Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Доказать непрерывность суммы функционального ряда $\sum_{n = 1}^{\infty } u_{n}(x)$ на множестве $E$ :

Доказать, что функция $f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } n e^{-n x}$ непрерывна при $x > 0$, и вычислить $\int_{\ln 2}^{\ln 5} f(x) d x$.

Доказать, что функция $f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}(n+1)^{2}+x^{2}}$ непрерывна на $R$, и вычислить $\int_{0}^{+\infty } f(x) d x$.

Доказать, что функция $f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\cos^{2} n x}{n(n+1)}$ непрерывна на $R$, и вычислить $\int_{0}^{2 \pi } f(x) d x$.

Доказать, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty }\left((n+1) x e^{-(n+1) x}-n x e^{-n x}\right)$ сходится неравномерно на отрезке $[0 ; 1]$, однако его сумма — функция, непрерывная на этом отрезке.

Доказать, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty }\left(x^{2(n+1)}-x^{2 n}\right)$ сходится неравномерно на отрезке $[-1 ; 1]$, но его можно почленно интегрировать на этом отрезке.

Известно, что сумма $S(x)$ ряда $\sum_{n = 1}^{\infty } a_{n} \sin n x$, где $\left\{ a_{n}\right\}$ — заданная числовая последовательность, является нечетной периодической с периодом $2 \pi$ функцией, такой, что

Верно ли, что этот ряд сходится неравномерно на $R \Gamma$

Найти множество $E$ всех значений $x$, при которых определена функция $f(x)$, и исследовать ее на непрерывность на $E$, если:

Найти множество $E$ всех значений $x$, при которых определена функция $f(x)$, и исследовать ее на дифференцируемость на множестве $E$, если:

Доказать, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\sin n x}{n^{2} \ln^{2}(n+1)}$ можно дифференцировать почленно на $R$.

Доказать, что функция $f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{(n-x)^{2}}$ непрерывна на $R$, за исключением точек $x = n, n \in N$.

Доказать, что функция $f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\cos n x}{n^{3}}$ имеет непрерывную производную на $R$.

Доказать, что ряд $f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } e^{-(x-n)^{2}}$ можно почленно дифференцировать на отрезке $[-1 ; 1]$ любое число раз.

Доказать, что дзета-функция Римана $\zeta (x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n^{x}}$ непрерывна на множестве $(1 ;+\infty )$ и имеет на этом множестве производные любого порядка.

Доказать, что функция $f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty } e^{-n^{2} x}$ бесконечно диффенцируема при $x > 0$. ренцируема при $x > 0$.

Доказать, что сумма ряда $\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{e^{-n x}}{1+n^{2}}$ непрерывна при $x \geqslant 0$ и дифференцируема при $x > 0$.

Показать, что последовательность $\left\{ f_{n}(x)\right\}$, где $f_{n}(x) = n x e^{-n x^{2}}$, сходится на отрезке $[0 ; 1]$, но

Показать, что последовательность $\left\{ f_{n}(x)\right\}$, где $f_{n}(x) = \frac{1}{n} \operatorname {arctg} x^{n}$, сходится равномерно на $R$, но

Показать, что последовательность $\left\{ f_{n}(x)\right\}$, где

сходится равномерно на $R$ к функции $f$ и что равенство

выполняется при всех $x$, кроме $x = 0$.

Показать, что последовательность $\left\{ f_{n}(x)\right\}$, где

сходится равномерно на $R$, но $\left(\lim_{n \rightarrow \infty } f_{n}(x)\right)^{\prime } \neq \lim_{n \rightarrow \infty } f_{n}^{\prime }(x)$.

Показать, что последовательность $\left\{ f_{n}(x)\right\}$, где

сходится равномерно на $R$ к дифференцируемой функции $f(x)$, но

Показать, что последовательность $\left\{ f_{n}(x)\right\}$, где

сходится на отрезке $[0 ; 1]$ к непрерывной функции $f(x)$, но

Показать, что последовательность $\left\{ f_{n}(x)\right\}$, где $f_{n}(x) = n x(1-x)^{n}$, сходится неравномерно на отрезке $[0 ; 1]$, однако

Выяснить, справедливо ли равенство

Можно ли ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } \operatorname {arctg} \frac{x}{n^{2}}$ почленно дифференцировать на $R \Gamma$

Можно ли ряд $\sum_{n = 1}^{\infty }\left(x^{1 /(2 n-1)}-x^{1 /(2 n+1)}\right)$ почленно интегрировать на отрезке $[0 ; 1] \Gamma$

Найти все значения $\alpha$, при которых для последовательности $\left\{ f_{n}(x)\right\}$, где $f_{n}(x) = n^{\alpha } x e^{-n x}$, выполняется равенство

Может ли последовательность $\left\{ f_{n}(x)\right\}$ разрывных функций сходиться равномерно к непрерывной функцииГ

Пусть на множестве $R$ определены и ограничены в совокупности функции $f_{n}(x), n \in N$, и, кроме того, $f_{n}(x) \rightrightarrows f(x), x \in R$. Следует ли отсюда, что

Пусть функция $f$ определена на $R$, бесконечно дифференцируема и

Доказать, что $\lim_{n \rightarrow \infty } f^{(n)}(x) = C e^{x}$, где $C =$ const.

Пусть функция $f$ бесконечно дифференцируема на $R$, а последовательность $\left\{ f^{(n)}(x)\right\}$ сходится равномерно к $\varphi (x)$ на каждом конечном интервале $(a ; b)$. Доказать, что $\varphi (x) = C e^{x}$, где $C =$ const.

Показать, что последовательность $\left\{ f_{n}(x)\right\}$, где

сходится на $R$ к непрерывной функции, но неравномерно.

Доказать, что если функции $f_{n}(x), n \in N$, непрерывны на множестве Е и $f_{n}(x) \rightrightarrows f(x), x \in E$, то

для каждой последовательности $\left\{ x_{n}\right\}$ такой, что $x_{n} \in E, x_{n} \rightarrow x$ при $n \rightarrow \infty$, где $x \in E$.

Пусть $\left\{ f_{n}(x)\right\}$ — последовательность монотонных на отрезке $[a ; b]$ функций, сходящихся к функции $f(x)$, непрерывной на $[a ; b]$. Доказать, что

Пусть функции $f_{n}(x), n \in N$, интегрируемы на отрезке $[a ; b]$, и пусть последовательность $\left\{ f_{n}(x)\right\}$ равномерно ограничена на $[a ; b]$, т. е.

Показать, что из последовательности $\left\{ F_{n}(x)\right\}$, где

можно выделить подпоследовательность $\left\{ F_{n_{k}}(x)\right\}$, равномерно сходящуюся на отрезке $[a ; b]$.

Показать, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x\left(n(n+1) x^{2}-1\right)}{\left(1+n^{2} x^{2}\right)\left(1+(n+1)^{2}x^{2}\right)}$ сходится неравномерно на отрезке $[-1 ; 1]$, но его сумма непрерывна на этом отрезке.

Показать, что ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\sin 2^{n} \pi x}{2^{n}}$ сходится равномерно на $R$, но его нельзя почленно дифференцировать ни в каком промежутке.

Доказать, что:

Пусть $r_{n}, n \in N$, — рациональные числа отрезка $[0 ; 1]$. Показать, что функция

непрерывна на отрезке $[0 ; 1]$, дифференцируема в иррациональных точках и недифференцируема в рациональных точках этого отрезка.

Найти предел:

Пусть функции $u_{n}(x), n \in N$, непрерывны на отрезке $[a ; b]$ и $u_{n}(x) > 0, x \in [a ; b], n \in N$. Показать, что если ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } u_{n}(x)$ сходится на $[a ; b]$ к функции $f(x)$, непрерывной на этом отрезке, то

Пусть $\varphi (x)$ — периодическая с периодом 1 функция такая, что $\varphi (x) = \left|x\right|$ при $x \in [-1 / 2 ; 1 / 2]$. Показать, что сумма ряда

непрерывна на $R$, но не дифференцируема ни в одной точке $x \in R$.

Последовательность $\left\{ f_{n}(x)\right\}$ называется равностепенно непрерывной на отрезке $[a ; b]$, если

$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall x^{\prime }, x^{\prime \prime } \in [a ; b]\left|x^{\prime }-x^{\prime \prime }\right| < \delta \quad \forall n \in N:\left|f_{n}\left(x^{\prime }\right)-f_{n}\left(x^{\prime \prime }\right)\right| < \varepsilon$.

Доказать, что если последовательность $\left\{ f_{n}(x)\right\}$ непрерывных функций равномерно сходится на отрезке $[a ; b]$, то она равномерно ограничена (см. задачу 35) и равностепенно непрерывна на отрезке $[a ; b]$.

Доказать, что если последовательность $\left\{ f_{n}(x)\right\}$ равномерно ограничена и равностепенно непрерывна (см. задачу 43) на отрезке $[a ; b]$, то из нее можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся на этом отрезке (теорема Ариела).