Банк задач по математике

Задача 3.10.1

Вычислить криволинейный интеграл первого рода по плоской кривой $\Gamma$ :

?

(1)

$\int_{\Gamma } d s, \Gamma$ — отрезок с концами $(0 ; 0)$ и $(1 ; 2)$ ;

(2)

$\int_{\Gamma }(2 x+y) d s, \Gamma$ — ломаная $A B O A$ , где $A(1 ; 0), B(0 ; 2), O(0 ; 0)$ ;

(3)

$\int_{G}(x+y) d s, \Gamma$ — граница треугольника с вершинами $(0 ; 0)$ ; $(1 ; 0)$ и $(0 ; 1)$ ;

(4)

$\int_{\Gamma } \frac{d s}{y-x}, \Gamma$ — отрезок с концами $(0 ;-2)$ и $(4 ; 0)$ ;

(5)

$\int_{\Gamma } \frac{d s}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+4}}, \Gamma$ — отрезок с концами $(0 ; 0)$ и $(1 ; 2)$ .

Задача 3.10.2

(1)(2)(3)

Вычислить криволинейный интеграл $\int_{\Gamma } x y d s$ , если:

?

(1)

$\Gamma$ — граница квадрата с вершинами $(1 ; 0),(0 ; 1),(-1 ; 0)$ , $(0 ;-1)$ ;

(2)

$\Gamma$ — четверть эллипса $x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2} = 1$ , лежащая в I квадранте;

(3)

$Г$ — граница прямоугольника с вершинами $(0 ; 0),(4 ; 0),(4 ; 2)$ , $(0 ; 2)$ .

Задача 3.10.3

Пусть $\Gamma$ — гладкая кривая, заданная в полярных координатах $(r ; \varphi )$ уравнением $r = \rho (\varphi ), \varphi_{1} \leqslant \varphi \leqslant \varphi_{2}$ , а функция $F(x ; y)$ непрерывна на $Г$ . Доказать, что

\int _{\Gamma } F(x ; y) d s = \int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}} F(\rho (\varphi ) \cos \varphi ; \rho (\varphi ) \sin \varphi ) \sqrt{\rho ^{2}(\varphi )+\left(\rho ^{\prime }(\varphi )\right)^{2}} d \varphi

?

Задача 3.10.4

Вычислить криволинейный интеграл по плоской кривой $\Gamma$ . $\int_{\Gamma } x^{2} d s, \Gamma$ — дуга окружности $x^{2}+y^{2} = a^{2}, y \geqslant 0$ .

?

Задача 3.10.5

Вычислить криволинейный интеграл по плоской кривой $\Gamma$ . $\int_{\Gamma }\left(x^{2}+y^{2}\right)^{n} d s, \Gamma$ — окружность $x^{2}+y^{2} = a^{2}$ .

?

Задача 3.10.6

(1)(2)

Вычислить криволинейный интеграл по плоской кривой $\Gamma$ . $\int_{\Gamma } f(x, y) d x, \Gamma$ — окружность $x^{2}+y^{2} = a x$ , если:

?

(1)

$f(x ; y) = x-y ;$

(2)

$f(x ; y) = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ .

Задача 3.10.7

(1)(2)

Вычислить криволинейный интеграл по плоской кривой $\Gamma$ . $\int_{\Gamma } f(x ; y) d s, \Gamma$ — правый лепесток лемнискаты, заданной в полярных координатах уравнением $r^{2} = a^{2} \cos 2 \varphi$ , если:

?

(1)

$f(x ; y) = x+y$ ;

(2)

$f(x ; y) = x \sqrt{x^{2}-y^{2}}$ .

Задача 3.10.8

Вычислить криволинейный интеграл по плоской кривой $\Gamma$ . $\int_{\Gamma }\left|y\right| d s, \Gamma$ — лемниската $r^{2} = a^{2} \cos 2 \varphi$ .

?

Задача 3.10.9

Вычислить криволинейный интеграл по плоской кривой $\Gamma$ . $\int_{\Gamma }\left(x^{4 / 3}+y^{4 / 3}\right) d s, \Gamma$ — астроида $x^{2 / 3}+y^{2 / 3} = a^{2 / 3}$ .

?

Задача 3.10.10

(1)(2)

Вычислить криволинейный интеграл по плоской кривой $\Gamma$ . $\int_{\Gamma } f(x ; y) d s, \Gamma$ — арка циклоиды $x = a(t-\sin t), y = a(1- -\cos t), 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ , если:

?

(1)

$f(x ; y) = y$ ;

(2)

$f(x ; y) = y^{2}$ .

Задача 3.10.11

(1)(2)

Вычислить криволинейный интеграл по плоской кривой $\Gamma$ . $\int_{\Gamma } f(x ; y) d s, \Gamma$ — дуга развертки окружности $x = a(\cos t+t \sin t), \quad y = a(\sin t-t \cos t), \quad 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ , если:

?

(1)

$f(x ; y) = x^{2}+y^{2}$ ;

(2)

$f(x ; y) = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ . если:

Задача 3.10.12

(1)(2)(3)

Вычислить криволинейный интеграл по пространственной кривой $\Gamma$ . $\int_{\Gamma } f(x ; y ; z) d s, \Gamma$ — первый виток винтовой линии

?

(1)

$f(x ; y ; z) = z^{2} /\left(x^{2}+y^{2}\right)$

(2)

$f(x ; y ; z) = 1 /\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ ;

(3)

$f(x ; y ; z) = x^{2}+y^{2}+z^{2}$ .

Задача 3.10.13

(1)(2)

Вычислить криволинейный интеграл по пространственной кривой $\Gamma$ . $\int_{\Gamma } f(x ; y ; z) d s, \Gamma$ — дуга конической винтовой линии если:

x = t \cos t, \quad y = t \sin t, \quad z = t, \quad 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi

?

(1)

$f(x ; y ; z) = z$

(2)

$f(x ; y ; z) = \sqrt{x^{2}+y^{2}}+z$ .

Задача 3.10.14

Вычислить криволинейный интеграл по пространственной кривой $\Gamma$ . $\int_{\Gamma } \sqrt{2 y^{2}+z^{2}} d s, \Gamma$ — окружность $x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2}, x = y$ .

?

Задача 3.10.15

Вычислить криволинейный интеграл по пространственной кривой $\Gamma$ . $\int_{\Gamma } x y z d s, \Gamma$ — четверть окружности $x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2}, x = y$ , расположенная в I октанте.

?

Задача 3.10.16

Вычислить криволинейный интеграл по пространственной кривой $\Gamma$ . $\int_{\Gamma }(x+y) d s, \Gamma$ — четверть окружности $x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2}, y = x$ , расположенная в I октанте.

?

Задача 3.10.17

Вычислить криволинейный интеграл по пространственной кривой $\Gamma$ . $\int_{\Gamma } x^{2} d s, \Gamma$ — окружность $x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2}, x+y+z = 0$ .

?

Задача 3.10.18

Вычислить криволинейный интеграл по пространственной кривой $\Gamma$ . $\int_{\Gamma } z d s, \Gamma$ — дуга кривой $x^{2}+y^{2} = z^{2}, y^{2} = a x$ от точки $(0 ; 0 ; 0)$ до точки $(a ; a ; a \sqrt{2}), a > 0$ .

?

Задача 3.10.19

Вычислить криволинейный интеграл второго рода по кривой $\Gamma$ , пробегаемой в направлении возрастания ее параметра $x$ .

?

(1)

$\int_{\Gamma } x y d x, \Gamma$ — дуга синусоиды $y = \sin x, 0 \leqslant x \leqslant \pi$ ;

(2)

$\int_{\Gamma }\left(x-\frac{1}{y}\right) d y, \Gamma$ — дуга параболы $y = x^{2}, 1 \leqslant x \leqslant 2$ ;

(3)

$\int_{\Gamma } x d y-y d x, \Gamma$ — кривая $y = x^{3}, 0 \leqslant x \leqslant 2$ ;

(4)

$\int_{\Gamma } \frac{y}{x} d x+d y, \Gamma$ — кривая $y = \ln x, 1 \leqslant x \leqslant e$ ;

(5)

$\int_{\Gamma } 2 x y d x+x^{2} d y, \Gamma$ — дуга параболы $y = \frac{x^{2}}{4}, 0 \leqslant x \leqslant 2$ ;

(6)

$\int_{\Gamma } 2 x y d x-x^{2} d y, \Gamma$ — дуга параболы $y = \sqrt{\frac{x}{2}}, 0 \leqslant x \leqslant 2$ .

Задача 3.10.20

(1)(2)(3)(4)

Вычислить криволинейный интеграл второго рода по кривой $\Gamma$ , пробегаемой в направлении возрастания ее параметра $x$ .

?

(1)

$\int_{\Gamma } \cos y d x-\sin y d y, \Gamma$ — отрезок прямой $y = -x,-2 \leqslant x \leqslant 2$

(2)

$\int_{\Gamma }\left(x y-y^{2}\right) d x+x d y, \Gamma$ — кривая $y = 2 \sqrt{x}, 0 \leqslant x \leqslant 1$ ;

(3)

$\int_{\Gamma }\left(x^{2}-2 x y\right) d x+\left(y^{2}-2 x y\right) d y, \quad \Gamma$ — дуга параболы $y = x^{2}$ , $-1 \leqslant x \leqslant 1$ ;

(4)

$\int_{\Gamma }\left(x^{2}+y^{2}\right) d x+\left(x^{2}-y^{2}\right) d y, \Gamma$ — кривая $y = 1-\left|x-1\right|, 0 \leqslant x \leqslant 2$ .

Задача 3.10.21

(1)(2)(3)

Вычислить криволинейный интеграл по кривой $\Gamma$ , пробегаемой от точки $A$ к точке $B$ . $\int_{\Gamma } x d y-y d x, A(0 ; 0), B(1 ; 2)$ , если:

?

(1)

$\Gamma$ — отрезок $A B$ ;

(2)

$\Gamma$ — дуга параболы $y = 2 x^{2}$ ;

(3)

$\Gamma$ — ломаная $A C B$ , где $C(0 ; 1)$ .

Задача 3.10.22

Вычислить криволинейный интеграл по кривой $\Gamma$ , пробегаемой от точки $A$ к точке $B$ . $\int_{\Gamma } x y d x-y^{2} d y, \Gamma$ — дуга параболы $y^{2} = 2 x, A(0 ; 0), B(2 ; 2)$ .

?

Задача 3.10.23

Вычислить криволинейный интеграл по кривой $\Gamma$ , пробегаемой от точки $A$ к точке $B$ . $\int_{\Gamma } \frac{3 x}{y} d x-\frac{2 y^{3}}{x} d y, \Gamma$ — дуга параболы $x = y^{2}, A(4 ; 2), B(1 ; 1)$ .

?

Задача 3.10.24

Вычислить криволинейный интеграл по кривой $\Gamma$ , пробегаемой от точки $A$ к точке $B$ . $\int_{\Gamma } \frac{x}{y} d x-\frac{y-x}{x} d y, \Gamma$ — дуга параболы $y = x^{2}, A(2 ; 4), B(1 ; 1)$ .

?

Задача 3.10.25

Вычислить криволинейный интеграл по кривой $\Gamma$ , пробегаемой от точки $A$ к точке $B$ . $\int_{\Gamma } x d y, \Gamma$ — полуокружность $x^{2}+y^{2} = a^{2}, x \geqslant 0, A(0 ;-a)$ , $B(0 ; a)$ .

?

Задача 3.10.26

Вычислить криволинейный интеграл по отрезку $A B$ , ориентированному в направлении от точки $A$ к точке $B$ :

?

(1)

$\int_{\Gamma } x^{3} d y-x y d x, A(0 ;-2), B(1 ; 3)$ ;

(2)

$\int_{\Gamma }-3 x^{2} d x+y^{3} d y, A(0 ; 0), B(2 ; 4)$ ;

(3)

$\int_{\Gamma }(2 x-y) d x+(4 x+5 y) d y, A(3 ;-4), B(1 ; 2)$ ;

(4)

$\int_{\Gamma }(4 x+5 y) d x+(2 x-y) d y, A(1 ;-9), B(4 ;-3)$ ;

(5)

$\int_{\Gamma }\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+y\right) d x+\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}+x\right) d y, A(1 ; 0), B(3 ; 4)$ ;

(6)

$\int_{\Gamma }(x+y) d x+(x-y) d y, A(0 ; 1), B(2 ; 3)$ .

Задача 3.10.27

(1)(2)(3)(4)

Вычислить криволинейный интеграл по кривой $\Gamma$ , пробегаемой в направлении возрастания ее параметра $t$ .

?

(1)

$\int_{\Gamma } x y^{2} d x, \Gamma$ — дуга окружности $x = \cos t, y = \sin t, 0 \leqslant t \leqslant \pi / 2$ ;

(2)

$\int_{\Gamma } x d y+y d x, \Gamma$ — дуга окружности $x = R \cos t, y = R \sin t$ , $0 \leqslant t \leqslant \pi / 2$

(3)

$\int_{\Gamma } y d x-x d y, \Gamma$ — эллипс $x = a \cos t, y = b \sin t, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ ;

(4)

$\int_{\Gamma }^{\Gamma } y^{2} d x+x^{2} d y, \quad \Gamma$ — верхняя половина эллипса $x = a \cos t$ , $y = b \sin t$ .

Задача 3.10.28

(1)(2)

Вычислить криволинейный интеграл по кривой $\Gamma$ , пробегаемой в направлении возрастания ее параметра $t$ .

?

(1)

$\int_{\Gamma }(2 a-y) d x+(y-a) d y, \quad \Gamma$ — дуга циклоиды $x = a(t- -\sin t), y = a(1-\cos t), 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi ;$

(2)

$\int_{\Gamma } \frac{x^{2} d y-y^{2} d x}{x^{5 / 3}+y^{5 / 3}}, \Gamma$ — дуга астроиды $x = a \cos^{3} t, y = a \sin^{3} t$ , $0 \leqslant t \leqslant \pi / 2$ .

Задача 3.10.29

(1)(2)(3)(4)

Вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой $\Gamma$ , пробегаемой так, что ее внутренность остается слева.

?

(1)

$\int_{\Gamma }\left(x^{2}+y^{2}\right) d x, \Gamma$ — граница прямоугольника, образованного прямыми $x = 1, x = 3, y = 1, y = 5$ ;

(2)

$\int_{\Gamma }\left(x^{2}-2 x y\right) d x+(x-2 y)^{2} d y, \quad \Gamma$ — граница прямоугольника, образованного прямыми $x = 0, x = 2, y = 0, y = 1$ ;

(3)

$\int_{\Gamma }\left(3 x^{2}-y\right) d x+(1-2 x) d y, \Gamma$ — граница треугольника с вершинами $(0 ; 0),(1 ; 0),(1 ; 1)$ ;

(4)

$\int_{\Gamma }\left(x^{2}+y^{2}\right) d x+\left(x^{2}-y^{2}\right) d y, \Gamma$ — граница треугольника с вершинами $(0 ; 0),(1 ; 0),(0 ; 1)$ .

Задача 3.10.30

(1)(2)(3)(4)

Вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой $\Gamma$ , пробегаемой так, что ее внутренность остается слева.

?

(1)

$\int_{\Gamma } 2\left(x^{2}+y^{2}\right) d x+(x+y)^{2} d y, \Gamma$ — граница треугольника с вершинами $(1 ; 1),(1 ; 3),(2 ; 2)$ ;

(2)

$\int_{\Gamma } \frac{d x+d y}{\left|x\right|+\left|y\right|}, \Gamma$ — граница квадрата с вершинами $(1 ; 0),(0 ; 1)$ , $(-1 ; 0),(0 ;-1)$ ;

(3)

$\int_{\Gamma } \frac{(x+y) d x+(y-x) d y}{x^{2}+y^{2}}, \Gamma$ — окружность $x^{2}+y^{2} = R^{2}$ ;

(4)

$\int_{\Gamma } \frac{x y^{2} d x-x^{2} y d y}{x^{2}+y^{2}}, \Gamma$ — правый лепесток лемнискаты $r^{2} = a^{2} \cos 2 \varphi$ .

Задача 3.10.31

Вычислить криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой $\Gamma$ , пробегаемой в направлении возрастания параметра $t$ . $\int_{\Gamma } y d x+z d y+x d z, \Gamma$ — виток винтовой линии $x = a \cos t$ , $y = a \sin t, z = b t, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ .

?

Задача 3.10.32

Вычислить криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой $\Gamma$ , пробегаемой в направлении возрастания параметра $t$ . $\int_{\Gamma }\left(y^{2}-z^{2}\right) d x+2 y z d y-x^{2} d z, \Gamma$ — кривая $x = t, y = t^{2}, z = t^{3}, 0 \leqslant t \leqslant 1$ .

?

Задача 3.10.33

Вычислить криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой $\Gamma$ , пробегаемой в направлении возрастания параметра $t$ . $\int_{\Gamma } y z d x+z \sqrt{a^{2}-y^{2}} d y+x y d z, \quad \Gamma$ — дуга винтовой линии $x = a \cos t, y = a \sin t, z = a t /(2 \pi ), 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ .

?

Задача 3.10.34

Вычислить криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой $\Gamma$ , пробегаемой в направлении возрастания параметра $t$ . $\int_{\Gamma }(y+z) d x+(z+x) d y+(x+y) d z, \Gamma$ — кривая $x = a \sin^{2} t$ , $y = 2 a \sin t \cos t, z = a \cos^{2} t, 0 \leqslant t \leqslant \pi$ .

?

Задача 3.10.35

Вычислить криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой $\Gamma$ , пробегаемой в направлении возрастания параметра $t$ . $\int_{\Gamma } x d x+(x+y) d y+(x+y+z) d z, \Gamma$ — кривая $x = a \sin t$ , $y = a \cos t, z = a(\sin t+\cos t), 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ .

?

Задача 3.10.36

Вычислить криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой $\Gamma$ , пробегаемой в направлении возрастания параметра $t$ . $\int_{\Gamma } y d x+z d y+x d z, \Gamma$ — окружность $x = a \cos \alpha \cos t, y = a \cos \alpha \sin t, z = a \sin \alpha$ ( $\alpha =$ const $)$ .

?

Задача 3.10.37

Вычислить криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой $\Gamma$ . $\int_{\Gamma } x d x+y d y+(x+y-1) d z, \Gamma$ — отрезок $A B$ , пробегаемый от точки $A(1 ; 1 ; 1)$ к точке $B(2 ; 3 ; 4)$ .

?

Задача 3.10.38

Вычислить криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой $\Gamma$ . $\int_{\Gamma } \frac{x d x+y d y+z d z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}-x-y+2 z}}, \Gamma$ — отрезок $A B$ , пробегаемый от точки $A(1 ; 1 ; 1)$ к точке $B(4 ; 4 ; 4)$ .

?

Задача 3.10.39

Вычислить криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой $\Gamma$ . $\int_{\Gamma } x(z-y) d x+y(x-z) d y+z(y-x) d z, \Gamma$ — ломаная $A B C A$ , где $A(a ; 0 ; 0), B(0 ; a ; 0), C(0 ; 0 ; a)$ .

?

Задача 3.10.40

Вычислить криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой $\Gamma$ . $\int_{\Gamma } y^{2} d x+z^{2} d y+x^{2} d z, \Gamma$ — линия пересечения сферы $x^{2} + y^{2}+z^{2} = R^{2}$ и цилиндра $x^{2}+y^{2} = R x(R > 0, z \geqslant 0)$ , пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть из точки $(0 ; 0 ; 0)$ .

?

Задача 3.10.41

Вычислить криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой $\Gamma$ . $\int_{\Gamma }(y-z) d x+(z-x) d y+(x-y) d z, \Gamma$ — окружность $x^{2} + y^{2}+z^{2} = a^{2}, y = x \operatorname {tg} \alpha \quad (0 \leqslant \alpha \leqslant \pi )$ , пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной полуоси $O x$ .

?

Задача 3.10.42

Вычислить криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой $\Gamma$ . $\int_{\Gamma }\left(y^{2}-z^{2}\right) d x+\left(z^{2}-x^{2}\right) d y+\left(x^{2}-y^{2}\right) d z, \Gamma$ — граница части сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2} = 1$ (лежащей в I октанте), пробегаемая по ходу часовой стрелки, если смотреть из точки $(0 ; 0 ; 0)$ .

?

Задача 3.10.43

Вычислить криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой $\Gamma$ . $\int_{\Gamma }(y+z) d x+(z+x) d y+(x+y) d z, \Gamma$ — окружность $x^{2} + y^{2}+z^{2} = a^{2}, x+y+z = 0$ , пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной полуоси $O y$ .

?

Задача 3.10.44

Вычислить криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой $\Gamma$ . $\int_{\Gamma }\left(y^{2}+z^{2}\right) d x+\left(x^{2}+z^{2}\right) d y+\left(x^{2}+y^{2}\right) d z$ , Г — линия пересечения поверхностей

x^{2}+y^{2}+z^{2} = 2 R x, \quad x^{2}+y^{2} = 2 r x, \quad 0 < r < R, \quad z \geqslant 0

пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной полуоси $O z$ .

?

Задача 3.10.45

(1)(2)

Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой $\Gamma$ , пробегаемой так, что ее внутренность остается слева. $\int_{\Gamma }(x y+x+y) d x+(x y+x-y) d y$ , если:

?

(1)

$\Gamma$ — эллипс $x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2} = 1$ ;

(2)

$\Gamma$ — окружность $x^{2}+y^{2} = a x$ .

Задача 3.10.46

Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой $\Gamma$ , пробегаемой так, что ее внутренность остается слева. $\int_{\Gamma }(2 x y-y) d x+x^{2} d y, \Gamma$ — эллипс $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ .

?

Задача 3.10.47

Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой $\Gamma$ , пробегаемой так, что ее внутренность остается слева. $\int_{\Gamma } \frac{x d y+y d x}{x^{2}+y^{2}}, \Gamma$ — окружность $(x-1)^{2}+(y-1)^{2} = 1$ .

?

Задача 3.10.48

Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой $\Gamma$ , пробегаемой так, что ее внутренность остается слева. $\int_{\Gamma }(x+y)^{2} d x-\left(x^{2}+y^{2}\right) d y, \Gamma$ — граница треугольника с вершинами $(1 ; 1),(3 ; 2),(2 ; 5)$ .

?

Задача 3.10.49

Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой $\Gamma$ , пробегаемой так, что ее внутренность остается слева. $\int_{\Gamma }\left(y-x^{2}\right) d x+\left(x+y^{2}\right) d y, \quad \Gamma$ — граница кругового сектора $0 < r < R, 0 < \varphi < \alpha \leqslant \pi / 2$ , где $(r ; \varphi )$ — полярные координаты.

?

Задача 3.10.50

Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой $\Gamma$ , пробегаемой так, что ее внутренность остается слева. $\int_{\Gamma } e^{x}[(1-\cos y) d x+(\sin y-y) d y], \Gamma$ — граница области $0 < x < \pi , 0 < y < \sin x$ .

?

Задача 3.10.51

Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой $\Gamma$ , пробегаемой так, что ее внутренность остается слева. $\int_{\Gamma } e^{y^{2}-x^{2}}\left(\cos 2 x y d x+\sin 2 x y d y, \Gamma \right.$ — окружность $x^{2}+y^{2} = R^{2}$ .

?

Задача 3.10.52

Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой $\Gamma$ , пробегаемой так, что ее внутренность остается слева. $\int_{\Gamma }\left(e^{x} \sin y-y\right) d x+\left(e^{x} \cos y-1\right) d y, \quad \Gamma$ — граница области $x^{2}+y^{2} < a x, y > 0$ .

?

Задача 3.10.53

Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой $\Gamma$ , пробегаемой так, что ее внутренность остается слева. $\int_{\Gamma } \frac{d x-d y}{x+y}, \Gamma$ — граница квадрата с вершинами $(1 ; 0),(0 ; 1)$ , $(-1 ; 0),(0 ;-1)$ .

?

Задача 3.10.54

Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой $\Gamma$ , пробегаемой так, что ее внутренность остается слева. $\int_{\Gamma } \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x+y\left(x y+\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\right) d x, \quad \Gamma$ окружность $x^{2}+y^{2} = R^{2}$ .

?

Задача 3.10.55

Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой $\Gamma$ , пробегаемой так, что ее внутренность остается слева. $\int_{\Gamma }(x+y)^{2} d x-(x-y)^{2} d y, \Gamma$ — граница области, образованной отрезком $A B$ , где $A(1 ; 1), B(2 ; 6)$ , и дугой параболы $y = a x^{2} + b x+c$ , проходящей через точки $A, B, O(0 ; 0)$ .

?

Задача 3.10.56

Убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой $\Gamma$ с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ . $\int_{\Gamma } x d y+y d x, A(-1 ; 3), B(2 ; 2)$ .

?

Задача 3.10.57

Убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой $\Gamma$ с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ . $\int_{\Gamma } x d x+y d y, A(-1 ; 0), B(-3 ; 4)$ .

?

Задача 3.10.58

Убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой $\Gamma$ с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ . $\int_{\Gamma }(x+y) d x+(x-y) d y, A(2 ;-1), B(1 ; 0)$ .

?

Задача 3.10.59

Убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой $\Gamma$ с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ . $\int_{\Gamma } 2 x y d x+x^{2} d y, A(0 ; 0), B(-2 ;-1)$ .

?

Задача 3.10.60

Убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой $\Gamma$ с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ . $\int_{\Gamma }\left(x^{4}+4 x y^{3}\right) d x+\left(6 x^{2} y^{2}-5 y^{4}\right) d y, A(-2 ;-1), B(0 ; 3)$ .

?

Задача 3.10.61

Убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой $\Gamma$ с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ . $\int_{\Gamma }\left(x^{2}+2 x y-y^{2}\right) d x+\left(x^{2}-2 x y-y^{2}\right) d y, \quad A(3 ; 0), \quad A(0 ;-3)$ .

?

Задача 3.10.62

Убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой $\Gamma$ с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ . $\int_{\Gamma }\left(3 x^{2}-2 x y+y^{2}\right) d x+\left(2 x y-x^{2}-3 y^{2}\right) d y$ ,

A(-1 ; 2), B(1 ;-2)

?

Задача 3.10.63

Убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой $\Gamma$ с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ . $\int_{\Gamma } f(x+y)(d x+d y), f(t)$ — непрерывная функция, $A(0 ; 0)$ , $B\left(x_{0} ; y_{0}\right)$ .

?

Задача 3.10.64

Убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой $\Gamma$ с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ . $\int_{\Gamma } \varphi (x) d x+\psi (y) d y, \quad \varphi (t), \quad \psi (t)$ — непрерывные функции, $A\left(x_{1} ; y_{1}\right), B\left(x_{2} ; y_{2}\right)$ .

?

Задача 3.10.65

Убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой $\Gamma$ с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ . $\int_{\Gamma } e^{x} \cos y d x-e^{x} \sin y d y, A(0 ; 0), B\left(x_{0} ; y_{0}\right)$ .

?

Задача 3.10.66

Убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой $\Gamma$ с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ . $\int_{\Gamma } x d x+y^{2} d y-z^{3} d z, A(-1 ; 0 ; 2), B(0 ; 1 ;-2)$ .

?

Задача 3.10.67

Убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой $\Gamma$ с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ . $\int_{\Gamma } y z d x+x z d y+x y d z, A(2 ;-1 ; 0), B(1 ; 2 ; 3)$ .

?

Задача 3.10.68

Убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой $\Gamma$ с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ . $\int_{\Gamma } \frac{x d x+y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}, A \in S_{1}, B \in S_{2}$ , где $S_{1}$ — сфера $x^{2}+y^{2} + z^{2} = R_{1}^{2}, S_{2}$ — сфера $x^{2}+y^{2}+z^{2} = R_{2}^{2}\left(R_{1} > 0, R_{2} > 0\right)$ .

?

Задача 3.10.69

Найти функцию $u$ по заданному полному дифференциалу этой функции. $d u = x^{2} d x+y^{2} d y$ .

?

Задача 3.10.70

Найти функцию $u$ по заданному полному дифференциалу этой функции. $d u = \left(e^{2 y}-5 y^{3} e^{x}\right) d x+\left(2 x e^{2 y}-15 y^{2} e^{x}\right) d y$ .

?

Задача 3.10.71

Найти функцию $u$ по заданному полному дифференциалу этой функции. $d u = e^{x-y}[(1+x+y) d x+(1-x-y) d y]$ .

?

Задача 3.10.72

Найти функцию $u$ по заданному полному дифференциалу этой функции. $d u = \frac{2 x\left(1-e^{y}\right)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x+\left(\frac{e^{2}}{1+x^{2}}+1\right) d y$ .

?

Задача 3.10.73

Найти функцию $u$ по заданному полному дифференциалу этой функции. $d u = \frac{d x+d y+d z}{x+y+z}$ .

?

Задача 3.10.74

Найти функцию $u$ по заданному полному дифференциалу этой функции. $d u = \frac{y z d x+x z d y+x y d z}{1+x^{2} y^{2} z^{2}}$ .

?

Задача 3.10.75

Найти функцию $u$ по заданному полному дифференциалу этой функции. $d u = \left(x^{2}-2 y z\right) d x+\left(y^{2}-2 x z\right) d y+\left(z^{2}-2 x y\right) d z$ .

?

Задача 3.10.76

Найти функцию $u$ по заданному полному дифференциалу этой функции. $d u = \left(1-\frac{1}{y}+\frac{y}{z}\right) d x+\left(\frac{x}{z}+\frac{x}{y^{2}}\right) d y-\frac{x y}{z^{2}} d z$ .

?

Задача 3.10.77

Найти функцию $u$ по заданному полному дифференциалу этой функции. $d u = \frac{(x+y-z) d x+(x+y-z) d y+(x+y+z) d z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y}$

?

Задача 3.10.78

Какому условию должна удовлетворять дифференцируемая функция $F(x ; y)$ , чтобы криволинейный интеграл

\int _{\Gamma _{A B}} F(x ; y)(y d x+x d y)

не зависел от пути интегрирования $\Gamma_{A B}$ ?

?

Задача 3.10.79

Исходя из определения длины $s$ спрямляемой кривой $\Gamma = \left\{ \mathbf{r}(t), a \leqslant t \leqslant b\right\}$ , данного в $[1, \S 24$ , п. 2 $]$ , доказать, что если $\Gamma$ — кусочно гладкая кривая, то в $R^{3}$

s = \int _{\Gamma } d s = \int _{a}^{b}\left|\frac{d \mathbf{r}}{d t}(t)\right| d t = \int _{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d t}\right)^{2}} d t

а в $R^{2}$

s = \int _{\Gamma } d s = \int _{a}^{b}\left|\frac{d \mathbf{r}}{d t}(t)\right| d t = \int _{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} d t

?

Задача 3.10.80

(1)(2)

Доказать, что:

?

(1)

если плоская кривая $\Gamma$ — график непрерывно дифференцируемой функции $y = f(x), a \leqslant x \leqslant b$ , то

s = \int _{a}^{b} \sqrt{1+\left(f^{\prime }(x)\right)^{2}} d x

(2)

если плоская кривая $\Gamma$ задана в полярных координатах уравнением $r = r(\varphi ), a \leqslant \varphi \leqslant b$ , где функция $r(\varphi )$ непрерывно дифференцируема на $[a ; b]$ , то

s = \int _{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{d r}{d \varphi }\right)^{2}+r^{2}} d \varphi

Задача 3.10.81

Найти длину дуги плоской кривой[^fn1]:

?

(1)

$a y^{2} = x^{3}, 0 \leqslant x \leqslant 5 a$ ;

(2)

$y = 1-\ln \cos x, 0 \leqslant x \leqslant \pi / 4$ ;

(3)

$y = a \operatorname {ch}(x / a), 0 \leqslant x \leqslant x_{0}$ ;

(4)

$r = a \sin^{3}(\varphi / 3)$ ;

(5)

$r = a(1+\cos \varphi )$ ;

(6)

$x = e^{t} \sin t, y = e^{t} \cos t, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ ;

(7)

$x = \varphi +\sin \varphi , y = 1-\cos \varphi ,\left|\varphi \right| \leqslant \pi$ ;

(8)

$x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2} = 1, a \geqslant b$ ;

(9)

$x^{2 / 3}+y^{2 / 3} = a^{2 / 3}$ .

Задача 3.10.82

Найти длину дуги пространственной кривой:

?

(1)

$x = 3 t, y = 3 t^{2}, z = 2 t^{3}, 0 \leqslant t \leqslant 1$ ;

(2)

$x = t \cos t, y = t \sin t, z = t, 0 \leqslant t \leqslant \sqrt{2}$ ;

(3)

$x = a(1+\cos \varphi ), y = a(\varphi -\sin \varphi ), z = 4 a \sin (\varphi / 2), 0 \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi$ ;

(4)

$x = t \cos t^{2}, y = t \sin t^{2}, z = t^{2}, 0 \leqslant t \leqslant \sqrt{2 \pi }$ ;

(5)

$2 p x = z^{2}, 6 p^{2} y = z^{3}, 0 \leqslant z \leqslant p$ ;

(6)

$x^{2}-y^{2} = 9 z^{2} / 8,(x+y)^{2} = 8(x-y)$ от точки $(0 ; 0 ; 0)$ до точки с аппликатой $z_{0} = 1 / 3$ .

Задача 3.10.83

Пусть $s_{n}$ — длина витка кривой $x = e^{-k t} \cos t, y = e^{-k t} \sin t$ , $z = e^{-k t}, 2 \pi n \leqslant t \leqslant 2 \pi (n+1) t, n \in Z$ . Найти отношение $s_{n+1}: s_{n}$ .

?

Задача 3.10.84

Используя таблицы, найти с погрешностью не более чем 0,1 длину дуги кривой $x^{2}+y^{2}+z^{2} = 1, y^{2}+z^{2} = y$ .

?

Задача 3.10.85

Найти массу, распределенную с линейной плотностью $\rho (x ; y)$ по дуге $A B$ плоской кривой $\Gamma$ , если:

?

(1)

$\Gamma$ — отрезок $A B, A(1 ; 1), B(2 ; 3) ; \rho (x ; y) = 2 x+y$ ;

(2)

$\Gamma$ — отрезок $A B, A(1 ; 0), B(4 ; 6) ; \rho (x ; y) = \sqrt{y+2} / x$ ;

(3)

$\Gamma : y = x^{2} / 2, A(1 ; 1,5), B(2 ; 2) ; \rho (x ; y) = y / x$ ;

(4)

$\Gamma : y^{2} = x, A(1 ; 1), B(4 ; 2) ; \rho (x ; y) = y$ ;

(5)

$\Gamma : y = 2 x^{3 / 2} / 3, A(0 ; 0), B(4 ; 16 / 3) ; \rho = k s$ , где $s$ — длина дуги от точки $(0 ; 0)$ .

Задача 3.10.86

Найти массу всей кривой $y = a \operatorname {ch}(x / a), x \in R$ , с линейной плотностью $\rho = 1 / y^{2}$ .

?

Задача 3.10.87

Найти массу, распределенную с линейной плотностью $\rho$ по плоской кривой $\Gamma$ :

?

(1)

$\Gamma : r = a \sqrt{\cos 2 \varphi } ; \rho = k r$ ;

(2)

$\Gamma : r = a(1+\cos \varphi ) ; \rho = k \sqrt{r}$ ;

(3)

$\Gamma : x = a(t-\sin t), y = a(1-\cos t), 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi ; \rho = y^{3 / 2}$ ;

(4)

$\Gamma : x = a \cos^{3} t, y = a \sin^{3} t, 0 \leqslant t \leqslant \pi / 2 ; \rho = \sqrt[3]{y}$ ;

(5)

$\Gamma : x = \ln \left(1+t^{2}\right), y = 2 \operatorname {arctg} t-t, 0 \leqslant t \leqslant 1 ; \rho = y e^{-x}$ ;

(6)

$\Gamma : x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2} = 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0 ; a > b ; \rho = y$ ;

(7)

$\Gamma : x^{2 / 3}+y^{2 / 3} = a^{2 / 3} ; \rho = \left|x y\right|$ ;

(8)

$\Gamma : x^{2}+y^{2} = a x ; \rho = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ .

Задача 3.10.88

Найти массу, распределенную с линейной плотностью $\rho$ по пространственной кривой $\Gamma$ :

?

(1)

$\Gamma : x = \cos t, y = \sin t, z = t, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi ; \rho = \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1}$ ;

(2)

$\Gamma : x = a t, y = a t^{2} / 2, z = a t^{3} / 3,0 \leqslant t \leqslant 1 ; \rho = \sqrt{2 y / a}$ ;

(3)

$\Gamma : x = t \cos t, y = t \sin t, z = t, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi ; \rho = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ;

(4)

$\Gamma : x = a e^{t} \cos t, y = a e^{t} \sin t, z = a e^{t},-\infty < t \leqslant 0 ; \rho = k z$ ;

(5)

$\Gamma$ — дуга кривой $y = x^{2} / \sqrt{2}, z = x^{3} / 3$ с началом $A(0 ; 0 ; 0)$ и концом $B(4 ; 8 \sqrt{2} ; 64 / 3) ; \rho = k \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ;

(6)

$\Gamma$ — дуга кривой $y^{2}-4 x^{2} = 3 z^{2}, y^{2} = x, z \geqslant 0$ , с началом $A(0 ; 0 ; 0)$ и концом $B(1 / 4 ; 1 / 2 ; 0) ; \rho = z$ ;

(7)

$\Gamma = \left\{ x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2}, x+y+z = a\right\} , \rho = x^{2}$ .

Задача 3.10.89

Найти координаты центра масс, распределенных по плоской кривой $\Gamma$ с линейной плотностью $\rho = 1$ :

?

(1)

$\Gamma : y = a \operatorname {ch}(x / a),\left|x\right| \leqslant a$ ;

(2)

$\Gamma : x = a(t-\sin t), y = a(1-\cos t), 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ ;

(3)

$\Gamma$ — дуга окружности $r = R,\left|\varphi \right| \leqslant \varphi_{0} \leqslant \pi$ ;

(4)

$\Gamma$ — кардиоида $r = a(1+\cos \varphi )$ ;

(5)

$\Gamma : x^{2 / 3}+y^{2 / 3} = a^{2 / 3}, y \geqslant 0$ ;

(6)

$\Gamma : \sqrt{x}+\sqrt{y} = \sqrt{a}$ ;

(7)

$\Gamma : y^{2} = x^{2} / 3+x^{3}, x \geqslant 0$ .

Задача 3.10.90

(1)(2)

Найти координаты центра масс, распределенных с линейной плотностью $\rho$ по дуге винтовой линии $x = R \cos \varphi , y = R \sin \varphi , z = h \varphi / 2 \pi , 0 \leqslant \varphi \leqslant \varphi_{0}$ , если:

?

(1)

$\rho = \rho_{0} =$ const;

(2)

$\rho = \rho_{0} e^{-z / h}$ , считать $\varphi_{0} = 2 \pi n, n \in N$ .

Задача 3.10.91

Найти координаты центра масс однородной кривой

x = e^{-t} \cos t, \quad y = e^{-t} \sin t, \quad z = e^{-t}, \quad 0 \leqslant t < \infty .

?

Задача 3.10.92

Найти координаты центра масс однородного края поверхности $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} = \sqrt{a}$ .

?

Задача 3.10.93

Пусть кусочно гладкая кривая $\Gamma$ является объединением гладких кривых $\Gamma_{i}, \Gamma = \bigcup_{i = 1}^{n} \Gamma_{i}$ , с массами $m_{i}$ и радиус-векторами центров масс $\mathbf{r}_{i}, i = 1, \ldots , n$ . Пусть $m$ — масса $\Gamma , r_{C}$ — центр масс $Г$ . Доказать, что

\mathbf{r}_{C} = \sum _{i = 1}^{n} \frac{m_{i}}{m} \mathbf{r}_{i}

?

Задача 3.10.94

Найти момент инерции $I_{x}$ окружности $x^{2}+y^{2} = R^{2} ; \rho = 1$ .

?

Задача 3.10.95

Найти момент инерции $I_{y}$ окружности $x^{2}+y^{2} = 2 R x ; \rho = 1$ .

?

Задача 3.10.96

Найти моменты инерции $I_{x}$ и $I_{y}$ одной арки циклоиды

x = a(t+\sin t), \quad y = a(1-\cos t), \quad \left|t\right| \leqslant \pi , \quad \rho = 1

?

Задача 3.10.97

Найти моменты инерции $I_{x}, I_{y}, I_{z}$ одного витка винтовой линии

x = a \cos t, \quad y = a \sin t, \quad z = h t / 2 \pi , \quad 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi ; \quad \rho = 1.

?

Задача 3.10.98

Найти момент инерции $I_{x}$ окружности $x^{2}+y^{2}+z^{2} = R^{2}, x + y+z = 0 ; \rho = 1$ .

?

Задача 3.10.99

(1)(2)(3)

Найти полярный момент инерции $I_{0} = \int_{\Gamma }\left(x^{2}+y^{2}\right) d s$ плоской однородной кривой $\Gamma (\rho = 1)$ относительно начала координат, если:

?

(1)

$\Gamma :\left|x\right|+\left|y\right| = a$ ;

(2)

$\Gamma : x^{2 / 3}+y^{2 / 3} = a^{2 / 3}$ ;

(3)

$\Gamma : x = a(\cos t+t \sin t), y = a(\sin t-t \cos t), 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ .

Задача 3.10.100

Пусть $G$ — ограниченная плоская область с кусочно гладкой границей $\partial G$ , ориентированной так, что область $G$ находится (локально) слева от касательного к $\partial G$ вектора. Доказать, что площадь $\mu G$ можно вычислять по любой из формул

S = \oint _{\partial G} x d y = -\oint _{\partial G} y d x = \frac{1}{2} \oint _{\partial G} x d y-y d x

?

Задача 3.10.101

Найти площадь области, ограниченной плоскими кривыми:

?

(1)

$y^{2} = 4-x, x = 4, y = 1$ ;

(2)

$y = 2 x^{2}, x-y+1 = 0$ ;

(3)

$y = 1-x^{2}, x-y-1 = 0$ ;

(4)

$x = t^{2}$ , $y = t^{3}$ , $x = 1$ ;

(5)

$x = a \cos t, y = b \sin t$ ;

(6)

$x = 12 \sin^{3} t, y = 3 \cos^{3} t$ ;

(7)

$x = a \sin 2 \varphi \cos^{2} \varphi , y = a \cos 2 \varphi \cos^{2} \varphi ,\left|\varphi \right| \leqslant \pi / 2$ .

Задача 3.10.102

Найти площадь области $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} < 1, \quad \frac{x}{a}-\frac{y}{b} < \frac{\sqrt{3}-1}{2}$ .

?

Задача 3.10.103

Найти площадь области, ограниченной кривыми:

?

(1)

$(y-x)^{2}+x^{2} = 1$ ;

(2)

$(x+y)^{2} = a x, y = 0$ ;

(3)

$y^{2} = x^{2}-x^{4}$ ;

(4)

$9 y^{2} = 4 x^{3}-x^{4}$ ;

(5)

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} = a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right), x \geqslant 0$ ;

(6)

$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} = 2 a x^{3}$ ;

(7)

$x^{3}+y^{3} = x^{2}+y^{2}, x = 0, y = 0$ .

Задача 3.10.104

(1)(2)(3)

Найти площадь области, ограниченной петлей кривой:

?

(1)

$x = 3 t /\left(1+t^{3}\right), y = 3 t^{2} /\left(1+t^{3}\right)$ ;

(2)

$x = a \cos \varphi , y = a \sin 2 \varphi , x \geqslant 0$ ;

(3)

$(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{12} = x y$ .

Задача 3.10.105

Пусть $G$ — ограниченная область в полуплоскости $y \geqslant 0$ с кусочно гладкой границей $\partial G$ , ориентированной так, что область $G$ расположена (локально) слева от касательного вектора. Пусть $\Omega$ — тело, образованное вращением области $G$ вокруг оси $O x$ . Доказать, что объем $\mu \Omega$ можно вычислять по любой из формул

\mu \Omega = -\pi \oint _{\partial G} y^{2} d x = -2 \pi \oint _{\partial G} x y d y = -\frac{\pi }{2} \oint _{\partial G} 2 x y d y+y^{2} d x

?

Задача 3.10.106

Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси $O x$ области, ограниченной кривыми:

?

(1)

$y = \operatorname {sh} x, x = 0 > 0, y = 0$ ;

(2)

$y = 2-\sin x, 0 \leqslant x \leqslant 2 \pi , y = 0, x = 0, x = 2 \pi$ ;

(3)

$y^{2}-x^{2} = 1,\left|x\right| = 1$ ;

(4)

$x = a \cos^{3} t, y = a \sin^{3} t$ ;

(5)

$x = \sin 2 t, y = \sin t, 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ .

Задача 3.10.107

[^fn1]Найти работу поля $\mathbf{F} = \left(F_{0} ; 0\right), F_{0} =$ const, вдоль дуги параболы $y^{2} = 1-x$ от точки $(1 ; 0)$ до точки $(0 ; 1)$ .

?

Задача 3.10.108

Найти работу поля $\mathbf{F} = \left(F_{0}, 0\right), F_{0} =$ const, вдоль дуги астроиды $x^{2 / 3}+y^{2 / 3} = a^{2 / 3}, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ , от точки $(a ; 0)$ до точки $(0 ; a)$ .

?

Задача 3.10.109

(1)(2)

Найти работу поля $\mathbf{F} = (x y ; x+y)$ вдоль дуги $A B$ кривой $\Gamma$ , где $A(0 ; 0), B(1 ; 1)$ , если:

?

(1)

$\Gamma : y = x$ ;

(2)

$\Gamma : y = x^{2}$ .

Задача 3.10.110

(1)(2)(3)

Найти работу поля $\mathbf{F} = (4 x-5 y ; 2 x+y)$ вдоль дуги $A B$ кривой $\Gamma$ , где $A(1 ;-9), B(3 ;-3)$ , если:

?

(1)

$\Gamma$ — ломаная $A P B$ , где $P(1 ;-3)$ ;

(2)

$\Gamma$ — ломаная $A Q B$ , где $Q(3 ;-9)$ ;

(3)

$\Gamma$ — отрезок $A B$ .

Задача 3.10.111

Найти работу поля $F$ вдоль дуги $A B$ кривой $\Gamma$ , если

?

(1)

$\mathbf{F} = (2 x y ;-y) ; \Gamma : y = x^{2}-1, A(1 ; 0), B(2 ; 3)$ ;

(2)

$\mathbf{F} = \left(3 x y^{2} ;-x-y\right) ; \Gamma : y^{2} = x+1, A(0 ; 1), B(3 ; 2)$ ;

(3)

$\mathbf{F} = (-y ; x) ; \Gamma : x = a(t-\sin t), y = a(1-\cos t), A(0 ; 0)$ , $B(2 \pi a ; 0)$ ;

(4)

$\mathbf{F} = (y ;-2 x) ; \Gamma ; x^{2}+y^{2} = 1, y \geqslant 0, A(1 ; 0), B(-1 ; 0)$ ;

(5)

$\mathbf{F} = (0 ; 2 x) ; \Gamma : x = a \cos t, y = b \sin t, y \geqslant 0, A(a ; 0), B(-a ; 0)$ .

Задача 3.10.112

(1)(2)

Найти работу поля $\mathbf{F} = (-y ; x)$ :

?

(1)

от точки $A(1 ; 0)$ до точки $B(-1 ; 0)$ :

вдоль ломаной $A M N B$ , где $M(1 ; 1) ; N(-1 ; 1)$ ;
вдоль верхней полуокружности $x^{2}+y^{2} = 1$ ;
вдоль ломаной $A P B$ , где $P(0 ; 1)$ ;

(2)

от точки $\left(x_{0}-R ; y_{0}\right)$ до точки $\left(x_{0}+R ; y_{0}\right)$ вдоль:

верхней полуокружности $\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2} = R^{2}, y \geqslant y_{0}$ ;
нижней полуокружности $\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2} = R^{2}, y \leqslant y_{0}$ .

Задача 3.10.113

(1)(2)

Найти работу поля $\mathbf{F} = -\mu \mathbf{r} / r^{3}, \mathbf{r} = (x ; y), r = \left|\mathbf{r}\right|, \mu =$ const :

?

(1)

вдоль дуги $A B$ параболы $y = x^{2}-1$ , где $A\left(x_{1} ; y_{1}\right), B\left(x_{2} ; y_{2}\right)$ ;

(2)

вдоль дуги $A B$ гладкой кривой $\Gamma$ , не проходящей через начало координат, где $A\left(x_{1} ; y_{1}\right), B\left(x_{2} ; y_{2}\right)$ .

Задача 3.10.114

(1)(2)(3)

Найти работу поля $\mathbf{F} = \frac{1}{r^{2}} \cdot (-y ; x), r^{2} = x^{2}+y^{2}$ , вдоль дуги $A B$ кривой $\Gamma$ , где $A(1 ; 0), B(0 ; 1)$ , если:

?

(1)

$\Gamma$ — ломаная $A P B$ , где $P(1 ; 1)$ ;

(2)

$\Gamma$ — четверть окружности $x^{2}+y^{2} = 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ;

(3)

$\Gamma$ — четверть астроиды $x^{2 / 3}+y^{2 / 3} = 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ .

Задача 3.10.115

(1)(2)

Найти работу поля $\mathbf{F} = \frac{1}{r^{2}}(-y ; x), r^{2} = x^{2}+y^{2}$ , вдоль ориентированной против часовой стрелки окружности:

?

(1)

$x^{2}+y^{2} = 1$ ;

(2)

$(x-2)^{2}+y^{2} = 1$ .

Задача 3.10.116

(1)(2)

Найти работу поля $\mathbf{F} = \lambda \mathbf{r}, \mathbf{r} = x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}$ , вдоль дуги $O M$ кривой $\Gamma$ , где $O(0 ; 0 ; 0), M\left(x_{0} ; y_{0} ; z_{0}\right)$ , если:

?

(1)

$\Gamma$ — винтовая линия $x = a e^{t} \cos t, y = a e^{t} \sin t, z = a e^{t}$ ;

(2)

$\Gamma$ — отрезок $O M$ .

Задача 3.10.117

Найти работу поля $\mathbf{F}$ вдоль контура $\Gamma$ , если:

?

(1)

$\mathbf{F} = (y z ; z x ; x y) ; \Gamma$ — ломаная $A B C D$ с вершинами $A(1 ; 1 ; 1)$ , $B(2 ; 1 ; 1), C(2 ; 3 ; 1), D(2 ; 3 ; 4)$ ;

(2)

$\mathbf{F} = (x+z ; x ;-y) ; \Gamma$ — замкнутая ломаная $A B C A$ с вершинами $A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1)$ ;

(3)

$\mathbf{F} = (x y ; y z ; x z) ; \Gamma$ — замкнутая ломаная $A B C D A$ с вершинами $A(1 ; 1 ;-1), B(-1 ; 1 ; 1), C(-1 ;-1 ;-1), D(1 ;-1 ; 1)$ ;

(4)

$\mathbf{F} = \left(x^{2} / y ; y / x ; \cos z\right) ; \Gamma$ — виток винтовой линии $x = a \cos t$ , $y = a \sin t, z = b t$ от точки $(a ; 0 ; 0)$ до точки $(0 ; 0 ; 2 \pi b)$ ;

(5)

$\mathbf{F} = (y ;-z ; x) ; \Gamma$ — кривая $x^{2}+y^{2}+2 z^{2} = 2 a^{2}, y = x$ , ориентированная против часовой стрелки со стороны оси $O x$ ;

(6)

$\mathbf{F} = \left(2 x y ; y^{2} ;-x^{2}\right) ; \Gamma$ — дуга кривой $x^{2}+y^{2}-2 z^{2} = 2 a^{2}, y = x$ , от точки $A(a ; a ; 0)$ до точки $B(a \sqrt{2} ; a \sqrt{2} ; a)$ ;

(7)

$\mathbf{F} = (z ; x ; y) ; \Gamma$ — окружность $x^{2}+y^{2}+z^{2} = R^{2}, x+y+z = R$ , ориентированная против часовой стрелки со стороны оси $O z$ .

Задача 3.10.118

Найти работу поля центральных сил $\mathbf{F} = f(r) \mathbf{r}$ , где $\mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j}+z \mathbf{k}, r = \left|\mathbf{r}\right|, f(r)$ — непрерывная при $r > 0$ функция, вдоль гладкого контура $\Gamma$ с началом $A\left(x_{1} ; y_{1} ; z_{1}\right)$ и концом $B\left(x_{2} ; y_{2} ; z_{2}\right)$ , не содержащего начала координат.

?

Задача 3.10.119

Доказать, исходя из закона взаимодействия точечных масс, что материальная кривая $\Gamma$ с линейной плотностью $\rho (\xi ; \eta ; \zeta )$ притягивает массу $m$ , находящуюся в точке $M(x ; y ; z)$ , с силой

\mathbf{F} = k m \int _{\Gamma } \frac{\overline{M N}}{|\overline{M N}|^{3}} \rho (\xi ; \eta ; \zeta ) d x, \quad N = N(\xi ; \eta ; \zeta )

?

Задача 3.10.120

Найти напряженность гравитационного поля, создаваемого однородной материальной прямой с линейной плотностью $\rho_{0}$ .

?

Задача 3.10.121

С какой силой масса $M$ , равномерно распределенная вдоль окружности $x^{2}+y^{2} = a^{2}, z = h > 0$ , притягивает точечную массу $m$ , помещенную в начало координат.

?

Задача 3.10.122

(1)(2)(3)(4)

Пусть $(p ; v)$ — координаты, определяющие на плоскости $O p v$ состояние одного моля идеального газа (давление и объем). Уравнение состояния одного моля такого газа имеет вид $p v = R T$ , где $R =$ const $> 0, T$ — абсолютная температура. При переходе из состояния $\left(p_{1} ; v_{1}\right)$ в состояние $\left(p_{2} ; v_{2}\right)$ по кривой $\Gamma$ количество получаемого (или отдаваемого) тепла газом определяют по формуле

Q = \int _{\Gamma } \frac{c_{p}}{R} p d v+\frac{c_{v}}{R} v d p

где $c_{v} = \mathrm{const}, c_{p} = c_{v}+R$ . Кривую, задаваемую уравнением $p v^{\gamma } =$ const, где $\gamma = c_{p} / c_{v}$ , называют адиабатой (а процесс изменения состояния вдоль этой кривой — адиабатическим).

?

(1)

Найти тепло, получаемое газом в изотермическом процессе, т. е. вдоль кривой $p v = R T =$ const, при переходе из состояния $\left(p_{1} ; v_{1}\right)$ в состояние $\left(p_{2} ; v_{2}\right)$ .

(2)

Доказать, что в адиабатическом процессе газ не получает и не отдает тепло.

(3)

Пусть $p v^{\gamma } = C_{1}, p v^{\gamma } = C_{2}$ — две адиабаты, $\Gamma (T)$ — отсекаемый ими отрезок изотермы $p v = R T, Q(T)$ — количество тепла, получаемое газом на $\Gamma (T)$ . Доказать, что для всех изотерм $\frac{Q(T)}{T} =$ const.

(4)

Циклом Карно называют замкнутый контур, образованный двумя адиабатами и двумя изотермами $p v = R T_{1}$ и $p v = R T_{2}, T_{2} > T_{1}$ . Пусть этот контур ориентирован от точки с наибольшим давлением вдоль изотермы $p v = R T_{2}$ . Пусть $Q$ — полное тепло, полученное газом на цикле Карно, а $Q_{2}$ — на изотерме $p v = R T_{2}$ . Доказать, что к. п. д. цикла $\eta = Q / Q_{2}$ определяется по формуле $\eta = \left(T_{2}-T_{1}\right) / T_{2}$ .

Задача 3.10.123

(1)(2)

В установившемся стационарном потоке жидкости плотность и скорость в каждой точке потока не зависят от времени, т. е. $\rho = \rho (x ; y), \mathbf{v} = (u(x ; y) ; v(x ; y))$ .

?

(1)

Найти количество жидкости, прошедшей за единицу времени через ограниченную область $G$ с кусочно гладкой границей $\partial G$ ;

(2)

получить уравнение для $u$ и $v$ , предполагая, что в области $G$ жидкость не возникает и не исчезает (т. е. нет ни источников, ни стоков) и что жидкость несжимаема.

Задача 3.10.124

(1)(2)(3)

Найти логарифмический потенциал простого слоя

u(x ; y) = \oint _{\Gamma } \mu (\xi ; \eta ) \ln \left(\frac{1}{r}\right) d s

где $\Gamma$ — окружность $\xi^{2}+\eta^{2} = 1$ , ориентированная против часовой стрелки, $r = \sqrt{(\xi -x)^{2}+(\eta -y)^{2}}$ , если:

?

(1)

$\mu (\xi ; \eta ) = \mu_{0} = \mathrm{const}$ ;

(2)

$\mu (\xi ; \eta ) = \cos m \varphi , m \in N$ ;

(3)

$\mu (\xi ; \eta ) = \sin m \varphi , m \in N$ .

Здесь $\varphi$ — полярный угол точки $(\xi ; \eta )$ .

Задача 3.10.125

(1)(2)

Вычислить интеграл Гаусса

I = \oint _{\partial G} \frac{\cos (\widehat{\mathbf{r}, \mathbf{n}})}{r} d s

где $\partial G$ — кусочно гладкая граница области $G, \mathbf{r} = \overline{M N}, M(x ; y) \in R^{2}$ , $N(\xi ; \eta ) \in \partial G, r = \sqrt{(\xi -x)^{2}+(\eta -y)^{2}}, \mathbf{n}$ — внешняя нормаль к $\partial G$ , $(\widehat{\mathbf{r}, \mathbf{n}})$ — угол между $\mathbf{r}$ и $\mathbf{n}$ , предполагая, что:

?

(1)

$M \notin G$ ;

(2)

$M \in G$ .

Задача 3.10.126

(1)(2)

Вычислить логарифмический потенциал двойного слоя

u(x ; y) = \oint _{\Gamma } \nu (\xi ; \eta ) \frac{\cos (\widehat{\mathbf{r}, \mathbf{n}})}{r} d s

где $\Gamma$ — окружность $\xi^{2}+\eta^{2} = 1$ , ориентированная против часовой стрелки, $\mathbf{r} = (\xi -x ; \eta -y), \quad r = \sqrt{(\xi -x)^{2}+(\eta -y)^{2}}, \mathbf{n}$ — внешняя нормаль к $Г$ , если:

?

(1)

$\nu (\xi ; \eta ) = \cos m \varphi , m \in N$ ;

(2)

$\nu (\xi ; \eta ) = \sin m \varphi , m \in N$ .

Здесь $\varphi$ — полярный угол точки $(\xi ; \eta )$ . Рассмотреть случаи $\sqrt{x^{2}+y^{2}} > 1$ и $\sqrt{x^{2}+y^{2}} < 1$ .

Криволинейные интегралы