡sin⁡xdx\int_{0}^{+\infty } x^{\alpha } \sin \sin x d x.

?
Задача 2.12.145

Исследовать на абсолютную и условную сходимость при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫0+∞sin⁡sin⁡(1/x)xαdx\int_{0}^{+\infty } \frac{\sin \sin (1 / x)}{x^{\alpha }} d x.

?
Задача 2.12.146

Исследовать на абсолютную и условную сходимость при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫0+∞xαtg⁡sin⁡1xdx\int_{0}^{+\infty } x^{\alpha } \operatorname {tg} \sin \frac{1}{x} d x.

?
Задача 2.12.147

Исследовать на абсолютную и условную сходимость при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫π+∞α−∣cos⁡x∣π+xdx\int_{\pi }^{+\infty } \frac{\alpha -\left|\cos x\right|}{\pi +x} d x.

?
Задача 2.12.148

Исследовать на абсолютную и условную сходимость при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫1+∞x−[x]−αxdx\int_{1}^{+\infty } \frac{x-[x]-\alpha }{x} d x.

?
Задача 2.12.149

Исследовать на абсолютную и условную сходимости интеграл. ∫0+∞xαsin⁡x1+xβdx,β⩾0\int_{0}^{+\infty } \frac{x^{\alpha } \sin x}{1+x^{\beta }} d x, \quad \beta \geqslant 0.

?
Задача 2.12.150

Исследовать на абсолютную и условную сходимости интеграл. ∫0+∞xαsin⁡xβdx\int_{0}^{+\infty } x^{\alpha } \sin x^{\beta } d x.

?
Задача 2.12.151

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞ln⁡αch⁡x1+x2dx\int_{0}^{+\infty } \frac{\ln^{\alpha } \operatorname {ch} x}{1+x^{2}} d x.

?
Задача 2.12.152

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞[e1+x−(1+x)1/x]αdx\int_{0}^{+\infty }\left[e^{1+x}-(1+x)^{1 / x}\right]^{\alpha } d x.

?
Задача 2.12.153

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫1+∞(x3−1)αx−131+xdx\int_{1}^{+\infty }\left(x^{3}-1\right)^{\alpha } \frac{\sqrt[3]{x-1}}{1+x} d x.

?
Задача 2.12.154

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫1+∞ln⁡xarctg⁡(x−1)(x−x)αdx\int_{1}^{+\infty } \frac{\ln x \operatorname {arctg}(x-1)}{(x-\sqrt{x})^{\alpha }} d x.

?
Задача 2.12.155

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞sin⁡(arctg⁡x)(x2+1)ln⁡αch⁡xdx\int_{0}^{+\infty } \frac{\sin (\operatorname {arctg} x)}{\left(x^{2}+1\right) \ln^{\alpha } \operatorname {ch} x} d x.

?
Задача 2.12.156

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞(x+x2)αln⁡(x+e−x)dx\int_{0}^{+\infty }\left(x+x^{2}\right)^{\alpha } \ln \left(x+e^{-x}\right) d x.

?
Задача 2.12.157

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞xαarcsin⁡(x/(x+1))ln⁡(1+x)dx\int_{0}^{+\infty } \frac{x^{\alpha } \arcsin (x /(x+1))}{\ln (1+\sqrt{x})} d x.

?
Задача 2.12.158

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞arctg⁡x(1+x2)(ex−1)αdx\int_{0}^{+\infty } \frac{\operatorname {arctg} x}{\left(1+x^{2}\right)\left(e^{x}-1\right)^{\alpha }} d x.

?
Задача 2.12.159

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞x−αe−αxex−1dx\int_{0}^{+\infty } \frac{x^{-\alpha } e^{-\alpha x}}{e^{x}-1} d x.

?
Задача 2.12.160

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞xαln⁡(arctg⁡x+e−x)dx\int_{0}^{+\infty } x^{\alpha } \ln \left(\operatorname {arctg} x+e^{-x}\right) d x.

?
Задача 2.12.161

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞xαsh⁡xe2x−1dx\int_{0}^{+\infty } \frac{x^{\alpha } \operatorname {sh} x}{\sqrt{e^{2 x}-1}} d x.

?
Задача 2.12.162

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫2+∞ln⁡−αx2+44xarcsin⁡(x−2)2x3dx\int_{2}^{+\infty } \ln^{-\alpha } \frac{x^{2}+4}{4 x} \arcsin \frac{(x-2)^{2}}{x^{3}} d x.

?
Задача 2.12.163

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫1+∞sin⁡3((x−1)/x)(x−1/x)ln⁡α(2x2−1)dx\int_{1}^{+\infty } \frac{\sin^{3}((x-1) / x)}{(x-1 / x) \ln^{\alpha }\left(2 x^{2}-1\right)} d x.

?
Задача 2.12.164

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞∣ln⁡th⁡x∣αe4x−1dx\int_{0}^{+\infty } \frac{|\ln \operatorname {th} x|^{\alpha }}{e^{4} x-1} d x.

?
Задача 2.12.165

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞∣ln⁡(1−e−x)∣αsh⁡3x⋅dx\int_{0}^{+\infty } \frac{\left|\ln \left(1-e^{-x}\right)\right|^{\alpha }}{\operatorname {sh} 3 x} \cdot d x.

?
Задача 2.12.166

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞1−e−αxxα1+xαdx,α>0\int_{0}^{+\infty } \frac{1-e^{-\alpha x}}{x^{\alpha } \sqrt{1+x^{\alpha }}} d x, \alpha > 0.

?
Задача 2.12.167

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞sh⁡αx−αxeαx−1dxxα,α>0\int_{0}^{+\infty } \sqrt{\frac{\operatorname {sh} \alpha x-\alpha x}{e^{\alpha x}-1}} \frac{d x}{x^{\alpha }}, \quad \alpha > 0.

?
Задача 2.12.168

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞x−3α/2(3+2x−3+x)dx\int_{0}^{+\infty } x^{-3 \alpha / 2}(\sqrt{3+2 x}-\sqrt{3+x}) d x.

?
Задача 2.12.169

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞ch⁡x−1(ex−1)(x+x4)αdx\int_{0}^{+\infty } \frac{\operatorname {ch} x-1}{\left(e^{x}-1\right)(\sqrt{x}+\sqrt[4]{x})^{\alpha }} d x.

?
Задача 2.12.170

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞x−th⁡x(x+2x2−x)αdx\int_{0}^{+\infty } \frac{\sqrt{x-\operatorname {th} x}}{\left(\sqrt{x+2 x^{2}-\sqrt{x}}\right)^{\alpha }} d x.

?
Задача 2.12.171

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞(1−cos⁡x1+x)αarcsin⁡x1+x3eαxdx\int_{0}^{+\infty }\left(1-\cos \frac{x}{1+x}\right)^{\alpha } \arcsin \frac{x}{1+x^{3}} e^{\alpha x} d x.

?
Задача 2.12.172

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞ln⁡α(1+sh⁡x)(x3th⁡x)α1+x3dx\int_{0}^{+\infty } \frac{\ln^{\alpha }(1+\operatorname {sh} x)}{\left(x^{3} \operatorname {th} x\right)^{\alpha } \sqrt{1+x^{3}}} d x.

?
Задача 2.12.173

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞(1+2x−cos⁡x)αtg⁡x22+x4dx\int_{0}^{+\infty }(\sqrt{1+2 x}-\cos x)^{\alpha } \operatorname {tg} \frac{x^{2}}{2+x^{4}} d x.

?
Задача 2.12.174

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞xαx+x34eαx−1−αxdx\int_{0}^{+\infty } \frac{x^{\alpha }}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x^{3}}} \sqrt{e^{\alpha x}-1-\alpha x} d x.

?
Задача 2.12.175

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞(x2+x3−x3/2)αln⁡(eαx2−αx2)dx\int_{0}^{+\infty }\left(\sqrt{x^{2}+x^{3}}-x^{3 / 2}\right)^{\alpha } \ln \left(e^{\alpha x^{2}}-\alpha x^{2}\right) d x.

?
Задача 2.12.176

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞ln⁡α(ex−x)x2α(x+1)dx\int_{0}^{+\infty } \frac{\ln^{\alpha }\left(e^{x}-x\right)}{x^{2 \alpha }(\sqrt{x}+1)} d x.

?
Задача 2.12.177

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞(x+13−1)αx2+arctg⁡xdx\int_{0}^{+\infty } \frac{(\sqrt[3]{x+1}-1)^{\alpha }}{\sqrt{x^{2}+\operatorname {arctg} \sqrt{x}}} d x.

?
Задача 2.12.178

Найти все значения параметра α\alpha, при которых сходится интеграл. ∫0+∞ln⁡(1−x+1+x2)[(1+x3−1)arcsin⁡(x/(x+1))]αdx\int_{0}^{+\infty } \frac{\ln \left(1-x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{[(\sqrt[3]{1+x}-1) \arcsin (x /(x+1))]^{\alpha }} d x.

?
Задача 2.12.179

Исследовать на абсолютную и условную сходимости интеграл. ∫1+∞1x2+43sh⁡(cos⁡xx3)dx\int_{1}^{+\infty } \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}+4}} \operatorname {sh}\left(\frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}\right) d x.

?
Задача 2.12.180

Исследовать на абсолютную и условную сходимости интеграл. ∫1+∞1x3(exp⁡{sin⁡1+xx+x}−1)dx\int_{1}^{+\infty } \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\left(\exp \left\{ \frac{\sin }{\sqrt{1}+x} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{+x}}\right\} -1\right) d x.

?
Задача 2.12.181

Исследовать на абсолютную и условную сходимости интеграл. ∫1+∞xcos⁡(x2ln⁡x)dx\int_{1}^{+\infty } x \cos \left(x^{2} \ln x\right) d x.

?
Задача 2.12.182

Исследовать на абсолютную и условную сходимости интеграл. ∫1+∞x3/2sin⁡(x3−2x)dx\int_{1}^{+\infty } x^{3 / 2} \sin \left(x^{3}-2 x\right) d x.

?
Задача 2.12.183

Исследовать на абсолютную и условную сходимости интеграл. ∫1+∞cos⁡(x3/2−ln⁡x)dx\int_{1}^{+\infty } \cos \left(x^{3 / 2}-\ln x\right) d x.

?
Задача 2.12.184

Исследовать на абсолютную и условную сходимости интеграл. ∫1+∞xsin⁡(x5−1)dx\int_{1}^{+\infty } x \sin \left(\sqrt{x^{5}}-1\right) d x.

?
Задача 2.12.185

Исследовать на абсолютную и условную сходимости интеграл. ∫1+∞cos⁡(x3−x)dx\int_{1}^{+\infty } \cos \left(x^{3}-x\right) d x.

?
Задача 2.12.186

Исследовать на абсолютную и условную сходимости интеграл. ∫1+∞sin⁡(xln⁡x)dx\int_{1}^{+\infty } \sin (x \ln x) d x.

?
Задача 2.12.187

Исследовать на абсолютную и условную сходимости при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫0+∞(x+1x)αsin⁡x3dx\int_{0}^{+\infty }\left(x+\frac{1}{x}\right)^{\alpha } \sin x^{3} d x.

?
Задача 2.12.188

Исследовать на абсолютную и условную сходимости при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫1+∞x2cos⁡x3(3x−arctg⁡x)αdx\int_{1}^{+\infty } \frac{x^{2} \cos x^{3}}{(3 x-\operatorname {arctg} x)^{\alpha }} d x.

?
Задача 2.12.189

Исследовать на абсолютную и условную сходимости при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫1+∞xαcos⁡xsin⁡1xdx\int_{1}^{+\infty } x^{\alpha } \cos x \sin \frac{1}{x} d x.

?
Задача 2.12.190

Исследовать на абсолютную и условную сходимости при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫1+∞sin⁡xαsin⁡x−αdx,α>0\int_{1}^{+\infty } \sin x^{\alpha } \sin x^{-\alpha } d x, \alpha > 0.

?
Задача 2.12.191

Исследовать на абсолютную и условную сходимости при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫1+∞((x+1)α−xα)sin⁡x2dx\int_{1}^{+\infty }\left((x+1)^{\alpha }-x^{\alpha }\right) \sin x^{2} d x.

?
Задача 2.12.192

Исследовать на абсолютную и условную сходимости при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫1+∞(ex+cos⁡x)αsin⁡x2dx\int_{1}^{+\infty }\left(e^{x}+\cos x\right)^{\alpha } \sin x^{2} d x.

?
Задача 2.12.193

Исследовать на абсолютную и условную сходимости при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫1+∞cos⁡(2x−5)x3ch⁡2xdx\int_{1}^{+\infty } \frac{\cos (2 x-5)}{\sqrt[3]{x} \operatorname {ch}^{2} x} d x.

?
Задача 2.12.194

Исследовать на абсолютную и условную сходимости при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫3+∞sin⁡xx(x−x3)αdx\int_{3}^{+\infty } \frac{\sin \sqrt{x}}{x(\sqrt{x}-\sqrt[3]{x})^{\alpha }} d x.

?
Задача 2.12.195

Исследовать на абсолютную и условную сходимости при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫1+∞x5sin⁡x2(1+x4)αdx\int_{1}^{+\infty } \frac{x^{5} \sin x^{2}}{\left(1+x^{4}\right)^{\alpha }} d x.

?
Задача 2.12.196

Исследовать на абсолютную и условную сходимости при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫1+∞eαxcos⁡x2(x2ex+ln⁡x)αdx\int_{1}^{+\infty } \frac{e^{\alpha x} \cos x^{2}}{\left(x^{2} e^{x}+\ln x\right)^{\alpha }} d x.

?
Задача 2.12.197

Исследовать на абсолютную и условную сходимости при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫2+∞ln⁡αxcos⁡x(x2ln⁡x+arctg⁡x)αdx\int_2^{+\infty } \frac{\ln^\alpha x \cos \sqrt{x}}{\left(x^2 \ln x+\operatorname {arctg} x\right)^\alpha } d x.

?
Задача 2.12.198

Исследовать на абсолютную и условную сходимости при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫1+∞sin⁡x3(x3+cos⁡ln⁡x)αdx\int_1^{+\infty } \frac{\sin \sqrt[3]{x}}{(\sqrt[3]{x}+\cos \ln x)^\alpha } d x.

?
Задача 2.12.199

Исследовать на абсолютную и условную сходимости при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫3+∞cos⁡(2x+3)ln⁡α(x−arctg⁡x)dx\int_{3}^{+\infty } \frac{\cos (2 x+3)}{\ln^{\alpha }(x-\operatorname {arctg} x)} d x.

?
Задача 2.12.200

Исследовать на абсолютную и условную сходимости при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫1+∞sin⁡(4x−1)eαx+1/xdx\int_{1}^{+\infty } \frac{\sin (4 x-1)}{e^{\alpha x}+1 / x} d x.

?
Задача 2.12.201

Исследовать на абсолютную и условную сходимости при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫1+∞(ln⁡2xx)αcos⁡(3x−4)dx\int_{1}^{+\infty }\left(\frac{\ln^{2} x}{x}\right)^{\alpha } \cos (3 x-4) d x.

?
Задача 2.12.202

Исследовать на абсолютную и условную сходимости при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫1+∞cos⁡x2x4(x+ln⁡x)αdx\int_{1}^{+\infty } \frac{\cos x^{2}}{x^{4}(x+\ln x)^{\alpha }} d x.

?
Задача 2.12.203

Исследовать на абсолютную и условную сходимости при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫2+∞xsin⁡(3x2+1)ln⁡αxdx\int_2^{+\infty } \frac{x \sin \left(3 x^2+1\right)}{\ln^\alpha x} d x.

?
Задача 2.12.204

Исследовать на абсолютную и условную сходимости при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫1+∞eαxsin⁡(2x3−1)x−ln⁡xdx\int_1^{+\infty } \frac{e^{\alpha x} \sin \left(2 x^3-1\right)}{x-\ln x} d x.

?
Задача 2.12.205

Исследовать на абсолютную и условную сходимости при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫2+∞cos⁡(2x2+3)(x−arctg⁡x)ln⁡αxdx\int_{2}^{+\infty } \frac{\cos \left(2 x^{2}+3\right)}{(x-\operatorname {arctg} x) \ln^{\alpha } x} d x.

?
Задача 2.12.206

Исследовать на абсолютную и условную сходимости при всех значениях параметра α\alpha интеграл. ∫0+∞sin⁡2x(x3−6x+6sin⁡x)αdx\int_{0}^{+\infty } \frac{\sin 2 x}{\left(x^{3}-6 x+6 \sin x\right)^{\alpha }} d x.

?
Задача 2.12.207

Доказать равенство, предполагая, что интеграл в его левой части сходится. ∫0+∞+∞f(αx+βx)dx=1α∫+∞+∞f(x2+4αβ)dx,α>0,β>0\int_{0^{+\infty }}^{+\infty } f\left(\alpha x+\frac{\beta }{x}\right) d x = \frac{1}{\alpha } \int_{+\infty }^{+\infty } f\left(\sqrt{x^{2}+4 \alpha \beta }\right) d x, \alpha > 0, \beta > 0.

?
Задача 2.12.208

Доказать равенство, предполагая, что интеграл в его левой части сходится. ∫0+∞f(x2)dx=α∫0+∞f(α2x2−2αβ+β2x2)dx,α>0,β>0\int_{0}^{+\infty } f\left(x^{2}\right) d x = \alpha \int_{0}^{+\infty } f\left(\alpha^{2} x^{2}-2 \alpha \beta +\frac{\beta^{2}}{x^{2}}\right) d x, \quad \alpha > 0, \quad \beta > 0.

?
Задача 2.12.209

Доказать равенство, предполагая, что интеграл в его левой части сходится. ∫0+∞f(xα+αx)ln⁡xxdx=ln⁡α∫0+∞f(xα+αx)dxx,α>0\int_{0}^{+\infty } f\left(\frac{x}{\alpha }+\frac{\alpha }{x}\right) \frac{\ln x}{x} d x = \ln \alpha \int_{0}^{+\infty } f\left(\frac{x}{\alpha }+\frac{\alpha }{x}\right) \frac{d x}{x}, \quad \alpha > 0.

?
Задача 2.12.210

Доказать равенство, предполагая, что интеграл в его левой части сходится. ∫0+∞f(xα+1xα)ln⁡xxdx=0,α≠0\int_{0}^{+\infty } f\left(x^{\alpha }+\frac{1}{x^{\alpha }}\right) \frac{\ln x}{x} d x = 0, \quad \alpha \neq 0.

?
Задача 2.12.211

Доказать равенство

∫0+∞e−αxdndxn(xne−x)dx=αnn!(α+1)n+1,α>0,n∈N \int _{0}^{+\infty } e^{-\alpha x} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n} e^{-x}\right) d x = \frac{\alpha ^{n} n !}{(\alpha +1)^{n+1}}, \quad \alpha > 0, \quad n \in N
?
Задача 2.12.212

Доказать рекуррентную формулу

Jn=n(n−1)n2+α2Jn−2,n>1 J_{n} = \frac{n(n-1)}{n^{2}+\alpha ^{2}} J_{n-2}, \quad n > 1

для интеграла

Jˉn=∫0+∞e−αxsin⁡nxdx,α>0 \bar{J}_{n} = \int _{0}^{+\infty } e^{-\alpha x} \sin ^{n} x d x, \quad \alpha > 0
?
Задача 2.12.213

Доказать формулу Фруллани

∫0+∞f(αx)−f(βx)xdx=(f(0)−f(+∞))ln⁡βα \int _{0}^{+\infty } \frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x} d x = (f(0)-f(+\infty )) \ln \frac{\beta }{\alpha }

где α>0,β>0;f(x),x∈[0,+∞)\alpha > 0, \beta > 0 ; f(x), x \in [0,+\infty ), — непрерывная функция, такая, что f(+∞)=lim⁡x→+∞f(x)f(+\infty ) = \lim_{x \rightarrow +\infty } f(x) существует.

?
Задача 2.12.214

Вычислить интеграл. ∫0+∞e−αx−e−βxxdx,α>0,β>0\int_{0}^{+\infty } \frac{e^{-\alpha x}-e^{-\beta x}}{x} d x, \quad \alpha > 0, \quad \beta > 0.

?
Задача 2.12.215

Вычислить интеграл. ∫0+∞arctg⁡αx−arctg⁡βxxdx,α>0,β>0\int_{0}^{+\infty } \frac{\operatorname {arctg} \alpha x-\operatorname {arctg} \beta x}{x} d x, \quad \alpha > 0, \quad \beta > 0.

?
Задача 2.12.216

Вычислить интеграл. ∫0+∞ln⁡α+βe−xα+βe−2xdxx,α>0,β>0\int_{0}^{+\infty } \ln \frac{\alpha +\beta e^{-x}}{\alpha +\beta e^{-2 x}} \frac{d x}{x}, \quad \alpha > 0, \quad \beta > 0.

?
Задача 2.12.217

Вычислить интеграл. ∫0+∞(−xex−xe−x−12)dxx2\int_{0}^{+\infty }\left(\frac{-x}{e^{x}-\frac{x}{e^{-x}}}-\frac{1}{2}\right) \frac{d x}{x^{2}}.

?
Задача 2.12.218

Доказать формулу Фруллани

∫0+∞f(αx)xf(βx)dx=f(0)ln⁡αβ \int _{0}^{+\infty } \frac{f(\alpha x)}{x} \frac{f(\beta x)}{d x} = f(0) \ln \frac{\alpha }{\beta }

где α>0,β>0;f(x),x∈[0,+∞)\alpha > 0, \beta > 0 ; f(x), x \in [0,+\infty ), — непрерывная функция, такая, что ∫a+∞f(x)xdx\int_{a}^{+\infty } \frac{f(x)}{x} d x существует при любом a>0a > 0.

?
Задача 2.12.219

Вычислить интеграл. ∫0+∞sin⁡αxx−sin⁡βxxdx,α>0,β>0\int_{0}^{+\infty } \frac{\sin \alpha x}{x}-\frac{\sin \beta x}{x} d x, \quad \alpha > 0, \quad \beta > 0.

?
Задача 2.12.220

Вычислить интеграл. ∫0+∞cos⁡αxx−cos⁡βxxdx,α>0,β>0\int_{0}^{+\infty } \frac{\cos \alpha x}{x}-\frac{\cos \beta x}{x} d x, \quad \alpha > 0, \quad \beta > 0.

?
Задача 2.12.221

Вычислить интеграл. ∫0+∞βsin⁡αx−αsin⁡βxx2dx,α>0,β>0\int_{0}^{+\infty } \frac{\beta \sin \alpha x-\alpha \sin \beta x}{x^{2}} d x, \quad \alpha > 0, \quad \beta > 0.

?
Задача 2.12.222

Вычислить интеграл. ∫0+∞1−cos⁡αxxcos⁡βxdx,α>0,β>0,α≠β\int_{0}^{+\infty } \frac{1-\cos \alpha x}{x} \cos \beta x d x, \quad \alpha > 0, \quad \beta > 0, \quad \alpha \neq \beta.

?
Задача 2.12.223

Доказать, что если монотонная функция f(x),x∈[0,+∞)f(x), x \in [0,+\infty ), интегрируема на [0,+∞)[0,+\infty ), то

∫0+∞f(x)dx=lim⁡h→+0h∑k=1+∞f(kh) \int _{0}^{+\infty } f(x) d x = \lim _{h \rightarrow +0} h \sum _{k = 1}^{+\infty } f(k h)
?
Задача 2.12.224

Пусть ∫1+∞f(x)dx\int_{1}^{+\infty } f(x) d x сходится. Следует ли из этого, что f(x)→0f(x) \rightarrow 0 при x→+∞Γ1x \rightarrow +\infty \Gamma^{1}

?
Задача 2.12.225

Пусть f(x),x∈[0,+∞)f(x), x \in [0,+\infty ), — дифференцируемая функция и ∣f′(x)∣<2\left|f^{\prime }(x)\right| < 2. Доказать, что если ∫0+∞f(x)dx\int_{0}^{+\infty } f(x) d x сходится, то lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x \rightarrow +\infty } f(x) = 0.

?
Задача 2.12.226

Доказать, что если функция f(x),x∈[1,+∞)f(x), x \in [1,+\infty ), монотонна и ∫1+∞xαf(x)dx\int_{1}^{+\infty } x^{\alpha } f(x) d x сходится, то lim⁡x→+∞xα+1f(x)=0\lim_{x \rightarrow +\infty } x^{\alpha +1} f(x) = 0.

?
Задача 2.12.227

Пусть f(x),x∈[0,+∞)f(x), x \in [0,+\infty ), — непрерывная неотрицательная функция, и пусть ∫0+∞f(x)dx\int_{0}^{+\infty } f(x) d x сходится. Следует ли отсюда, что lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x \rightarrow +\infty } f(x) = 0?

?
Задача 2.12.228

Привести пример непрерывной положительной функции f(x)f(x), x∈[0,+∞)x \in [0,+\infty ), для которой ∫0+∞f(x)dx\int_{0}^{+\infty } f(x) d x сходится и lim⁡x→+∞f(x)≠0\lim_{x \rightarrow +\infty } f(x) \neq 0.

?
Задача 2.12.229

Привести пример непрерывной и неограниченной на любом промежутке [a,+∞),a>0[a,+\infty ), a > 0, функции f(x)f(x), для которой ∫0+∞f(x)dx\int_{0}^{+\infty } f(x) d x сходится.

?
Задача 2.12.230

Привести пример непрерывной неотрицательной и неограниченной на любом промежутке [a,+∞),a>0[a,+\infty ), a > 0, функции f(x)f(x), для которой ∫0+∞f(x)dx\int_{0}^{+\infty } f(x) d x сходится.

?
Задача 2.12.231

Следует ли из сходимости интеграла ∫a+∞f(x)dx\int_{a}^{+\infty } f(x) d x и из ограниченности функции φ(x),x∈[a,+∞)\varphi (x), x \in [a,+\infty ), сходимость интеграла ∫a+∞f(x)φ(x)dxΓ\int_{a}^{+\infty } f(x) \varphi (x) d x \Gamma

?
Задача 2.12.232

Сходится ли интеграл ∫1+∞sin⁡xdxx−sin⁡x\int_{1}^{+\infty } \frac{\sin x d x}{\sqrt{x}-\sin x} ГМожно ли исследовать этот интеграл с помощью признака Дирихле, положив f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x и g(x)=1/(x−sin⁡x)Γg(x) = 1 /(\sqrt{x}-\sin x) \Gamma

?
Задача 2.12.233

Пусть f(x),x∈[a,+∞)f(x), x \in [a,+\infty ), — непрерывная, а g(x),x∈[a,+∞)g(x), x \in [a,+\infty ), — непрерывно дифференцируемая функция. Пусть F(x)F(x), x∈[a,+∞)x \in [a,+\infty ), — первообразная для f(x)f(x) и ∫a+∞∣g′(x)∣dx\int_{a}^{+\infty }\left|g^{\prime }(x)\right| d x сходится. До-

∫a+∞f(x)g(x)dx \int _{a}^{+\infty } f(x) g(x) d x

необходимо и достаточно существование lim⁡x→+∞F(x)g(x)\lim_{x \rightarrow +\infty } F(x) g(x).

?
Задача 2.12.234

Пусть f(x),x∈[a;+∞)f(x), x \in [a ;+\infty ), — непрерывная периодическая с периодом TT функция, а g(x),x∈[a;+∞)g(x), x \in [a ;+\infty ), — непрерывно дифференцируемая монотонная функция и lim⁡x→+∞g(x)=0\lim_{x \rightarrow +\infty } g(x) = 0. Доказать, что если ∫aa+Tf(x)dx=0\int_{a}^{a+T} f(x) d x = 0, то интеграл ∫a+∞f(x)g(x)dx\int_{a}^{+\infty } f(x) g(x) d x сходится.

?
Задача 2.12.235

Пусть f(x),x∈[1;+∞)f(x), x \in [1 ;+\infty ), — непрерывная периодическая с периодом TT функция. При каких значениях α\alpha сходится интеграл

∫1+∞+∞(f(x2)+α)dxΓ \int _{\substack {1 \\ +\infty }}^{+\infty }\left(f\left(x^{2}\right)+\alpha \right) d x \Gamma
?
Задача 2.12.236

Пусть интеграл ∫−∞+∞f(x)dx\int_{-\infty }^{+\infty } f(x) d x сходится и равен JJ. Доказать, что

∫−∞+∞f(x−1x)dx=J \int _{-\infty }^{+\infty } f\left(x-\frac{1}{x}\right) d x = J
?
Задача 2.12.237

Доказать, что при α>1\alpha > 1 верно неравенство

∫0+∞dxx4+2x2+α2<2arctg⁡1α \int _{0}^{+\infty } \frac{d x}{\sqrt{x^{4}+2 x^{2}+\alpha ^{2}}} < 2 \operatorname {arctg} \frac{1}{\sqrt{\alpha }}
?
Задача 2.12.238

Пусть f(x),x∈[0;+∞)f(x), x \in [0 ;+\infty ), — непрерывная положительная функция и интеграл ∫0+∞dxf(x)\int_{0}^{+\infty } \frac{d x}{f(x)} — сходится. Доказать, что

lim⁡a→+∞1a2∫0af(x)dx=+∞ \lim _{a \rightarrow +\infty } \frac{1}{a^{2}} \int _{0}^{a} f(x) d x = +\infty
?
Задача 2.12.239

Доказать, что при x→+∞x \rightarrow +\infty верно асимптотическое равенство. ∫x+∞dttet∼1xex\int_{x}^{+\infty } \frac{d t}{t e^{t}} \sim \frac{1}{x e^{x}}.

?
Задача 2.12.240

Доказать, что при x→+∞x \rightarrow +\infty верно асимптотическое равенство. ∫x+∞cos⁡t2dt∼−sin⁡x22x\int_{x}^{+\infty } \cos t^{2} d t \sim -\frac{\sin x^{2}}{2 x}.

?
Задача 2.12.241

Доказать, что при x→+∞x \rightarrow +\infty верно асимптотическое равенство. ∫x+∞dtt2α+ln⁡t3∼1xα+ln⁡x3,α∈R\int_{x}^{+\infty } \frac{d t}{t^{2} \sqrt[3]{\alpha +\ln t}} \sim \frac{1}{x \sqrt[3]{\alpha +\ln x}}, \quad \alpha \in R.

?
Задача 2.12.242

Доказать, что при x→+∞x \rightarrow +\infty верно асимптотическое равенство. ∫x+∞dttαln⁡βt∼1(α−1)xα−1ln⁡βx,α>1,β∈R\int_{x}^{+\infty } \frac{d t}{t^{\alpha } \ln^{\beta } t} \sim \frac{1}{(\alpha -1) x^{\alpha -1} \ln^{\beta } x}, \quad \alpha > 1, \quad \beta \in R.

?
Задача 2.12.243

Доказать, что при x→+∞x \rightarrow +\infty верно асимптотическое равенство. ∫x+∞tαdtet2+2βt∼xα−12ex2+2βx,α,β∈R\int_{x}^{+\infty } \frac{t^{\alpha } d t}{e^{t^{2}+2 \beta t}} \sim \frac{x^{\alpha -1}}{2 e^{x^{2}+2 \beta x}}, \quad \alpha , \beta \in R.

?
Задача 2.12.244

Доказать, что при x→+∞x \rightarrow +\infty верно асимптотическое равенство. ∫x+∞cos⁡ttdt=−sin⁡xx+O(1xx)\int_{x}^{+\infty } \frac{\cos t}{\sqrt{t}} d t = -\frac{\sin x}{\sqrt{x}}+O\left(\frac{1}{x \sqrt{x}}\right).

?
Задача 2.12.245

Доказать, что при x→+∞x \rightarrow +\infty верно асимптотическое равенство. ∫x+∞sin⁡t2dt=cos⁡x22x+O(1x3)\int_{x}^{+\infty } \sin t^{2} d t = \frac{\cos x^{2}}{2 x}+O\left(\frac{1}{x^{3}}\right).

?
Задача 2.12.246

Доказать, что при x→+∞x \rightarrow +\infty верно асимптотическое равенство. ∫x+∞cos⁡tαdt=−sin⁡xααxα−1+O(1x2α−1),α>1\int_{x}^{+\infty } \cos t^{\alpha } d t = -\frac{\sin x^{\alpha }}{\alpha x^{\alpha -1}}+O\left(\frac{1}{x^{2 \alpha }-1}\right), \quad \alpha > 1.

?
Задача 2.12.247

Доказать, что при x→+∞x \rightarrow +\infty верно асимптотическое равенство. ∫x+∞dttet=∑k=1n(−1)k−1(k−1)!xk+O(1exxn+1)\int_{x}^{+\infty } \frac{d t}{t e^{t}} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}(k-1) !}{x^{k}}+O\left(\frac{1}{e^{x} x^{n+1}}\right).

?
Задача 2.12.248

Найти интеграл в смысле главного значения. v.p. ∫−∞+∞sin⁡xdx\int_{-\infty }^{+\infty } \sin x d x.

?
Задача 2.12.249

Найти интеграл в смысле главного значения. v.p. ∫−∞+∞cos⁡xdx\int_{-\infty }^{+\infty } \cos x d x.

?
Задача 2.12.250

Найти интеграл в смысле главного значения. v.p. ∫−∞+∞arctg⁡xdx\int_{-\infty }^{+\infty } \operatorname {arctg} x d x

?
Задача 2.12.251

Найти интеграл в смысле главного значения. v.p. ∫−∞+∞(arctg⁡x+11+x2−π2)dx\int_{-\infty }^{+\infty }\left(\operatorname {arctg} x+\frac{1}{1+x^{2}}-\frac{\pi }{2}\right) d x.

?
Задача 2.12.252

Найти интеграл в смысле главного значения. v.p. ∫−∞+∞13+x17+x2dx\int_{-\infty }^{+\infty } \frac{13+x}{17+x^{2}} d x.

?
Задача 2.12.253

Найти интеграл в смысле главного значения. v.p. ∫−∞+∞dxx\int_{-\infty }^{+\infty } \frac{d x}{x}

?
Задача 2.12.254

Найти интеграл в смысле главного значения. v.p. ∫0+∞dx1−x2\int_{0}^{+\infty } \frac{d x}{1-x^{2}}

?
Задача 2.12.255

Найти интеграл в смысле главного значения. v.p. ∫0+∞dxx2−3x+2\int_{0}^{+\infty } \frac{d x}{x^{2}-3 x+2}

?
Задача 2.12.256

Доказать равенство

 v.p. ∫0+∞xsin⁡αxx2−a2dx=cos⁡αa∫0+∞sin⁡αxxdx,α,a∈R. \text{ v.p. } \int _{0}^{+\infty } \frac{x \sin \alpha x}{x^{2}-a^{2}} d x = \cos \alpha a \int _{0}^{+\infty } \frac{\sin \alpha x}{x} d x, \quad \alpha , a \in R.
?