Банк задач по математике

Задача 2.21.1

(1)(2)(3)(4)

Используя разложения (3)-(7) доказать, что:

?

(1)

$e^{a x} = \sum_{n = 0}^{\infty } e^{a x_{0}} \frac{a^{n}}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}, \quad x \in R$ ;

(2)

$a^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{\ln^{n} a}{n !} x^{n}, \quad a > 0, \quad x \in R$ ;

(3)

$\operatorname {ch} a x = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{a^{2 n}}{(2 n) !} x^{2 n}, \quad x \in R$ ;

(4)

$\sin a x = \sum_{n = 0}^{\infty }(-1)^{n} \frac{a^{2 n+1}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}, \quad x \in R$ .

Задача 2.21.2

(1)(2)(3)(4)

Используя разложения (8), (34), (36), (37), доказать, что:

?

(1)

$\frac{1}{a+b x} = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{(-1)^{n} b^{n}}{a^{n+1}} x^{n}, \quad \left|x\right| < \left|\frac{a}{b}\right|, \quad a b \neq 0$ ;

(2)

$\frac{1}{x^{2}+a^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{a^{2(n+1)}} x^{2 n}, \quad \left|x\right| < \left|a\right|, \quad a \neq 0$ ;

(3)

$\frac{1}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}} = \frac{1}{a}+\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}(2 n-1) ! !}{a^{2 n+1}(2 n) ! !} x^{2 n}, \quad \left|x\right| < a, \quad a > 0$ ;

(4)

$\sqrt{a^{2}+x^{2}} = a+\frac{x^{2}}{2 a}+\sum_{n = 2}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}(2 n-3) ! !}{(2 n) ! ! a^{2 n-1}} x^{2 n}, \quad \left|x\right| < a, \quad a > 0$ .

Задача 2.21.3

(1)(2)

Используя разложения (11), (12), доказать, что:

?

(1)

$\ln (a+b x) = \ln a+\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left(\frac{b}{a}\right)^{n} \frac{x^{n}}{n}, \quad \left|x\right| < \frac{a}{\left|b\right|}, \quad a > 0, \quad b \neq 0$ ;

(2)

$\ln \frac{a+x}{a-x} = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{2}{2 n+1}\left(\frac{x}{a}\right)^{2 n+1},\left|x\right| < a, a > 0$ .

Задача 2.21.4

Разложить функцию в ряд Маклорена и найти радиус сходимости $R$ полученного ряда.

?

(1)

$e^{-x^{2}}$ ;

(2)

$\frac{x^{2}}{(1+x)^{2}}$ ;

(3)

$\frac{1}{\left(1-x^{3}\right)^{2}}$ ;

(4)

$\left(1-x^{2}\right)^{-3 / 2}$ ;

(5)

$\sin \frac{x^{2}}{3}$ ;

(6)

$\operatorname {ch}(x \sqrt{2})$ ;

(7)

$\frac{x^{3}}{\sqrt{1-2 x}}$ ;

(8)

$\sqrt{1-x^{2}}$ .

Задача 2.21.5

Разложить функцию в ряд Маклорена и найти радиус сходимости $R$ полученного ряда.

?

(1)

$e^{2 x}+2 e^{-x}$ ;

(2)

$(1+x) e^{-x}$

(3)

$x^{2} \ln \left(4+x^{2}\right)$ ;

(4)

$(1-x) \ln (1-x)$ ;

(5)

$\ln \sqrt[3]{\frac{1+x}{1-x}}$

(6)

$\left(1+x^{2}\right) \operatorname {arctg} x$ ;

(7)

$\frac{1}{2}(\operatorname {sh} x+\sin x)$ ;

(8)

$\arccos x$ .

Задача 2.21.6

Разложить функцию в ряд Маклорена и найти радиус сходимости $R$ полученного ряда.

?

(1)

$\frac{5 x-4}{x+2}$ ;

(2)

$\frac{1}{x^{2}-2 x-3}$ ;

(3)

$\frac{1}{2 x^{2}+5 x-3}$ ;

(4)

$\frac{3 x+4}{x^{2}+x-6}$

(5)

$\frac{5-2 x}{x^{2}-5 x+6}$ ;

(6)

$\frac{1}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}$ ;

(7)

$\frac{x}{(x+1)\left(x^{2}-1\right)}$ ;

(8)

$\frac{1}{5-4 x^{2}-x^{4}}$ ;

(9)

$\frac{5-3 x}{2 x^{2}+5 x-3}$ ;

(10)

$\frac{7-4 x}{6-5 x-6 x^{2}}$ .

Задача 2.21.7

Разложить функцию в ряд Маклорена и найти радиус сходимости $R$ полученного ряда.

?

(1)

$\frac{1}{3 x^{4}+10 x^{2}+3}$ ;

(2)

$\frac{1}{2 x^{4}+5 x^{2}+2}$ ;

(3)

$\frac{1}{\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+4\right)}$ ;

(4)

$\frac{2 x^{2}+x+3}{(1-x)^{2}(2+x)}$ ;

(5)

$\frac{1}{1-x-x^{2}}$ ;

(6)

$\frac{1}{1+x+x^{2}}$ .

Задача 2.21.8

(1)(2)(3)(4)

Разложить функцию в ряд Маклорена и найти радиус сходимости $R$ полученного ряда.

?

(1)

$\frac{1}{x^{3}+x^{2}+3 x+3}$ ;

(2)

$\frac{1}{x^{3}+x^{2}-4 x-4}$ ;

(3)

$\frac{x-2}{x^{3}+x^{2}+2 x+2}$ ;

(4)

$\frac{1}{x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}$ .

Задача 2.21.9

Разложить функцию в ряд Маклорена и найти радиус сходимости $R$ полученного ряда.

?

(1)

$\ln \frac{3-2 x}{2+3 x}$

(2)

$\ln \left(12-x-x^{2}\right)$ ;

(3)

$\ln \frac{2+x^{2}}{\sqrt{1-2 x^{2}}}$ ;

(4)

$\ln \frac{\left|x^{2}-2\right|}{x^{2}+1}$ ;

(5)

$\ln \frac{2+x^{2}}{1-x}$ ;

(6)

$\left(x^{2}+5\right) \ln \frac{9-x^{2}}{4-x^{2}}$ .

Задача 2.21.10

Разложить функцию в ряд Маклорена и найти радиус сходимости $R$ полученного ряда.

?

(1)

$\ln \frac{2 x+1}{x^{2}} \frac{2 x+4}{}$ ;

(2)

$\ln \frac{x^{2}-8 x+16}{x+8}$ ;

(3)

$\ln \frac{10+3 x-x^{2}}{4-3 x}$ ;

(4)

$\ln \sqrt[7]{3-x+6 x^{2}-2 x^{3}}$ ;

(5)

$\ln \frac{2 x-3}{3 x^{2}+x-10}$ ;

(6)

$\ln \frac{3 x-1}{4 x^{2}-4 x-3}$ .

Задача 2.21.11

Разложить функцию в ряд Маклорена и найти радиус сходимости $R$ полученного ряда.

?

(1)

$\cos^{2} x$ ;

(2)

$\sin 3 x \sin 5 x$ ;

(3)

$\sin x \cos^{2} x$ ;

(4)

$x \sin 2 x \cos 3 x$ ;

(5)

$\sin^{3} x$ ;

(6)

$x \cos^{3} 2 x$ .

Задача 2.21.12

(1)(2)(3)(4)

Разложить функцию в ряд Маклорена и найти радиус сходимости $R$ полученного ряда.

?

(1)

$x^{2} \operatorname {ch}^{2} x$ ;

(2)

$x \operatorname {sh}^{2} x$

(3)

$\operatorname {ch}^{3} x$ ;

(4)

$\sin^{5} x$ .

Задача 2.21.13

Доказать, что если $a > 0$ , то

\ln \left(x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right) = \ln a+\frac{x}{a}+\sum _{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}(2 n-1) ! !}{(2 n) ! ! a^{2 n+1}(2 n+1)} x^{2 n+1}

Найти радиус сходимости этого ряда.

?

Задача 2.21.14

Разложить в ряд Маклорена функцию и найти радиус сходимости $R$ этого ряда.

?

(1)

$x \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+2}\right)$ ;

(2)

$x \ln \left(x^{2}+\sqrt{9+x^{4}}\right)$ ;

(3)

$\ln \left(x^{3}+\sqrt{9+x^{6}}\right)$

(4)

$\ln \left(x^{3}+\sqrt{64+x^{6}}\right)$ ;

(5)

$\left(x^{2}-1\right) \arcsin 2 x^{2}$ ;

(6)

$x^{2} \arccos 2 x$

(7)

$\ln \left(e^{1+2 x}\left(x^{2}+\sqrt{1+x^{4}}\right)\right)$ .

Задача 2.21.15

Разложить в ряд Маклорена функцию и найти радиус сходимости $R$ этого ряда.

?

(1)

$x \arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}$ ;

(2)

$x \arccos x-\sqrt{1-x^{2}}$ ;

(3)

$2 x \operatorname {arctg} x-\ln \left(1+x^{2}\right)$ ;

(4)

$-\frac{3}{2}+\frac{x}{2} \sqrt{1-x^{2}}+\frac{1}{2} \arcsin x$ ;

(5)

$\frac{1}{4} \ln \frac{1+x}{1-x}+\frac{1}{2} \operatorname {arctg} x$ ;

(6)

$\ln \left(\pi \sqrt{\frac{2+x}{2-x}}\right)+\operatorname {arctg} \frac{x}{2}$ .

Задача 2.21.16

Разложить в ряд Маклорена функцию и найти радиус сходимости $R$ этого ряда.

?

(1)

$x \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)-\sqrt{1+x^{2}}$ ;

(2)

$\left(\frac{1}{2}+x\right) e^{-2 x}-\left(\frac{1}{2}-x\right) e^{2 x} ;$

(3)

$\ln \left((2+x)^{2+x}\right)+\ln \left((2-x)^{2-x}\right)$ ;

(4)

$x \sqrt{x^{2}+4}+4 \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+4}\right)$ ;

(5)

$5+\frac{x}{2} \sqrt{x^{2}+1}+\frac{1}{2} \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$ .

Задача 2.21.17

(1)(2)(3)(4)

Доказать, что:

?

(1)

$\frac{1}{4}\left(e^{x}+e^{-x}+2 \cos x\right) = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{x^{4 n}}{(4 n) !},-\infty < x < +\infty$ ;

(2)

$\frac{1}{3}\left(e^{x}+2 e^{-x / 2} \cos \frac{x \sqrt{3}}{2}\right) = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{x^{3 n}}{(3 n) !},-\infty < x < +\infty$ ;

(3)

$\frac{x^{2}+2 x}{4}+\frac{1}{2}\left(1-x^{2}\right) \ln (1-x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x^{n+2}}{n(n+2)},\left|x\right| < 1$ ;

(4)

$\frac{3}{4} x^{2}-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}(1-x)^{2} \ln (1-x) = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x^{n+2}}{n(n+1)(n+2)},\left|x\right| < 1$ .

Задача 2.21.18

(1)(2)(3)(4)

Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки $x_{0}$ и найти радиус сходимости $R$ полученного ряда.

?

(1)

$\frac{1}{x^{2}-5 x+6}, x_{0} = 1$ ;

(2)

$\frac{1}{\left(x^{2}-2 x+3\right)^{2}}, x_{0} = 1$ ;

(3)

$\frac{1}{\left(x^{2}-6 x+18\right)^{2}}, x_{0} = 3$ ;

(4)

$\frac{x^{3}-3 x^{2}+4 x-1}{x^{2}-2 x+2}, x_{0} = 1$ .

Задача 2.21.19

Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки $x_{0}$ и найти радиус сходимости $R$ полученного ряда.

?

(1)

$\frac{1}{\sqrt{x^{2}-12 x+40}}, x_{0} = 6$ ;

(2)

$\frac{1}{\sqrt{x^{2}-10 x+29}}, x_{0} = 5$ ;

(3)

$\frac{1}{\sqrt{x^{2}-6 x+18}}, x_{0} = 3$ ;

(4)

$\frac{1}{\sqrt{x^{2}-4 x+8}}, x_{0} = 2$ ;

(5)

$\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-6 x+36}}, x_{0} = 3$ ;

(6)

$\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-8 x+24}}, x_{0} = 4$ ;

(7)

$\arcsin \sqrt{1+2 x+2 x^{2}}, x_{0} = -1 / 2$ ;

(8)

$(x+1) \operatorname {arctg} \frac{x-1}{3+x}, x_{0} = -1$ ;

(9)

$(x+2) \arccos \frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4 x+5}}, x_{0} = -2$ .

Задача 2.21.20

Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки $x_{0}$ и найти радиус сходимости $R$ полученного ряда.

?

(1)

$(x+1) \cos^{2} x, x_{0} = -1$ ;

(2)

$(2 x+1) \sin x \sin (x+1), x_{0} = -1 / 2$

(3)

$\sin^{3} x, x_{0} = \pi / 4$ ;

(4)

$\cos^{4} x, x_{0} = -\pi / 2$ ;

(5)

$\cos^{2} x-\left(x(x-\pi )+\pi^{2} / 4\right) \cos 2 x, x_{0} = \pi / 2$ ;

(6)

$\pi +\int_{\pi / 2}^{x} \frac{\cos^{2} t}{t-\pi / 2} d t, x_{0} = \frac{\pi }{2}$ .

Задача 2.21.21

Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки $x_{0}$ и найти радиус сходимости $R$ полученного ряда.

?

(1)

$\ln \left(x^{2}+2 x+2\right), x_{0} = -1$ ;

(2)

$\ln \left(x^{2}-4 x+6\right), x_{0} = 2$ ;

(3)

$\ln \left(x^{2}-9 x+20\right), x_{0} = 3$ ;

(4)

$\ln \left(x^{2}-10 x+30\right), x_{0} = 5$ ;

(5)

$\ln \frac{x^{2}-2 x+3}{2-x}, x_{0} = 1$ ;

(6)

$\ln (2+\sqrt{3-x}), x_{0} = -1$ ;

(7)

$\left(x^{2}-10 x+26\right) \ln \frac{x-2}{8-x}, x_{0} = 5$ ;

(8)

$1+\int_{2}^{x} \ln \frac{5 t-7}{t} d t, x_{0} = -2$ ;

(9)

$2+\int_{1}^{x} \ln \left(2 t^{2}-4 t+11\right) d t, x_{0} = 1$ .

Задача 2.21.22

Перемножив соответствующие ряды, разложить функцию в ряд Маклорена и найти радиус сходимости полученного ряда:

?

(1)

$\frac{\ln (1+x)}{1+x}$ ;

(2)

$\frac{e^{x}}{1-x}$ ;

(3)

$\frac{\operatorname {arctg} x}{1-x}$ ;

(4)

$\ln^{2}(1-x)$ ;

(5)

$(\operatorname {arctg} x)^{2}$ .

Задача 2.21.23

(1)(2)

С помощью дифференцирования ряда (9) доказать, что:

?

(1)

$\sum_{n = 0}^{\infty }(n+1)(n+2) x^{n} = \frac{2}{(1-x)^{3}},\left|x\right| < 1$ ;

(2)

$\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3 !} x^{n} = \frac{1}{(1-x)^{4}},\left|x\right| < 1$ .

Задача 2.21.24

(1)(2)(3)

Разложить в ряд Маклорена функцию $f^{(3)}(x)$ и найти радиус сходимости полученного ряда, если:

?

(1)

$f(x) = \operatorname {arctg} x$ ;

(2)

$f(x) = \arcsin x$ ;

(3)

$f(x) = \frac{1}{8} x^{2} \arcsin 4 x$ .

Задача 2.21.25

(1)(2)(3)(4)

Разложить в ряд Маклорена данную функцию, используя ряд Маклорена для ее производной. Найти радиус сходимости полученного ряда.

?

(1)

$\operatorname {arctg} \frac{1-x}{1+x}$ ;

(2)

$\operatorname {arctg} \frac{x+1 / 2}{x-1 / 2}$ ;

(3)

$\operatorname {arctg} \frac{2 x-3}{x+6}$ ;

(4)

$\operatorname {arctg} \frac{2-x}{1+2 x}$ .

Задача 2.21.26

Разложить в ряд Маклорена данную функцию, используя ряд Маклорена для ее производной. Найти радиус сходимости полученного ряда.

?

(1)

$\operatorname {arctg} \frac{2+x^{2}}{2-x^{2}}$ ;

(2)

$\operatorname {arctg} \frac{3-4 x^{2}}{6+2 x^{2}}$ ;

(3)

$\operatorname {arctg} \frac{2-2 x^{2}}{1+4 x^{2}}$ ;

(4)

$\operatorname {arctg} \frac{6+x^{2}}{3-2 x^{2}}$ ;

(5)

$x^{2} \operatorname {arctg} \frac{1 / 3+3 x^{2}}{x^{2}-1}$ ;

(6)

$x^{3} \operatorname {arctg} \frac{2-x^{3} / 2}{1+x^{3}}$ .

Задача 2.21.27

(1)(2)(3)(4)

Разложить в ряд Маклорена данную функцию, используя ряд Маклорена для ее производной. Найти радиус сходимости полученного ряда.

?

(1)

$\operatorname {arctg} \sqrt{\frac{1-2 x}{1+2 x}}$ ;

(2)

$\operatorname {arctg}\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ;

(3)

$\frac{1}{\sqrt{2}} \operatorname {arctg} \frac{\sqrt{2} x}{1-x^{2}}$ ;

(4)

$x^{2} \operatorname {arctg} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ .

Задача 2.21.28

(1)(2)(3)(4)

Разложить в ряд Маклорена данную функцию, используя ряд Маклорена для ее производной. Найти радиус сходимости полученного ряда.

?

(1)

$\operatorname {arcctg} \frac{2 x^{3}}{1-x^{\mathbf{6}}}$ ;

(2)

$\operatorname {arcctg} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ;

(3)

$\operatorname {arcctg} \frac{2 x^{2}}{\sqrt{1-4 x^{4}}}$ ;

(4)

$\operatorname {arcctg} \frac{x}{1+\sqrt{1-x^{2}}}$ .

Задача 2.21.29

Разложить в ряд Маклорена данную функцию, используя ряд Маклорена для ее производной. Найти радиус сходимости полученного ряда.

?

(1)

$\arcsin \frac{2 x}{1+x^{2}}$ ;

(2)

$\arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ;

(3)

$1+\arcsin \cdot \frac{x^{2}}{\sqrt{16+x^{4}}}$ ;

(4)

$2 x \arcsin \frac{2 x^{3}}{\sqrt{1+4 x^{6}}}$ ;

(5)

$\arcsin \left(2 x \sqrt{1-x^{2}}\right)$ .

Задача 2.21.30

Разложить в ряд Маклорена данную функцию, используя ряд Маклорена для ее производной. Найти радиус сходимости полученного ряда.

?

(1)

$\frac{1}{8} \arccos \frac{4 x^{2}}{\sqrt{1+16 x^{4}}}$ ;

(2)

$x \arccos \frac{x^{2}}{\sqrt{4+x^{4}}}$ ;

(3)

$\arccos \frac{x^{2}}{\sqrt{16+x^{4}}}$ ;

(4)

$x \arccos \frac{x}{\sqrt{9+x^{2}}}$ ;

(5)

$x^{3} \arccos \frac{6 x}{9+x^{2}}$ ;

(6)

$x \arccos \left(2 x \sqrt{1-x^{2}}\right)$ .

Задача 2.21.31

Разложить в ряд Маклорена данную функцию, используя ряд Маклорена для ее производной. Найти радиус сходимости полученного ряда.

?

(1)

$\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t$ ;

(2)

$\int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} d t$

(3)

$\int_{0}^{x} t^{2} \operatorname {sh} t d t$ ;

(4)

$\int_{0}^{x} \frac{1-\operatorname {ch} t}{t} d t$ ;

(5)

$\int_{0}^{x} \frac{\operatorname {arctg} t}{t} d t$ ;

(6)

$\int_{0}^{x} t \operatorname {arctg} \frac{t+10}{2 t-5} d t$ .

Задача 2.21.32

Разложить в ряд Маклорена данную функцию, используя ряд Маклорена для ее производной. Найти радиус сходимости полученного ряда.

?

(1)

$\int_{0}^{x} \frac{\ln (1+4 t)}{t} d t$ ;

(2)

$\int_{0}^{x} \ln \frac{1+t}{1-t} \frac{d t}{t}$ ;

(3)

$\int_{0}^{x} \frac{d t}{\sqrt[4]{1-t^{4}}}$ ;

(4)

$\int_{0}^{x} \frac{t d t}{\sqrt{1+t^{4}}}$

(5)

$\int_{0}^{x} \frac{t^{2} d t}{\sqrt{1+t^{2}}}$ ;

(6)

$\int_{x}^{1} \ln \frac{3+t}{3-t} d t$ ;

(7)

$\int_{0}^{x} t^{2} \operatorname {arctg} \frac{2 t-2}{t+4} d t$ ;

(8)

$\ln \left(x+\sqrt{3+x^{2}}\right)+x \int_{0}^{x} \frac{e^{-t^{2}}-1}{t} d t$

(9)

$\operatorname {arctg} \frac{3 x+1}{3 x-1}+x \int_{0}^{x} \frac{1-\cos t}{t} d t$ ;

(10)

$\arccos \frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{4}}}+x \int_{0}^{x} \frac{\operatorname {sh} t^{2}}{t} d t$ .

(11)

Задача 2.21.33

Найти первые четыре (отличные от нуля) члена ряда Маклорена данной функции:

?

(1)

$\ln \left(1+e^{x}\right)$ ;

(2)

$(1+x)^{x}$ ;

(3)

$\int_{0}^{x} \frac{t d t}{\ln (1+t)}$ ;

(4)

$e^{\sin x}$

(5)

$e^{\operatorname {tg} x}$ ;

(6)

$e^{\arcsin x}$ .

Задача 2.21.34

Показать, что функция $y = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{x^{2 n}}{2^{n} n !}$ является решением дифференциального уравнения $y^{\prime }-x y = 0$ .

?

Задача 2.21.35

Показать, что функция $y = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{x^{n+1}}{n !}$ является решением дифференциального уравнения $x y^{\prime } = (x+1) y$ .

?

Задача 2.21.36

Показать, что функция $y = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{x^{n}}{(n !)^{2}}$ является решением дифференциального уравнения $x y^{\prime \prime }+y^{\prime }-y = 0$ .

?

Задача 2.21.37

Показать, что функция $y = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{x^{2 n}}{(2 n) ! !}$ является решением дифференциального уравнения $y^{\prime \prime }-x y^{\prime }-y = 0$ .

?

Задача 2.21.38

Показать, что функция

y = 1-\frac{x^{2}}{2^{2}}+\frac{x^{4}}{2^{2} \cdot 4^{2} \cdot 6^{2}}+\ldots +\frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{((2 n) ! !)^{2}}+\ldots

удовлетворяет дифференциальному уравнению $x y^{\prime \prime }+y^{\prime }+x y = 0$ .

?

Задача 2.21.39

Показать, что функция $y = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{x^{4 n}}{(4 n) !}$ удовлетворяет дифференциальному уравнению $y^{(4)}-y = 0$ .

?

Задача 2.21.40

Найти разложение в ряд Маклорена решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям:

?

(1)

$y^{\prime }-y = 0, y(0) = 1$ ;

(2)

$\left(1+x^{2}\right) y^{\prime }-1 = 0, y(0) = 0$ ;

(3)

$y^{\prime \prime }+\lambda^{2} y = 0, y(0) = 0, y^{\prime }(0) = \lambda$

(4)

$y^{\prime \prime }+x y = 0, y(0) = 1, y^{\prime }(0) = 0$ ;

(5)

$\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime }-x y^{\prime } = 0, y(0) = 0, y^{\prime }(0) = 1$ ;

(6)

$\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime }-5 x y^{\prime }-4 y = 0, y(0) = 1, y^{\prime }(0) = 0$ .

Задача 2.21.41

Найти первые четыре (отличные от нуля) члена ряда

y = \sum _{n = 0}^{\infty } a_{n} x^{n}

сумма которого удовлетворяет дифференциальному уравнению $y^{\prime \prime }- -x y^{\prime }+y = e^{x}$ и начальным условиям $y(0) = 1, y^{\prime }(0) = 0$ .

?

Задача 2.21.42

Найти первые четыре (отличные от нуля) члена ряда

y = \sum _{n = 0}^{\infty } a_{n}(x-1)^{n}

сумма которого удовлетворяет дифференциальному уравнению $y^{\prime \prime } = \left(y^{\prime }\right)^{2}+x y$ и начальным условиям $y(1) = 1, y^{\prime }(1) = 0$ .

?

Задача 2.21.43

Найти первые пять (отличных от нуля) членов ряда

y = \sum _{n = 0}^{\infty } a_{n} x^{n}

сумма которого удовлетворяет дифференциальному уравнению $y^{\prime } = x^{3}+y^{2}$ и начальному условию $y(0) = 1$ .

?

Задача 2.21.44

Пользуясь тем, что функция $y = \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ удовлетворяет дифференциальному уравнению $\left(1-x^{2}\right) y^{\prime }-x y = 1$ и условию $y(0) = 0$ , доказать, что

\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}} = \sum _{n = 0}^{\infty } \frac{(2 n) ! !}{(2 n+1) ! !} x^{2 n+1}, \quad \left|x\right| < 1

?

Задача 2.21.45

Разложить в ряд Маклорена функцию и найти радиус сходимости $R$ полученного ряда:

?

(1)

$\frac{1}{(1+x)\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right)\left(1+x^{8}\right)}$ ;

(2)

$\frac{x \sin \alpha }{1-2 x \cos \alpha +x^{2}}$

(3)

$\frac{x \cos \alpha -x^{2}}{1-2 x \cos \alpha +x^{2}}$ ;

(4)

$\ln \left(1-2 x \cos \alpha +x^{2}\right)$ ;

(5)

$\arccos \left(1-2 x^{2}\right)$ ;

(6)

$\left(\frac{\arcsin x}{x}\right)^{2}$ .

Задача 2.21.46

Пусть $f(x) = \operatorname {arth} x$ — функция, обратная к функции th $x = \operatorname {sh} x / \operatorname {ch} x$ . Разложить $f(x)$ в ряд Маклорена и найти радиус сходимости ряда.

?

Задача 2.21.47

Доказать, что:

?

(1)

$\left(\frac{\operatorname {arctg} x}{x}\right)^{2} = 1+\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n}\left(1+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{2 n+1}\right) \frac{x^{2 n}}{n+1}, \quad \left|x\right| < 1$ ;

(2)

$\left(\frac{\ln (1+x)}{x}\right)^{2} = 1+2 \sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n}\left(1+\frac{1}{2}+\ldots +\frac{1}{n+1}\right) \frac{x^{n}}{n+2}$ , $\left|x\right| < 1 ;$

(3)

$\operatorname {arctg} x \cdot \ln \left(1+x^{2}\right) = 2 \sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{2 n}\right) \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}$ , $\left|x\right| < 1 ;$

(4)

$\frac{1}{2 x\left(1-x^{2}\right) \ln \frac{1+x}{1-x}} = 1+\sum_{n = 1}^{\infty }\left(1+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{2 n+1}\right) x^{2 n}, \quad \left|x\right| < 1$ ;

(5)

$\frac{1}{6} \ln \left(1-x^{3}\right)-\frac{1}{2} \ln (1-x)-\frac{1}{\sqrt{3}} \operatorname {arctg} \frac{x \sqrt{3}}{x+2} = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{x^{3 n+2}}{3 n+2}$ ,

$\left|x\right| < 1 ;$

(6)

$\frac{1}{6} \ln \left(x^{2}+x+1\right)-\frac{1}{3} \ln (1-x)+\frac{1}{\sqrt{3}} \operatorname {arctg} \frac{x \sqrt{3}}{x+2} = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{x^{3 n+1}}{3 n+1}$ ,

$\left|x\right| < 1$ .

Задача 2.21.48

(1)(2)(3)(4)

Доказать, что:

?

(1)

$(\arcsin x)^{3} = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{12 \cdot (2 n) !}{(2 n+1)(n !)^{2}}\left(1+\frac{1}{3^{2}}+\ldots +\frac{1}{(2 n-1)^{2}}\right)\left(\frac{x}{2}\right)^{2 n+1}$ , $\left|x\right| < 1 ;$

(2)

$\frac{\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{\sqrt{1+x^{2}}} = \sum_{n = 0}^{\infty }(-1)^{n} \frac{2^{2 n}(n !)^{2}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1},\left|x\right| < 1$ ;

(3)

$\left(\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\right)^{2} = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{2^{2 n-1}((n-1) !)^{2}}{(2 n) !}(-1)^{n-1} x^{2 n},\left|x\right| < 1$ ;

(4)

$\sqrt{1+x^{2}} \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) = x-\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n} \frac{2^{2 n}(n !)^{2}}{2 n(2 n+1) !} x^{2 n+1}$ , $\left|x\right| < 1$ .

Задача 2.21.49

Используя разложение $\frac{x}{e^{x}-1} = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{B_{n}}{n !} x^{n}$ , где $B_{1} = 1, B_{2 k+1} = 0, k \in N$ (пример 5), доказать, что:

?

(1)

$x \operatorname {ctg} x = 1+\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n} \frac{2^{2 n} B_{2 n}}{(2 n) !} x^{2 n},\left|x\right| < \pi$ ;

(2)

$\ln \frac{\sin x}{x} = \sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n} \frac{2^{2 n-1} B_{2 n}}{n(2 n) !} x^{2 n},\left|x\right| < \pi$ ;

(3)

$\operatorname {tg} x = \sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n} \frac{2^{2 n}\left(1-2^{2 n}\right)}{(2 n) !} B_{2 n} x^{2 n-1},\left|x\right| < \pi$ ;

(4)

$\frac{x}{\sin x} = 1+\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n} \frac{2-2^{2 n}}{(2 n) !} B_{2 n} x^{2 n},\left|x\right| < \pi$ ;

(5)

$\ln \cos x = \sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n} \frac{2^{2 n-1}\left(2^{2 n}-1\right)}{n(2 n) !} B_{2 n} x^{2 n},\left|x\right| < \frac{\pi }{2}$ .

Задача 2.21.50

Пусть разложение в ряд Маклорена функции $1 / \cos x$ записано в виде

Доказать, что

\frac{1}{\cos x} = \sum _{n = 1}^{\infty }(-1)^{n} \frac{E_{2 n}}{(2 n) !} x^{2 n}

E_{0} = 1, \quad E_{0}+C_{2 n}^{2} E_{2}+C_{2 n}^{4} E_{4}+\ldots +C_{2 n}^{2 n} E_{2 n} = 0, \quad n \in N

?

Задача 2.21.51

Доказать, что

\ln \operatorname {tg}\left(\frac{\pi }{2}+\frac{x}{2}\right) = \sum _{n = 0}^{\infty }(-1)^{n} \frac{E_{2 n}}{(2 n+1)(2 n) !} x^{2 n+1}, \quad \left|x\right| < \frac{\pi }{2}

где коэффициенты $E_{2 n}$ определены в задаче 50.

?

Задача 2.21.52

(1)(2)

Пользуясь определением функций комплексного переменного $\cos z$ и $\sin z$ (формулы (17) и (18)), доказать, что:

?

(1)

$\sin z \cdot \cos z = \frac{1}{2} \sin 2 z$ ;

(2)

$\sin^{2} z+\cos^{2} z = 1$ .

Задача 2.21.53

(1)(2)

Пользуясь определением функций комплексного переменного $\operatorname {sh} z$ и $\operatorname {ch} z$ (формулы (15) и (16)), доказать, что:

?

(1)

$\operatorname {ch}^{2} z-\operatorname {sh}^{2} z = 1$ ;

(2)

$\operatorname {ch} 2 z = \operatorname {ch}^{2} z+\operatorname {sh}^{2} z$ .

Задача 2.21.54

(1)(2)(3)(4)

Разложить в ряд по степеням $z$ функцию:

?

(1)

$e^{z} \sin z$

(2)

$\operatorname {ch} z \cos z$

(3)

$e^{z \operatorname {ctg} \alpha } \cos z, \quad \sin x \neq 0$ ;

(4)

$e^{z \cos \alpha } \cos (z \sin \alpha )$ .

Задача 2.21.55

(1)(2)

Применяя почленное дифференцирование, вычислить сумму ряда:

?

(1)

$x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\ldots +\frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}+\ldots$

(2)

$x^{2}+\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{6}}{3}+\ldots +\frac{x^{2 n}}{n}+\ldots$

Задача 2.21.56

(1)(2)

Применяя интегрирование, вычислить сумму ряда:

?

(1)

$\sum_{n = 1}^{\infty } n^{2} x^{n-1}$ ;

(2)

$\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{(2 n+1) x^{2 n}}{n !}$ .

Задача 2.21.57

Вычислить сумму ряда.

?

(1)

$\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{\ln^{n} x}{n !}$ ;

(2)

$\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{(-1)^{n} \ln^{n} x}{2^{n} n !}$

(3)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x^{n}}{n}$ ;

(4)

$\sum_{n = 1}^{\infty } n x^{n+1}$ ;

(5)

$\sum_{n = 0}^{\infty }(2 n+1) x^{n}$ ;

(6)

$\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{2 n+1}$ .

Задача 2.21.58

Вычислить сумму ряда.

?

(1)

$\sum_{n = 1}^{\infty } n(n+2) x^{n}$ ;

(2)

$\sum_{n = 1}^{\infty }(-1)^{n-1} n(n+1) x^{n}$ ;

(3)

$\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{(3 n+1) x^{3 n}}{n !}$ ;

(4)

$\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{(-1)^{n}\left(2 n^{2}+1\right)}{(2 n) !} x^{2 n}$

(5)

$\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{n^{2}+1}{2^{n} n !} x^{n}$

(6)

$\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{(-1)^{n} n^{3}}{(n+1) !} x^{n}$ .

Задача 2.21.59

Вычислить сумму ряда.

?

(1)

$1+\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(2 n-1) ! !}{(2 n) ! !} x^{n}$ ;

(2)

$\frac{1}{3}\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 6}\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{3 \cdot 6 \cdot 9}\left(\frac{x}{2}\right)^{3}+\ldots ;$

(3)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x^{n}}{n(n+1)}$ ;

(4)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1} x^{2 n}}{n(2 n-1)}$

(5)

$\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{(2 x)^{4 n+1}}{4 n+1}$

(6)

$\sum_{n = 1}^{\infty } n^{3} x^{n}$

Задача 2.21.60

Вычислить сумму ряда.

?

(1)

$\sum_{n = 1}^{\infty } n^{4} x^{n}$

(2)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x^{n}}{n(n+1)(n+2)}$ ;

(3)

$\sum_{n = 0}^{\infty }(-1)^{n} \frac{x^{3 n+1}}{3 n+1}$

(4)

$\sum_{n = 2}^{\infty } \frac{(-1)^{n} x^{n-1}}{(n-1)(n+2)}$

(5)

$\sum_{n = 0}^{\infty }(-1)^{n} \frac{x^{n}}{(2 n) !}$ ;

(6)

$\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{n^{2} x^{2}}{(2 n+1) !}$ .

Задача 2.21.61

(1)(2)

Вычислить сумму ряда.

?

(1)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{((n-1) !)^{2}}{(2 n) !}(2 x)^{2 n}$ ;

(2)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\sin n x}{n !}$ .

Задача 2.21.62

Коэффициенты ряда

1+x+2 x^{2}+4 x^{3}+7 x^{4}+13 x^{5}+24 x^{6}+\ldots

обладают тем свойством, что каждый коэффициент (начиная с четвертого) равен сумме трех предыдущих. Найти сумму этого ряда.

?

Задача 2.21.63

Вычислить сумму числового ряда.

?

(1)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{n^{2}}{n !}$ ;

(2)

$\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{2^{n}(n+1)}{n !}$ ;

(3)

$\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{(-1)^{n} n}{(2 n+1) !}$ ;

(4)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{n^{2}}{3^{n}}$

(5)

$1+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{1}{5}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \cdot \frac{1}{7}+\ldots$ ;

(6)

$1-\frac{1}{2}+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}-\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\ldots$

Задача 2.21.64

Вычислить сумму числового ряда.

?

(1)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}(n+1)^{2}}$ ;

(2)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}(n+1)^{2}(n+2)^{2}}$ ;

(3)

$\frac{1}{1 \cdot 2}-\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}-\frac{1}{4 \cdot 5}+\ldots +\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}+\ldots$ ;

(4)

$\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 5 \cdot 7}+\ldots$ ;

(5)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n(2 n+1)}$ ;

(6)

$\sum_{n = 2}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+n-2}$ .

Задача 2.21.65

Вычислить сумму числового ряда.

?

(1)

$\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{1}{(n+1)(2 n+1)}$ ;

(2)

$\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{(n+1)(2 n+1)}$ ;

(3)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n(2 n+3)}$ ;

(4)

$\sum_{n = 0}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{3 n+1}$

(5)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n(3 n+1)}$

(6)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{n(3 n+1)}$ . ряда

Задача 2.21.66

Пусть $a_{n} > 0 n \in N$ и ряд $\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{a_{n}}$ расходится. Найти сумму $\frac{a_{1}}{a_{2}+x}+\frac{a_{1}}{a_{2}+x} \cdot \frac{a_{2}}{a_{3}+x}+\frac{a_{1}}{a_{2}+x} \cdot \frac{a_{2}}{a_{3}+x} \cdot \frac{a_{3}}{a_{4}+x}+\ldots$ предполагая, что $x > 0$ .

\ldots +\frac{a_{1} a_{2} \ldots a_{n}}{\left(a_{2}+x\right)\left(a_{3}+x\right) \ldots \left(a_{n+1}+x\right)}+\ldots

?

Задача 2.21.67

Найти сумму ряда

\frac{x}{1-x^{2}}+\frac{x^{2}}{1-x^{4}}+\frac{x^{4}}{1-x^{8}}+\ldots +\frac{x^{2^{n}}}{1-x^{2^{n+1}}}+\ldots

?

Задача 2.21.68

Найти сумму ряда $\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{x^{n+1}}{\left(1-x^{n}\right)\left(1-x^{n+1}\right)}$ при $\left|x\right| < 1$ и при

?

Задача 2.21.69

Найти сумму ряда

\frac{1 !}{x+1}+\frac{2 !}{(x+1)(x+2)}+\ldots +\frac{n !}{(x+1)(x+2) \ldots (x+n)}+\ldots

где $x \neq -k \quad (k \in N)$ .

?

Задача 2.21.70

(1)(2)(3)(4)

С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить интеграл

?

(1)

$\int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x} d x$

(2)

$\int_{0}^{1} \ln x \cdot \ln (1-x) d x$

(3)

$\int_{0}^{+\infty } \frac{x}{e^{2 \pi x}-1} d x$

(4)

$\int_{0}^{+\infty } \frac{x d x}{e^{x}+1}$

Задача 2.21.71

Пользуясь соответствующими разложениями, вычислить с точностью до $10^{-4}$ :

?

(1)

$\cos 1^{\circ }$ ;

(2)

$\cos 10^{\circ }$ ;

(3)

$\sin 10^{\circ }$ ;

(4)

$\sin 1^{\circ }$ ;

(5)

$\sqrt[3]{130}$ ;

(6)

$\ln 1,2$ .

Задача 2.21.72

Вычислить с точностью до $10^{-3}$ :

?

(1)

$\operatorname {tg} 9^{\circ }$ ;

(2)

$\sqrt[3]{500}$ ;

(3)

$\operatorname {arctg}(\pi / 10)$ ;

(4)

$\sqrt[3]{68}$

(5)

$\ln 5$ ;

(6)

$\arcsin (1 / 3)$ .

Задача 2.21.73

(1)(2)

Вычислить с точностью до $10^{-5}$ :

?

(1)

$\sin 18^{\circ }$ ;

(2)

$e$ .

Задача 2.21.74

Используя равенство $\pi / 6 = \arcsin (1 / 2)$ , вычислить число $\pi$ с помощью ряда Маклорена для функции $\arcsin x$ с точностью до $10^{-4}$ .

?

Задача 2.21.75

Используя равенство

\frac{\pi }{4} = 4 \operatorname {arctg} \frac{1}{5}-\operatorname {arctg} \frac{1}{239}

вычислить число $\pi$ с точностью до $10^{-9}$ .

?

Задача 2.21.76

Используя ряд Маклорена для $f(x)$ , вычислить интеграл $\int_{0}^{1} f(x) d x$ с точностью до $10^{-3}$ , если:

?

(1)

$f(x) = \frac{\sin x}{x}$

(2)

$f(x) = \sqrt[3]{x} \cos x$

(3)

$f(x) = \cos x^{2}$

(4)

$f(x) = \frac{\operatorname {sh} x}{x}$

(5)

$f(x) = \sin x^{2}$

(6)

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^{4}}}$ .

Задача 2.21.77

Вычислить с точностью до $10^{-3}$ :

?

(1)

$\int_{1}^{2} \frac{e^{x}}{x} d x$

(2)

$\int_{2}^{4} e^{\frac{1}{x}} d x$

(3)

$\int_{0}^{1 / 2} \frac{\operatorname {arctg} x}{x} d x$ ;

(4)

$\int_{0}^{1 / 3} \frac{d x}{\sqrt[3]{1-x^{2}}}$ ;

(5)

$\int_{5}^{10} \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{x} d x$ ;

(6)

$\int_{0}^{1 / 2} \frac{\arcsin x}{x} d x$ ;

(7)

$\int_{2}^{+\infty } \frac{d x}{1+x^{3}} d x$ ;

(8)

$\int_{0}^{1} x^{x} d x$ .

Задача 2.21.78

Доказать, что если существуют числа $\delta > 0, \lambda > 0$ такие, что для всех $x \in \left(x_{0}-\delta ; x_{0}+\delta \right)$ и для всех $n = 0,1,2, \ldots$ выполняется неравенство $\left|f^{(n)}(x)\right| \leqslant \lambda^{n}$ , то в каждой точке $x$ из интервала $(x_{0}-\delta ; x_{0}+\delta )$ функция $f(x)$ представляется сходящимся к ней рядом Тейлора (1).

?

Задача 2.21.79

(1)(2)

Пусть существует постоянная $M > 0$ такая, что для всех $n \in N$ выполняется неравенство $\left|f^{(n)}\left(x_{0}\right)\right| \leqslant M$ . Следует ли отсюда, что:

?

(1)

ряд Тейлора (1) сходится на некотором интервале $\left(x_{0}-\delta \right.$ ; $\left.x_{0}+\delta \right)$ ;

(2)

функция $f(x)$ представляется в некоторой окрестности точки $x_{0}$ сходящимся к ней рядом ТейлораГ

Задача 2.21.80

Доказать, что для функции

f(x) = \begin{cases} e^{-1 / x^{2}}, & \text{ если } & x \neq 0 \\ 0, & \text{ если } & x = 0 \end{cases}

можно составить ряд Маклорена, но сумма этого ряда не совпадает с $f(x)$ при $x \neq 0$ .

?

Задача 2.21.81

Пусть $S_{n}(x) = \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{k} \frac{x^{2 k+1}}{(2 k+1) !}$ . Верно ли, что $S_{n}(x) \rightrightarrows \sin x$ , $x \in R$ ?

?

Задача 2.21.82

(1)(2)

Доказать, что если для коэффициентов степенного ряда $\sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} x^{n}$ выполняются неравенства $\left|a_{n}\right| < \frac{M}{n !} \quad (n = 1,2 \ldots )$ , где $M > 0$ — постоянная, то:

?

(1)

сумма $f(x)$ этого ряда бесконечно дифференцируема в любой точке $a \in R$ ;

(2)

$f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty } \frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n}$ при любом $x \in R$ .

Задача 2.21.83

Пусть функция $f$ бесконечно дифференцируема на отрезке $[-1 ; 1]$ и $f^{(n)}(x) \geqslant 0$ при $n = 0,1,2, \ldots$ и для всех $x \in [-1 ; 1]$ . Доказать, что в интервале $(-1,1)$ функция $f(x)$ представляется сходящимся к ней степенным рядом

f(x) = \sum _{n = 0}^{\infty } a_{n} x^{n}

?

Задача 2.21.84

(1)(2)

Доказать, что если функция $f$ бесконечно дифференцируема на $R$ и удовлетворяет условиям:

?

(1)

существует такая постоянная $M > 0$ , что для всех $x \in R$ и для всех $n \in N$ выполняется неравенство $\left|f^{(n)}(x)\right| \leqslant M$ ;

(2)

$f(1 / n) = 0, n \in N$ , то $f(x) \equiv 0$ .

Задача 2.21.85

Доказать, что ряд Маклорена для функции

f(x) = \sum _{n = 0}^{\infty } e^{-n} \cos n^{2} x

сходится лишь при $x = 0$ .

?

Ряд Тейлора