Банк задач по математике

Задача 2.13.1

Найти $n$ -ю частичную сумму $S_{n}$ ряда и сумму $S$ этого ряда.

?

(1)

$\frac{2}{5}+\frac{2}{25}+\ldots +\frac{2}{5^{n}}+\ldots$ ;

(2)

$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\ldots +\frac{(-1)^{n-1}}{3^{n-1}}+\ldots$ ;

(3)

$\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}\right)+\ldots +\left(\frac{1}{3^{n}}+\frac{1}{5^{n}}\right)+\ldots$ ;

(4)

$\left(3+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{18}\right)+\ldots$

(5)

$\left(\frac{1}{10}+\frac{2}{10^{2}}+\frac{5}{10^{3}}\right)+\left(\frac{1}{10^{2}}+\frac{2}{10^{3}}+\frac{5}{10^{4}}\right)+\ldots$

$\ldots +\left(\frac{1}{10^{n}}+\frac{2}{10^{n+1}}+\frac{5}{10^{n+2}}\right)+\ldots$

Задача 2.13.2

Найти $n$ -ю частичную сумму $S_{n}$ ряда и сумму $S$ этого ряда.

?

(1)

$\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\ldots +\frac{1}{(n+2)(n+3)}+\ldots$ ;

(2)

$\frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7}+\ldots +\frac{1}{(3 n-2)(3 n+1)}+\ldots$ ;

(3)

$\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\ldots +\frac{1}{n(n+1)(n+2)}+\ldots$ ;

(4)

$\frac{1}{3 \cdot 5 \cdot 7}+\frac{1}{5 \cdot 7 \cdot 9}+\ldots +\frac{1}{(2 n+1)(2 n+3)(2 n+5)}+\ldots$ ;

(5)

$\frac{1}{a(a+1)(a+2)(a+3)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)}+\ldots$

\ldots +\frac{1}{(a+n)(a+n+1)(a+n+2)(a+n+3)}+\ldots

Задача 2.13.3

(1)(2)(3)(4)

Найти $n$ -ю частичную сумму $S_{n}$ ряда и сумму $S$ этого ряда.

?

(1)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{16 n^{2}-8 n-3}$ ;

(2)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{25 n^{2}+5 n-6}$ ;

(3)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{36 n^{2}-2} \frac{14}{4 n-5}$ ;

(4)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{49 n^{2}+7 n-12}$

Задача 2.13.4

(1)(2)(3)(4)

Найти $n$ -ю частичную сумму $S_{n}$ ряда и сумму $S$ этого ряда.

?

(1)

$\sum_{n = 2}^{\infty } \frac{1}{n^{2}-1}$ ;

(2)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{4 n^{2}+4 n-3}$ ;

(3)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{16 n^{2}-8} \frac{1}{n-15}$ ;

(4)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{36 n^{2}+12 n-35}$ .

Задача 2.13.5

Найти $n$ -ю частичную сумму $S_{n}$ ряда и сумму $S$ этого ряда.

?

(1)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{3 n-1}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}$ ;

(2)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{2 n+9}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}$ ;

(3)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{2 n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}$

(4)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{n}{(2 n-1)^{2}(2 n+1)^{2}}$ ;

(5)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{n-\sqrt{n^{2}-1}}{\sqrt{n(n+1)}}$ ;

(6)

$\sum_{n = 1}^{\infty }(\sqrt{n+2}-2 \sqrt{n+1}+\sqrt{n})$ .

Задача 2.13.6

Найти $n$ -ю частичную сумму $S_{n}$ ряда и сумму $S$ этого ряда.

?

(1)

$\sum_{n = 2}^{\infty } \ln \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)$ ;

(2)

$\sum_{n = 2}^{\infty } \ln \left(1-\frac{2}{n(n+1)}\right)$ ;

(3)

$\sum_{n = 2}^{\infty } \ln \frac{n^{3}-1}{n^{3}+1}$ ;

(4)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \ln \frac{n(2 n+1)}{(n+1)(2 n-1)}$

(5)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \sin \frac{1}{2^{n}} \cos \frac{3}{2^{n}}$

(6)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \sin \frac{\alpha }{2^{n+1}} \cos \frac{3 \alpha }{2^{n+1}}$ ;

(7)

$\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{1}{n !(n+2)}$ ;

(8)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \operatorname {arctg} \frac{1}{2 n^{2}}$ .

Задача 2.13.7

Доказать, что если $a_{k} = \frac{1}{u_{k} u_{k+1} \ldots u_{k+m}}$ , где $u_{1}, u_{2}, \ldots , u_{n}, \ldots$ — последовательные члены арифметической прогрессии с разностью $d$ , причем $d \neq 0, u_{k} \neq 0(k \in N)$ , то ряд $\sum_{k = 1}^{\infty } a_{k}$ сходится и

\sum _{n = 1}^{\infty } \frac{1}{u_{n} u_{n+1} \ldots u_{n+m}} = \frac{1}{m d u_{1} u_{2} \ldots u_{m}}

?

Задача 2.13.8

(1)(2)(3)(4)

Найти сумму ряда.

?

(1)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n(n+2)(n+3)}$ ;

(2)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{2-n}{n(n+1)(n+3)}$ ;

(3)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{(n+1)(n+2)(2 n+1)(2 n+5)}$ ;

(4)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{3 n+4}{n(n+1)(n+4)}$ .

Задача 2.13.9

(1)(2)(3)(4)

Найти сумму ряда.

?

(1)

$\sum_{n = 1}^{\infty }\left(\frac{(-1)^{n}}{3^{n}}+\frac{i}{5^{n}}\right)$ ;

(2)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(1+i)^{n}}{4^{n}}$ ;

(3)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{n+2+i n}{n(n+1)(n+2)}$ ;

(4)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{n}{(1-i)^{n}}$ .

Задача 2.13.10

(1)(2)

Найти сумму ряда.

?

(1)

$\sum_{n = 1}^{\infty } a^{n} \cos n \alpha , \alpha \in R, a \in R,\left|a\right| < 1$ ;

(2)

$\sum_{n = 1}^{\infty } a^{n} \sin n \alpha , \alpha \in R, a \in R,\left|a\right| < 1$ .

Задача 2.13.11

Доказать расходимость ряда, используя необходимое условие сходимости.

?

(1)

$\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n} \frac{2 n^{2}+3 n+4}{2 n^{2}+1}$ ;

(2)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \sqrt{\frac{3 n+4}{5 n+1}}$ ;

(3)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{n+2}{\sqrt[3]{n^{3}+2 n+4}}$

(4)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \sqrt[n]{0,02}$

(5)

$\sum_{n = 1}^{\infty }\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n}$

(6)

$\sum_{n = 1}^{\infty }\left(\frac{3 n^{3}-2}{3 n^{3}+4}\right)^{n^{3}}$ .

Задача 2.13.12

Доказать расходимость ряда, используя необходимое условие сходимости.

?

(1)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\sqrt[3]{n}}{\ln^{2}(n+1)}$ ;

(2)

$\sum_{n = 1}^{\infty }\left(n^{2}+2\right) \ln \frac{n^{2}+1}{n^{2}}$

(3)

$\sum_{n = 1}^{\infty }(n+1) \operatorname {arctg} \frac{1}{n+2}$ ;

(4)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{n^{3}+1}{n+3} \arcsin \frac{1}{n^{2}+2}$ ;

(5)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{\sqrt[n]{\ln (n+1)}}$

(6)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{n^{n+1 / n}}{(n+1 / n)^{n}}$ . если:

Задача 2.13.13

(1)(2)(3)(4)

Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость ряда $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ ,

?

(1)

$a_{n} = \frac{\cos n x}{2^{n}}$

(2)

$a_{n} = \frac{\sin n \alpha }{n(n+1)}$

(3)

$a_{n} = \frac{\cos \alpha^{n}}{n^{2}}$

(4)

$a_{n} = \frac{\cos n x-\cos (n+1) x}{n}$ .

Задача 2.13.14

(1)(2)(3)(4)

Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость ряда $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ , если:

?

(1)

$a_{n} = \frac{1}{2 n+1}$ ;

(2)

$a_{n} = \frac{n+1}{n^{2}+4}$ ;

(3)

$a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}$ ;

(4)

$a_{n} = \ln (1+1 / n)$ .

Задача 2.13.15

Доказать, что если ряды $\sum_{n = 1}^{\infty } z_{n}$ и $\sum_{n = 1}^{\infty } w_{n}$ сходятся и их суммы соответственно равны $s$ и $\sigma$ , то и ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } \zeta_{n}$ , где $\zeta_{n} = \lambda z_{n}+\mu w_{n}$ , сходится при любых комплексных $\lambda , \mu$ и его сумма равна $\lambda s+\mu \sigma$ .

?

Задача 2.13.16

(1)(2)

Доказать, что:

?

(1)

если ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } z_{n}$ сходится, то при любом $m$ сходится его $m$ -й

(2)

если какой-либо остаток ряда сходится, то сходится и сам ряд.

При этом справедливо равенство $S = S_{m}+r_{m}$ , где $S$ и $S_{m}$ — соответственно сумма и $m$ -я частичная сумма исходного ряда, $r_{m}$ — сумма его $m$ -го остатка.

Задача 2.13.17

Доказать, что если ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } z_{n}$ сходится и его сумма равна $S$ , то сходится и ряд $\sum_{j = 1}^{\infty } w_{j}$ , где $w_{1} = z_{1}+z_{2}+\ldots +z_{k_{1}}, \quad w_{2} = z_{k_{1}+1}+z_{k_{1}+2}+\ldots +z_{k_{2}}, \ldots$

\ldots , \quad w_{j} = z_{k_{j-1}+1}+z_{k_{j-1}+2}+\ldots +z_{k_{j}}

( $\left\{ k_{j}\right\}$ — строго возрастающая последовательность натуральных чисел) и при этом $\sum_{j = 1}^{\infty } w_{j} = S$ .

?

Задача 2.13.18

Доказать, что если ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}^{2}$ , где $a_{n} \in R(n \in N)$ , сходится, то сходится и ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\left|a_{n}\right|}{n} \mid$ .

?

Задача 2.13.19

(1)(2)

Выяснить, что можно сказать о сходимости ряда $\sum_{n = 1}^{\infty } c_{n}$ , где $c_{n} = a_{n}+b_{n}(n \in N)$ , если известно, что:

?

(1)

ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}$ сходится, а ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } b_{n}$ расходится;

(2)

оба эти ряда расходятся.

Задача 2.13.20

(1)(2)

Доказать, что если ряды $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n}^{2}$ и $\sum_{n = 1}^{\infty } b_{n}^{2}$ , где $a_{n} \in R, b_{n} \in R (n \in N)$ , сходятся, то сходятся и ряды:

?

(1)

$\sum_{n = 1}^{\infty }\left|a_{n} b_{n}\right|$

(2)

$\sum_{n = 1}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)^{2}$ .

Свойства сходящихся рядов