Тригонометрические ряды Фурье

Разложить в ряд Фурье функцию:

Каков будет ряд Фурье для тригонометрического полинома

Найти частичную сумму $S_{3}(x ; f)$ ряда Фурье функции

периодически продолженной с периодом $2 l$.

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$, указать промежутки, в которых сумма ряда Фурье равна функции $f(x)$, и найти сумму ряда в указанной точке $x_{0}$. $f(x) = x,-\pi \leqslant x \leqslant \pi , x_{0} = \pi$.

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$, указать промежутки, в которых сумма ряда Фурье равна функции $f(x)$, и найти сумму ряда в указанной точке $x_{0}$. $f(x) = \begin{cases} 1, & 0 \leqslant x \leqslant \pi , \\ 0, & -\pi \leqslant x < 0 ;\end{cases} \quad x_{0} = 0$.

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$, указать промежутки, в которых сумма ряда Фурье равна функции $f(x)$, и найти сумму ряда в указанной точке $x_{0}$. $f(x) = \begin{cases} \pi / 4, & 0 \leqslant x \leqslant \pi , \\ -\pi / 4, & -\pi \leqslant x < 0 ; \quad x_{0} = 0. \end{cases}$

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$, указать промежутки, в которых сумма ряда Фурье равна функции $f(x)$, и найти сумму ряда в указанной точке $x_{0}$. $f(x) = \begin{cases} a, & 0 \leqslant x \leqslant \pi , \\ -a, & -\pi \leqslant x < 0 ;\end{cases} \quad x_{0} = 0$.

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$, указать промежутки, в которых сумма ряда Фурье равна функции $f(x)$, и найти сумму ряда в указанной точке $x_{0}$. $f(x) = \pi +x,-\pi \leqslant x \leqslant \pi , x_{0} = \pi$.

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$, указать промежутки, в которых сумма ряда Фурье равна функции $f(x)$, и найти сумму ряда в указанной точке $x_{0}$. $f(x) = \left|x\right|,-\pi \leqslant x \leqslant \pi , x_{0} = \pi$.

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$, указать промежутки, в которых сумма ряда Фурье равна функции $f(x)$, и найти сумму ряда в указанной точке $x_{0}$. $f(x) = \begin{cases} 0, & -\pi \leqslant x < 0, \\ x, & 0 \leqslant x \leqslant \pi ;\end{cases} \quad x_{0} = -\pi$.

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$, указать промежутки, в которых сумма ряда Фурье равна функции $f(x)$, и найти сумму ряда в указанной точке $x_{0}$. $f(x) = \begin{cases} -2 x, & -\pi < x \leqslant 0, \\ 3 x, & 0 < x \leqslant \pi ;\end{cases} \quad x_{0} = \pi$.

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x) = \operatorname {sign} x,-\pi < x < \pi$, и, пользуясь полученным разложением, найти сумму ряда Лейбница

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$ на указанном промежутке, длина промежутка является периодом. $f(x) = \begin{cases} A, & 0 < x < l, \\ A / 2, & x = l, \\ 0, & l < x < 2 l,\end{cases} \quad$ на интервале $(0,2 l)$.

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$ на указанном промежутке, длина промежутка является периодом. $f(x) = \left|x\right|$ на отрезке $[-1 ; 1]$.

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$ на указанном промежутке, длина промежутка является периодом. $f(x) = \begin{cases} a x, & -\pi < x < 0, \\ b x, & 0 \leqslant x < \pi ,\end{cases} \quad$ на интервале $(-\pi , \pi )$.

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$ на указанном промежутке, длина промежутка является периодом. $f(x) = \begin{cases} a, & -\pi / 2 < x < \pi / 2, \\ b, & \pi / 2 \leqslant x < 3 \pi / 2, \end{cases}$ на интервале $(-\pi / 2,3 \pi / 2)$.

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$ на указанном промежутке, длина промежутка является периодом. $f(x) = x+\operatorname {sign} x$ на интервале $(-\pi ; \pi )$.

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$ на указанном промежутке, длина промежутка является периодом. $f(x) = \pi^{2}-x^{2}$ на интервале $(-\pi ; \pi )$.

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$ на указанном промежутке, длина промежутка является периодом. $f(x) = x^{3}$ на интервале $(-\pi ; \pi )$.

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$ на указанном промежутке, длина промежутка является периодом. $f(x) = e^{a x}, a \neq 0$, на интервале $(-\pi ; \pi )$.

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$ на указанном промежутке, длина промежутка является периодом. $f(x) = e^{2\left|x\right|}$ на интервале $(-\pi ; \pi )$.

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$ на указанном промежутке, длина промежутка является периодом. $f(x) = \sin a x, a \in Z$ на интервале $(-\pi ; \pi )$.

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$ на указанном промежутке, длина промежутка является периодом. $f(x) = \cos a x, a \notin Z$ на отрезке $[-\pi ; \pi ]$. Доказать с помощью получившегося разложения, что

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$ на указанном промежутке, длина промежутка является периодом. $f(x) = x \sin x$ на отрезке $[-\pi ; \pi ]$.

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$ на указанном промежутке, длина промежутка является периодом. $f(x) = x \cos x$ на отрезке $[-\pi / 2 ; \pi / 2]$.

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$ на указанном промежутке, длина промежутка является периодом. $f(x) = \begin{cases} 0, & -\pi \leqslant x < 0, \\ \sin x, & 0 \leqslant x \leqslant \pi , \end{cases}$ на отрезке $[-\pi , \pi ]$.

Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом 2 функцию $f$, если $f(x) = x, x \in (1 ; 3)$. Нарисовать график суммы ряда.

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x) = x^{2},-1 \leqslant x \leqslant 1$, периодически продолженную с периодом 2. Нарисовать график суммы ряда.

Разложить в ряд Фурье функцию

периодически продолженную на всю числовую ось с периодом 3. Нарисовать график суммы ряда.

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x) = \pi -2 x, 0 < x \leqslant \pi$, продолжив ее на отрезок $[-\pi ; 0]$ :

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x)$, заданную на отрезке $[0 ; \pi ]$ и продолженную на отрезок $[-\pi ; 0]$ четным образом. Нарисовать график суммы ряда:

Разложить в ряд Фурье периодическую функцияю. $f(x) = \operatorname {sign}(\cos x)$.

Разложить в ряд Фурье периодическую функцияю. $f(x) = \arcsin (\cos x)$.

Разложить в ряд Фурье периодическую функцияю. $f(x) = \arcsin (\sin x)$.

Разложить в ряд Фурье периодическую функцияю. $f(x) = x-[x]$.

Разложить в ряд Фурье периодическую функцияю. $f(x) = (x)$ — расстояние от $x$ до ближайшего целого числа.

Разложить в ряд Фурье периодическую функцияю. $f(x) = \left|\cos x\right|$.

Разложить в ряд Фурье периодическую функцияю. $f(x) = \left|\sin x\right|$.

Разложить в ряд Фурье периодическую функцияю. $f(x) = \left|\cos (x / 2)\right|$.

Разложить функцию $f(x) = x, 0 \leqslant x \leqslant \pi$, в ряд Фурье по косинусам.

Разложить функцию $f(x) = \cos 2 x, 0 \leqslant x \leqslant \pi$, в ряд Фурье по синусам.

Разложить в ряд Фурье на $(0 ; \pi )$ по косинусам функцию

Разложить в ряд Фурье на интервале $(0 ; \pi )$ по синусам функцию

Разложить функцию

в ряд Фурье по косинусам на отрезке $[0 ; 2]$.

Разложить функцию $f(x) = x^{2}$ в ряд Фурье:

Разложить в ряд Фурье функцию $f(x) = x-x^{2} / 2,0 \leqslant x \leqslant 1$ :

Разложить в ряд Фурье по синусам функцию

Доказать, что $\frac{3 x^{2}-6 \pi x+2 \pi^{2}}{12} = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{\cos n x}{n^{2}}, 0 \leqslant x \leqslant \pi$.

Указан ие. Воспользоваться результатами задач 40 и 45.

Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию $f(x) = e^{x}$ на интервале $(0 ; \ln 2)$.

Разложить в ряд Фурье по синусам функцию

Разложить в ряд Фурье по синусам функцию

Разложить функцию $f(x) = e^{a x}, 0 < x < \pi$ :

Разложить функцию $f(x) = \sin a x, 0 \leqslant x \leqslant \pi$, в ряд Фурье по косинусам.

Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию

Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию

Доказать, что

Найти ряд Фурье в комплексной форме функции

Разложить в ряд Фурье в комплексной форме периодическую с периодом $2 \pi$ функцию $f(x) = e^{x},-\pi < x < \pi , f(\pi ) = \operatorname {ch} \pi$.

Разложить в ряд Фурье в комплексной форме периодическую с периодом 3 функцию

Разложить в ряд Фурье с помощью комплексной формы ряда Фурье функцию:

Разложить в ряд Фурье неограниченную периодическию функцию:

Использовав разложение функции $f(x) = x$ в ряд Фурье (см. задачу 4), доказать, что:

Использовав разложение функции $\ln \left|-2 \cos (x / 2)\right|$ в ряд Фурье (см. пример 6), доказать, что:

Доказать, чтоесли абсолютно интегрируемая на отрезке $[-\pi ; \pi ]$ функция $f$ удовлетворяет условию:

Доказать, что если абсолютно интегрируемая на отрезке $[0 ; \pi ]$ функция $f$ удовлетворяет условию $f(\pi -x) = f(x)$, то ее коэффициенты Фурье обладают следующими свойствами:

Как следует продолжить абсолютно интегрируемую на отрезке $[0 ; \pi / 2]$ функцию на отрезок $[-\pi ; \pi ]$, чтобы ее ряд Фурье имел вид

Как следует продолжить абсолютно интегрируемую на отрезке $[0 ; \pi / 2]$ функцию на отрезок $[-\pi ; \pi ]$, чтобы ее ряд Фурье имел вид

Разложить функцию $f(x) = x(\pi / 2-x)$ в ряд Фурье на отрезке $[0 ; \pi / 2]$ :

Доказать, что кусочно гладкая на отрезке $[0 ; l]$ функция может быть разложена в ряд вида

Доказать, что кусочно гладкая на отрезке $[0 ; l]$ функция может быть разложена в ряд вида

Доказать при $0 < x < \pi$ равенство:

Какими особенностями обладают коэффициенты Фурье функции периода $2 \pi$, если ее график:

Как связаны между собой коэффициенты Фурье $a_{n}, b_{n}$ и $\alpha_{n}$, $\beta_{n}$ функций $f$ и $g$, если $f(-x) = g(x) \Gamma$

Как связаны между собой коэффициенты Фурье $a_{n}, b_{n}$ и $\alpha_{n}$, $\beta_{n}$ функций $f$ и $g$, если $f(-x) = -g(x) \Gamma$

Доказать, что ряд Фурье конечной линейной комбинации $2 \pi$-периодических, абсолютно интегрируемых на периоде функций равен такой же линейной комбинации рядов Фурье заданных функций.

Пусть $f-2 \pi$-периодическая функция, абсолютно интегрируемая на периоде. Доказать, что если $a_{n}^{*}, b_{n}^{*}$ — коэффициенты Фурье функции $f^{*}(x) = f(x+h)$, а $a_{n}, b_{n}$ — коэффициенты Фурье функции $f$, то

Доказать, что $f(x+\alpha ) \sim \sum_{n = -\infty }^{\infty }\left(c_{n} e^{i n \alpha }\right) e^{i n x}, \quad \alpha \in R$.

Доказать, что если $k \in Z$, то $f(x) e^{i k x} \sim \sum_{n = -\infty }^{\infty } c_{n-k} e^{i n x}$.

Доказать, что $\bar{f} \sim \sum_{n = -\infty }^{\infty } \bar{c}_{-n} e^{i n x}$.

Пусть функции $f$ и $g 2 \pi$-периодические, $|f|^{2}$ и $|g|^{2}$ интегрируемы (в несобственном смысле) на отрезке $[-\pi ; \pi ]$,

Доказать, что тогда произведение $f g$ является $2 \pi$-периодической, абсолютно интегрируемой на периоде функцией, и если

Доказать, что

Доказать, что для любого $x \in R, x \neq \pi m, m \in Z$, выполняется равенство

Доказать, что если функция $f$ непрерывно дифференцируема на отрезке $[x ; x+\pi ]$, то

(Стеклов).

Пусть $a_{n}, b_{n}$ — коэффициенты Фурье функции, равной $e^{x}$ на интервале $(-\pi ; \pi )$. Найти сумму ряда

при $x \in (-\pi ; \pi )$.

Доказать, что коэффициенты Фурье $a_{n}, b_{n}$ абсолютно интегрируемой на отрезке $[-\pi ; \pi ]$ функции стремятся к нулю при $n \rightarrow \infty$ (Риман).

Доказать, что ядро Дирихле $D_{n}$ является четной непрерывной $2 \pi$-периодической функцией, $D_{n}(0) = n+1 / 2$,

и при $t \neq 2 \pi k, k \in Z$, имеет место равенство

Доказать, что если $f-2 \pi$-периодическая, абсолютно интегрируемая на периоде функция и $S_{n}(x)$ — ее сумма Фурье порядка $n$, то:

Доказать, что если $f-2 \pi$-периодическая, абсолютно интегрируемая на периоде функция, то существование и значение предела последовательности ее сумм Фурье $S_{n}(x)$ в каждой точке $x_{0} \in R$ зависит только от существования и значения предела при $n \rightarrow \infty$ интеграла

где $\delta$ — сколь угодно малое положительное число (это утверждение называется принципом локализации рядов Фурье).

Пусть $f-2 \pi$-периодическая функция, абсолютно интегрируемая на периоде. Доказать, что если $x_{0}$ является точкой непрерывности или точкой разрыва первого рода и при некотором $\delta > 0$ сходится интеграл

где

то ряд Фурье функции $f$ в точке $x_{0}$ сходится к значению

(признак Дини).

Доказать, что если $f-2 \pi$-периодическая, абсолютно интегрируемая на периоде функция, а в точке $x \in R$ существуют предельные значения $f(x+0), f(x-0)$ и односторонние производные $f_{+}^{\prime }(x), f_{-}^{\prime }(x)$, то ряд Фурье функции $f$ сходится в этой точке к значению $\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$.

Функция $f$, определенная в некоторой окрестности $U$ точки $x$, называется удовлетворяющей условию Гёльдера степени $\alpha > 0$ в этой точке, если существуют односторонние пределы $f(x+0), f(x- -0)$ и такая постоянная $c > 0$, что для всех $h > 0$, для которых $x+h \in U$ и $x-h \in U$, выполняются неравенства

Доказать, что если $2 \pi$-периодическая, абсолютно интегрируемая на периоде функция $f$ удовлетворяет в точке $x$ условию Гёльдера степени $\alpha > 0$, то ее ряд Фурье сходится в этой точке и его сумма равна

Доказать, что если $2 \pi$-периодическая, абсолютно интегрируемая на периоде функция имеет в окрестности данной точки ограниченную производную, то ряд Фурье функции сходится в этой точке к значению функции.

Доказать, что ядро Фейера $\Phi_{n}$ является четной непрерывной $2 \pi$-периодической функцией,

и при $t \neq 2 \pi k, k \in Z$, имеет место равенство

Доказать, что ядро Фейера $\Phi_{n}$ для любого $\delta > 0$ удовлетворяет условию

Доказать: если функция непрерывна на отрезке $[-\pi ; \pi ]$ и принимает на его концах равные значения, то последовательность ее сумм Фейера равномерно сходится на этом отрезке к рассматриваемой функции.

Доказать, что если $f-2 \pi$-периодическая, абсолютно интегрируемая на периоде функция, имеющая в точке $x$ пределы слева и справа $f(x \pm 0)$, то (см. обозначения (18))

Доказать, что если $2 \pi$-периодическая, абсолютно интегрируемая на периоде функция $f$ непрерывна в точке $x$ и ряд Фурье функции $f$ сходится в этой точке, то его сумма равна $f(x)$.

Доказать, что если функция $f$ непрерывна на отрезке $[-\pi ; \pi ]$ и $f(-\pi ) = f(\pi )$, то для любого $\sigma > 0$ существует тригонометрический многочлен

такой, что для всех $x \in [-\pi ; \pi ]$ выполняется неравенство $\mid f(x)- -T(x) \mid < \sigma$ (Вейерштрасс).