Банк задач по математике

Задача 3.12.1

Найти поверхность уровня поля $u = x^{2}-y^{2}+z^{2}$ , содержащую точку: а) $(1 ; 1 ; 1)$ ; б) $(1 ; 2 ; 1)$ .

?

Задача 3.12.2

Написать уравнение нормали в точке $(2 ; 2 ;-2)$ к поверхности уровня поля $u = \arccos \left(z / \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ , проходящей через эту точку.

?

Задача 3.12.3

(1)(2)

Пусть $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ — постоянные векторы, $\mathbf{a} \neq \mathbf{0}, \mathbf{b} \neq \mathbf{0}, \mathbf{r} = (x ; y ; z)$ .

Найти поверхность уровня поля:

?

(1)

$u = \frac{(\mathbf{a}, \mathbf{r})}{(\mathbf{b}, \mathbf{r})}$ ;

(2)

$u = e^{(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{r})}$ .

Задача 3.12.4

Найти поверхности уровня поля $u = \sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}+z^{2}} + \sqrt{\left((x-1)^{2}+y^{2}+z^{3}\right.}$ и $\max u$ на сфере $x^{2}+y^{2}+z^{2} = R^{2}$ .

?

Задача 3.12.5

Найти поверхности уровня поля $u = z / \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ и $\max u$ , $\min u$ в шаре $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-\sqrt{2})^{2} \leqslant 1$ .

?

Задача 3.12.6

(1)(2)(3)(4)

Найти $\operatorname {grad} u\left(M_{0}\right)$ , если:

?

(1)

$u = x y+y z+z x ; M_{0}(1 ; 1 ; 1)$

(2)

$u = \ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ; M_{0}(1 ; 1 ;-1)$ ;

(3)

$u = 9(x+y+z) / \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} ; \quad M_{0}(1 ;-2 ;-2)$ ;

(4)

$u = z e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}} ; M_{0}(0 ; 0 ; 0)$ .

Задача 3.12.7

В каких точках $\operatorname {grad}\left(x+y^{2}+18 z^{3}-3 x y z\right)$ :

перпендикулярен оси $O z$ ;
параллелен оси $O z$ ;
равен нулю?

?

Задача 3.12.8

(1)(2)(3)(4)

Найти угол между $\operatorname {grad} u\left(M_{1}\right) \operatorname {arctg}(x /(y+x))$ и $\operatorname {grad} u\left(M_{2}\right)$ , если:

?

(1)

$u = (x+y) e^{x+y} ; M_{1}(0 ; 0), M_{2}(1 ; 1)$

(2)

$u = \operatorname {arctg}(x /(y+z)) ; M_{1}(1 ; 1 ; 0), M_{2}(-1 ; 0 ; 1)$ ;

(3)

$u = x /\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) ; M_{1}(1 ; 2 ; 2), M_{2}(-3 ; 1 ; 0)$ ;

(4)

$u = z / \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} ; M_{1}(3 ; \sqrt{3} ;-2), M_{2}(\sqrt{3} ; 1 ; 2 \sqrt{3})$ .

Задача 3.12.9

На поверхности уровня поля $u = x /\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ , проходящей через точку $(1 ; 1 ; 1)$ , найти наименьшее значение $\left|\operatorname {grad} u\right|$ .

?

Задача 3.12.10

Найти $\inf \left|\operatorname {grad} u\right|$ и $\sup \left|\operatorname {grad} u\right|$ в области $1 < z < 2$ , если $u = z / \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ .

?

Задача 3.12.11

Пусть $u$ и $v$ — дифференцируемые поля, $\alpha$ и $\beta$ — числа. Доказать, что:

?

(1)

$\operatorname {grad}(u+v) = \operatorname {grad} u+\operatorname {grad} v$ ;

(2)

$\operatorname {grad}(\alpha u) = \alpha \operatorname {grad} u$ ;

(3)

$\operatorname {grad}(\alpha u+\beta v) = \alpha \operatorname {grad} u+\beta \operatorname {grad} v$ ;

(4)

$\operatorname {grad}(u v) = v \operatorname {grad} u+u \operatorname {grad} v$ ;

(5)

$\operatorname {grad}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \operatorname {grad} u-u \operatorname {grad} v}{v^{2}}, v \neq 0$ .

Задача 3.12.12

Указать в $R^{3}$ такие дифференцируемые поля $u$ и $v$ , что векторы $\nabla u$ и $\nabla v$ не коллинеарны ни в одной точке (для обычного вектора $\mathbf{p}$ векторы $\mathbf{p} u$ и $\mathbf{p} v$ обязательно коллинеарны).

?

Задача 3.12.13

Пусть $u$ — дифференцируемое поле, $f(t)$ — дифференцируемая функция, $t \in R$ . Доказать, что

\operatorname {grad} f(u) = f^{\prime }(u) \operatorname {grad} u

?

Задача 3.12.14

Пусть $u$ и $v$ — дифференцируемые поля, $f(t ; s)$ — дифференцируемая функция, $(t ; s) \in R^{2}$ . Доказать, что

\operatorname {grad} f(u ; v) = \frac{\partial f}{\partial t}(u ; v) \operatorname {grad} u+\frac{\partial f}{\partial s}(u ; v) \operatorname {grad} v

?

Задача 3.12.15

Пусть $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ — постоянные векторы, $\mathbf{r} = \mathbf{i} x+\mathbf{j} y+\mathbf{k} z, r = \left|\mathbf{r}\right|$ .

Найти $\operatorname {grad} u$ , если:

?

(1)

$u = r$ ;

(2)

$u = \mathbf{r}^{2}$ ;

(3)

$u = 1 / r$ ;

(4)

$u = \ln r$ ;

(5)

$u = (\mathbf{a}, \mathbf{r})$ ;

(6)

$u = (\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{r})$ ;

(7)

$u = (\mathbf{a}, \mathbf{r})(\mathbf{b}, \mathbf{r})$ ;

(8)

$u = |[\mathbf{a}, \mathbf{r}]|^{2}$ .

Задача 3.12.16

Доказать, что $\operatorname {grad} u(M)$ перпендикулярен поверхности уровня поля $u$ , проходящей через точку $M$ .

?

Задача 3.12.17

(1)(2)

Пусть $u$ — непрерывно дифференцируемое поле, $u_{0} = u\left(M_{0}\right)$ , $\nabla u\left(M_{0}\right) \neq 0 ; l_{0}$ — нормаль в точке $M_{0}$ к поверхности уровня $u = u_{0}$ .

?

(1)

Доказать, что существуют такие окрестность точки $M_{0}$ и число $\varepsilon_{0} > 0$ , что при всех $\varepsilon ,\left|\varepsilon \right| < \varepsilon_{0}$ , в этой окрестности есть только одна точка пересечения $M = M(\varepsilon )$ нормали $l_{0}$ с поверхностью уровня $u = u_{0}+\varepsilon$

(2)

найти длину отрезка $M M_{0}$ с точностью до $o(\varepsilon )$ при $\varepsilon \rightarrow 0$ .

Задача 3.12.18

Пусть $\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}_{2}$ — радиус-векторы двух фиксированных точек, $\mathbf{r} = \mathbf{i} x+\mathbf{j} y+\mathbf{k} z$ ,

\begin{gathered} \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{j}\right| = \sqrt{\left(x-x_{j}\right)^{2}+\left(y-y_{j}\right)^{2}+\left(z+z_{j}\right)^{2}}, \quad j = 1,2 \\ u = \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}\right|+\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}\right|.\end{gathered}

Доказать, что $\operatorname {grad} u$ в точке с радиус-вектором $\mathbf{r}$ составляет равные углы с векторами $\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}$ . Объяснить, используя это, оптическое свойство эллипсоида.

?

Задача 3.12.19

Пусть функция $f(r)$ дифференцируема, $\mathbf{r} = \mathbf{i} x+\mathbf{j} y+\mathbf{k} z, r = \left|\mathbf{r}\right|$ .

Доказать, что $\nabla f(r) = f^{\prime }(r) \frac{\mathbf{r}}{r}$ .

?

Задача 3.12.20

(1)(2)

Пусть вектор-функции $\mathbf{a}(r)$ и $\mathbf{b}(r)$ дифференцируемы, $\mathbf{r} = \mathbf{i} x+\mathbf{j} y+\mathbf{k} z, r = \left|\mathbf{r}\right|$ . Доказать, что:

?

(1)

$\nabla (\mathbf{a}(r), \mathbf{r}) = \mathbf{a}(r)+\left(\mathbf{a}^{\prime }(r), \mathbf{r}\right) \frac{\mathbf{r}}{r}$

(2)

$\nabla (\mathbf{a}(r), \mathbf{b}(r)) = \left(\left(\mathbf{a}^{\prime }, \mathbf{b}\right)+\left(\mathbf{a}, \mathbf{b}^{\prime }\right)\right) \frac{\mathbf{r}}{r}$ .

Задача 3.12.21

(1)(2)

Выразить $\operatorname {grad} u$ :

?

(1)

в цилиндрических координатах $r, \varphi , z$ ;

(2)

в сферических координатах $r, \varphi , \psi$ , используя соответствующие орты $\mathbf{e}_{r}, \mathbf{e}_{\varphi }, \mathbf{e}_{z}$ и $\mathbf{e}_{r}, \mathbf{e}_{\varphi }, \mathbf{e}_{\psi }$ , касательные к координатным линиям.

Задача 3.12.22

Проверить, что вектор $\operatorname {grad} u$ не зависит от выбора декартовой системы координат.

?

Задача 3.12.23

Доказать, что для дважды дифференцируемых полей $u$ и $v$

\Delta (u v) \equiv \nabla ^{2}(u v) = v \nabla ^{2} u+2(\nabla u, \nabla v)+u \nabla ^{2} v

?

Задача 3.12.24

(1)(2)(3)(4)

Найти производную поля $u$ по направлению единичного вектора $\mathbf{n} = (\cos \alpha ; \cos \beta ; \cos \gamma )$ , если $r = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \mathbf{r} = (x ; y ; z)$ :

?

(1)

$u = r$ ;

(2)

$u = 1 / r$ ;

(3)

$u = (\mathbf{a}, \mathbf{r}), \mathbf{a} = \mathrm{const}$ ;

(4)

$u = f(r)$ .

Задача 3.12.25

Найти производную поля $u = x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z^{2} / c^{2}$ в точке $M(x ; y ; z)$ по направлению радиус-вектора этой точки.

?

Задача 3.12.26

Пусть $u$ и $v$ — дифференцируемые поля. Найти производную поля $u$ по направлению вектора $\operatorname {grad} v$ .

?

Задача 3.12.27

По какой кривой следует двигаться из точки $M_{0}\left(x_{0} ; y_{0} ; z_{0}\right)$ , чтобы поле $u = x^{2} / 2+y^{2}-z^{2}$ имело наибыстрейшее убывание, если: а) $M_{0}(1 ; 1 ; 0)$ ; б) $M_{0}(1 ; 1 ; 1)$ ?

?

Задача 3.12.28

(1)(2)(3)(4)

Найти линии наибыстрейшего изменения плоских полей:

?

(1)

$u = x^{2}-y^{2}$ ;

(2)

$u = x y$ ;

(3)

$u = x^{2} / 2+y^{2}$ ;

(4)

$u = y^{2} / x$ .

Задача 3.12.29

(1)(2)(3)

Найти линии наибыстрейшего изменения трехмерных полей:

?

(1)

$u = x^{2}+2 y^{2}+z^{2}$ ;

(2)

$u = x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ;

(3)

$u = x y z$ .

Задача 3.12.30

Пусть в звездной[^fn1] относительно точки $A$ области $\Omega$ задано гладкое поле $u$ и $\left|\nabla u\right| \leqslant c$ . Доказать, что для любой точки $B \subset \Omega$

|u(B)-u(A)| \leqslant c|B-A|,

где $\left|B-A\right|$ — расстояние между $A$ и $B$ . Для выпуклой области доказать справедливость этого неравенства для любых $A$ и $B$ из $\Omega$ .

?

Задача 3.12.31

Найти векторные линии поля а.

?

(1)

$\mathbf{a} = x \mathbf{i}+z \mathbf{k}$ ;

(2)

$\mathbf{a} = z \mathbf{j}-y \mathbf{k}$ ;

(3)

$\mathbf{a} = 2 x \mathbf{i}+y \mathbf{j}$

(4)

$\mathbf{a} = x \mathbf{i}-y \mathbf{j}$ ;

(5)

$\mathbf{a} = x^{3} \mathbf{i}+y^{2} \mathbf{j}$ .

Задача 3.12.32

Найти векторные линии поля а.

?

(1)

$\mathbf{a} = \mathbf{r} = \mathbf{i} x+\mathbf{j} y+\mathbf{k} z$ ;

(2)

$\mathbf{a} = a_{1} \mathbf{i}+a_{2} \mathbf{j}+a_{3} \mathbf{k} =$ const;

(3)

$\mathbf{a} = f(r) \mathbf{r}, \mathbf{r} = \mathbf{i} x+\mathbf{j} y+\mathbf{k} z, r = \left|\mathbf{r}\right|$ ;

(4)

$\mathbf{a} = [\mathbf{c}, \mathbf{r}], \mathbf{c} =$ const, $\mathbf{r} = \mathbf{i} x+\mathbf{j} y+\mathbf{k} z$

(5)

$\mathbf{a} = (\mathbf{b}, \mathbf{r}) \mathbf{c}, \mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$ — постоянные векторы, $\mathbf{r} = \mathbf{i} x+\mathbf{j} y+\mathbf{k} z$ ;

(6)

$\mathbf{a} = (z-y) \mathbf{i}+(x-z) \mathbf{j}+(y-x) \mathbf{k}$ ;

(7)

$\mathbf{a} = x \mathbf{i}+2 y \mathbf{j}+z \mathbf{k}$ .

Задача 3.12.33

(1)(2)(3)

Найти векторную линию поля $\mathbf{a}$ , проходящую через точку $M$ , если:

?

(1)

$\mathbf{a} = -y \mathbf{i}+x \mathbf{j}+c \mathbf{k}, c =$ const, $M(1 ; 0 ; 0)$ ;

(2)

$\mathbf{a} = x^{2} \mathbf{i}-y^{3} \mathbf{j}+z^{2} \mathbf{k} ; M(1 / 2 ;-1 / 2 ; 1)$

(3)

$\mathbf{a} = x z \mathbf{i}+y z \mathbf{j}+\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathbf{k} ; M(1 ; 1 ; 0)$ .

Задача 3.12.34

Найти векторные линии напряженности магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника постоянного тока.

?

Задача 3.12.35

Для поля $\mathbf{a} = \mathbf{r}$ найти уравнение векторной трубки, содержащей окружность $z = 1, x^{2}+y^{2} = 4$ .

?

Задача 3.12.36

Для поля $\mathbf{a} = \mathbf{j} / z-\mathbf{k} / y$ найти векторную трубку, содержащую кривую $y = z, x^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2} = 1$ .

?

Задача 3.12.37

(1)(2)

Проверить указанные равенства в координатной форме, а также записать их и проверить, используя символ $\nabla$ и правила действия с ним ( $\alpha , \beta$ — числа, $u, \mathbf{a}, \mathbf{b}$ — дифференцируемые скалярное и векторные поля):

?

(1)

$\operatorname {div}(\alpha \mathbf{a}+\beta \mathbf{b}) = \alpha \operatorname {div} \mathbf{a}+\beta \operatorname {div} \mathbf{b}$

(2)

$\operatorname {div}(u \mathbf{a}) = (\operatorname {grad} u, \mathbf{a})+u \operatorname {div} \mathbf{a}$ .

Задача 3.12.38

Полагая $\mathbf{r} = x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}, r = \left|\mathbf{r}\right|$ , найти $\operatorname {div} \mathbf{a}$ , если:

?

(1)

$\mathbf{a} = \mathbf{r}$ ;

(2)

$\mathbf{a} = r \mathbf{r}$ ;

(3)

$\mathbf{a} = \mathbf{r} / r$ ;

(4)

$\mathbf{a} = (-x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}) / \sqrt{x^{2}+y^{2}} ;$

(5)

$\mathbf{a} = \left(6 x^{2} y^{2}-z^{3}+y z-5\right) \mathbf{i}+\left(4 x^{3}+x z+2\right) \mathbf{j}+\left(x y-3 x z^{2}-3\right) \mathbf{k}$ .

Задача 3.12.39

Выразить в координатной форме $\operatorname {div} \operatorname {grad} u$ .

?

Задача 3.12.40

(1)(2)

Найти:

?

(1)

$\operatorname {div}(u \operatorname {grad} u)$ ;

(2)

$\operatorname {div}(u \operatorname {grad} v)$ .

Задача 3.12.41

Найти $(\mathbf{r} = x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}), r = \left|\mathbf{r}\right|)$ :

?

(1)

div $\operatorname {grad} r^{2}$ ;

(2)

$\operatorname {div} \operatorname {grad}(1 / r)$ ;

(3)

div $r \mathbf{c}, \mathbf{c} =$ const;

(4)

$\operatorname {div}(f(r) \mathbf{r})$ ;

(5)

div $\operatorname {grad} f(r)$ ;

(6)

$\operatorname {div}(f(r) \mathbf{c}), \mathbf{c} =$ const;

(7)

$\operatorname {div}[\mathbf{c}, \mathbf{r}], \mathbf{c} =$ const;

(8)

$\operatorname {div}[\mathbf{r},[\mathbf{c}, \mathbf{r}]], \mathbf{c} =$ const.

Задача 3.12.42

(1)(2)(3)

Решить уравнение $(\mathbf{r} = x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}, r = \left|\mathbf{r}\right|)$ :

?

(1)

$\operatorname {div}(u(r) \mathbf{r}) = 0$ ;

(2)

$\operatorname {div} \operatorname {grad} u(r) = 0$ ;

(3)

$\operatorname {div}(u(r) \mathbf{r}) = \lambda u(r), \lambda \neq 3$ .

Задача 3.12.43

Найти дивергенцию гравитационного поля нескольких точечных масс.

?

Задача 3.12.44

Среда вращается как твердое тело вокруг оси с постоянной угловой скоростью $\omega$ . Найти в фиксированный момент времени дивергенцию поля линейных скоростей $\mathbf{v}$ и поля ускорений $\mathbf{w}$ точек среды.

?

Задача 3.12.45

Доказать, что diva не зависит от выбора декартовой системы координат.

?

Задача 3.12.46

Найти $\operatorname {div}$ а плоского поля а в полярных координатах.

?

Задача 3.12.47

(1)(2)

Найти diva трехмерного поля:

?

(1)

в цилиндрических координатах;

(2)

в сферических координатах.

Задача 3.12.48

(1)(2)

Найти $\left(r = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)$ :

?

(1)

$\operatorname {div} \mathbf{a}(r)$ ;

(2)

$\operatorname {div}(u(r) \mathbf{a}(r))$ .

Задача 3.12.49

Проверить указанные равенства в координатной форме, а также записать и проверить их, используя символ $\nabla$ и правила действия с ним ( $\alpha , \beta$ — числа, $u, \mathbf{a}, \mathbf{b}$ — дифференцируемые скалярное и векторные поля, с — постоянный вектор):

?

(1)

$\operatorname {rot}(\alpha \mathbf{a}+\beta \mathbf{b}) = \alpha \operatorname {rot} \mathbf{a}+\beta \operatorname {rot} \mathbf{b}$ ;

(2)

$\operatorname {rot}(u \mathbf{c}) = [\operatorname {grad} u, \mathbf{c}]$ ;

(3)

$\operatorname {rot}(u \mathbf{a}) = u \operatorname {rot} \mathbf{a}+[\operatorname {grad} u, \mathbf{a}]$ ;

(4)

$\operatorname {rot}[\mathbf{c}, \mathbf{a}] = \mathbf{c} \operatorname {div} \mathbf{a}-(\mathbf{c}, \nabla ) \mathbf{a}$ ;

(5)

$\operatorname {rot}[\mathbf{a}, \mathbf{b}] = \mathbf{a} \operatorname {div} \mathbf{b}-\mathbf{b} \operatorname {div} \mathbf{a}+(\mathbf{b}, \nabla ) \mathbf{a}-(\mathbf{a}, \nabla ) \mathbf{b}$ ;

(6)

$\operatorname {div}[\mathbf{a}, \mathbf{b}] = (\mathbf{b}, \operatorname {rot} \mathbf{a})-(\mathbf{a}, \operatorname {rot} \mathbf{b})$ .

Задача 3.12.50

Найти $(\mathbf{r} = x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}, r = \left|\mathbf{r}\right|$ , $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ — постоянные векторы, $u(r)$ — дифференцируемое поле):

?

(1)

$\operatorname {rot} \mathbf{r}$ ;

(2)

$\operatorname {rot}(r \mathbf{a})$ ;

(3)

$\operatorname {rot}((\mathbf{r}, \mathbf{a}) \mathbf{b})$ ;

(4)

$\operatorname {rot}(u(r) \mathbf{a})$ ;

(5)

$\operatorname {rot}(u(r) \mathbf{r})$ .

Задача 3.12.51

(1)(2)

Вычислить $\operatorname {rot} \mathbf{a}$ в точке $M_{0}$ , если:

?

(1)

$\mathbf{a} = x y z \mathbf{i}+(2 x+3 y-z) \mathbf{j}+\left(x^{2}+z^{2}\right) \mathbf{k} ; M_{0}(1 ; 3 ; 2)$ ;

(2)

$\mathbf{a} = \frac{y}{z} \mathbf{i}+\frac{z}{x} \mathbf{j}+\frac{x}{y} \mathbf{k} ; M_{0}(1 ; 2 ;-2)$ .

Задача 3.12.52

Для любого вектора $\mathbf{p}$ векторы $[\mathbf{p}, \mathbf{a}]$ и а перпендикулярны (если они не нулевые). Верно ли это для векторов $[\nabla , \mathbf{a}]$ и $\mathbf{a}$ ?

?

Задача 3.12.53

(1)(2)

Найти угол между $\operatorname {rot} \mathbf{a}\left(M_{1}\right)$ и $\operatorname {rot} \mathbf{a}\left(M_{2}\right)$ , если:

?

(1)

$\mathbf{a} = \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathbf{i}+\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathbf{j}+\left(z^{2}+x^{2}\right) \mathbf{k} M_{1}(1 ; 2 ; 3), M_{2}(1 ; 1 ;-1)$

(2)

$\mathbf{a} = z^{3} \mathbf{i}+\left(x^{3}+y^{3}\right) \mathbf{j}+x y z \mathbf{k} ; M_{1}(1 ; 2 ; 0), M_{2}(1 ; 12 ; 4)$ .

Задача 3.12.54

(1)(2)

Найти:

?

(1)

$\operatorname {rot}[\mathbf{c}, \mathbf{r}], \mathbf{c} =$ const;

(2)

$\operatorname {rot}[\mathbf{r},[\mathbf{c}, \mathbf{r}]]$ , $\mathbf{c} =$ const.

Задача 3.12.55

(1)(2)

Проверить в координатной форме:

?

(1)

формулу (14);

(2)

формулу (15).

Задача 3.12.56

Равенство $\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf{a} = \operatorname {grad} \operatorname {div} \mathbf{a}-\Delta \mathbf{a}$ проверить в координатной форме, а также записать и получить его, используя символ $\nabla$ и правила действия с ним.

?

Задача 3.12.57

Найти $\operatorname {rot} \operatorname {grad}(1 / r)$ .

?

Задача 3.12.58

(1)(2)(3)

Получить формулы:

?

(1)

$\nabla (\nabla , u \mathbf{c}) = (\mathbf{c}, \nabla ) \nabla u, \mathbf{c} =$ const;

(2)

$\nabla (\nabla , u \mathbf{a}) = u \nabla (\nabla , \mathbf{a})+(\nabla , \mathbf{a}) \nabla u+[\nabla u,[\nabla , \mathbf{a}]]+(\nabla u, \nabla ) \mathbf{a} + (\mathbf{a}, \nabla ) \nabla u$

(3)

$[\nabla ,[\nabla u, \mathbf{c}]] = (\mathbf{c}, \nabla ) \nabla u-\mathbf{c} \Delta u$ .

Задача 3.12.59

(1)(2)

Показать, что:

?

(1)

$\operatorname {div}[\nabla u, \nabla v] = 0$

(2)

векторы $\mathbf{a} = u \operatorname {grad} v$ и $\operatorname {rot} \mathbf{a}$ перпендикулярны.

Задача 3.12.60

Найти компоненты $\operatorname {rot} \mathbf{a}$ плоского поля а в полярных координатах.

?

Задача 3.12.61

(1)(2)

Найти компоненты $\operatorname {rot} \mathbf{a}$ трехмерного поля а:

?

(1)

в цилиндрических координатах;

(2)

в сферических координатах.

Задача 3.12.62

Найти $\operatorname {rot}(u(r) \mathbf{a}(r)), r = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ .

?

Задача 3.12.63

(1)(2)

Записать $\Delta u = \operatorname {div} \operatorname {grad} u$ :

?

(1)

в цилиндрических координатах;

(2)

в сферических координатах.

Задача 3.12.64

Среда вращается как твердое тело вокруг оси с постоянной угловой скоростью $\omega$ . Пусть $\mathbf{v}$ — поле линейных скоростей точек в фиксированный момент времени. Найти $\operatorname {rot} \mathbf{v}$ (воспользоваться цилиндрическими координатами).

?

Задача 3.12.65

В простейшем случае система уравнений Максвелла электромагнитного поля имеет вид

\frac{\varepsilon }{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = [\nabla , \mathbf{H}], \quad -\frac{\mu }{c} \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} = [\nabla , \mathbf{E}], \quad (\nabla , \mathbf{E}) = 0, \quad (\nabla , \mathbf{H}) = 0.

Здесь $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$ — векторные поля электрической и магнитной напряженности, $\varepsilon , \mu , c =$ const $> 0$ . Полагая все функции достаточно гладкими, доказать, что $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$ удовлетворяют волновому уравнению

\frac{\partial ^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}} = \frac{c^{2}}{\varepsilon \mu } \Delta \mathbf{E}, \quad \frac{\partial ^{2} \mathbf{H}}{\partial t^{2}} = \frac{c^{2}}{\varepsilon \mu } \Delta \mathbf{H}

?

Задача 3.12.66

(1)(2)(3)

Пусть в области $\Omega$ введена ортогональная система криволинейных координат $(\xi ; \eta ; \zeta )$ :

x = x(\xi ; \eta ; \zeta ), \quad y = y(\xi ; \eta ; \zeta ), \quad z = z(\xi ; \eta ; \zeta )

где правые части — непрерывно дифференцируемые функции. Пусть $\mathbf{e}_{\xi }, \mathbf{e}_{\eta }, \mathbf{e}_{\zeta }$ — единичные орты этой системы (векторы, касательные к координатным линиям и направленные по возрастанию координат, $\left.\left.\mathbf{e}_{\xi } \perp \mathbf{e}_{\eta }, \mathbf{e}_{\eta } \perp \mathbf{e}_{\zeta }, \mathbf{e}_{\zeta } \perp \mathbf{e}_{\xi }\right)^{*}\right)$ . Пусть $H_{\xi }, H_{\eta }, H_{\zeta }$ — коэффициенты Ламэ, т. е. $H_{\xi } = \sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial \xi }\right)^{2}+\left(\frac{\partial y}{\partial \xi }\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial \xi }\right)^{2}}$ и т. д. Доказать, что:

?

(1)

$\operatorname {grad} u = \frac{1}{H_{\xi }} \frac{\partial u}{\partial \xi } \mathbf{e}_{\xi }+\frac{1}{H_{\eta }} \frac{\partial u}{\partial \eta } \mathbf{e}_{\eta }+\frac{1}{H_{\zeta }} \frac{\partial u}{\partial \zeta } \mathbf{e}_{\zeta }$ ;

(2)

$\operatorname {div} \mathbf{a} = \frac{1}{H_{\xi } H_{\eta } H_{\zeta }}\left(\begin{array}{c}\partial \left(H_{\eta } H_{\zeta } a_{\xi }\right) \\ \partial \xi \end{array}+\begin{array}{c}\partial \left(H_{\zeta } H_{\xi } a_{\eta }\right) \\ \partial \eta \end{array}+\begin{array}{c}\partial \left(H_{\xi } H_{\eta } a_{\zeta }\right) \\ \partial \zeta \end{array}\right)$ ;

(3)

$\operatorname {rot} \mathbf{a} = \frac{1}{H_{\xi } H_{\eta } H_{\zeta }} \begin{array}{ccc}H_{\xi } \mathbf{e}_{\xi } & H_{\eta } \mathbf{e}_{\eta } & H_{\zeta } \mathbf{e}_{\zeta } \\ \frac{\partial }{\partial \xi } & \frac{\partial }{\partial \eta } & \frac{\partial }{\partial \zeta } \\ H_{\xi } a_{\xi } & H_{\eta } a_{\eta } & H_{\zeta } a_{\zeta }\end{array}$

Задача 3.12.67

(1)(2)

Пользуясь формулами (39)-(41), получить выражения для $\operatorname {grad} u, \operatorname {div} \mathbf{a}, \operatorname {rot} \mathbf{a}$ :

?

(1)

в цилиндрических координатах;

(2)

в сферических координатах.

Задача 3.12.68

Найти поток поля а через ориентированную нормалью $\mathbf{n}$ поверхность $S(\mathbf{r} = x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}, r = \left|\mathbf{r}\right|)$ .

?

(1)

$\mathbf{a} = a_{x} \mathbf{i}+a_{y} \mathbf{j}+a_{z} \mathbf{k}$ , где $a_{x}, a_{y}, a_{z} = \mathrm{const}, S-\kappa р у г$ радиуса $R$ , лежащий в плоскости $(\mathbf{r}, \mathbf{n}) = d$ ;

(2)

$\mathbf{a} = \mathbf{r}, S$ — внешняя сторона конуса $\sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant h$ ;

(3)

$\mathbf{a} = \mathbf{r}, S$ — внешняя сторона поверхности цилиндра $x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}, 0 \leqslant z \leqslant h$

(4)

$\mathbf{a} = \mathbf{r} / r^{3}, S$ — внешняя сторона сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2} = R^{2}$ ;

(5)

$\mathbf{a} = f(r) \mathbf{r}, S$ — внешняя сторона сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2} = R^{2}$ .

Задача 3.12.69

Найти поток поля а через ориентированную нормалью $\mathbf{n}$ поверхность $S(\mathbf{r} = x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}, r = \left|\mathbf{r}\right|)$ .

?

(1)

$\mathbf{a} = (x-2 z ; x+3 y+z ; 5 x+y) ; S$ — противоположная началу координат сторона плоского треугольника с вершинами $(1 ; 0 ; 0)$ , $(0 ; 1 ; 0),(0 ; 0 ; 1)$ ;

(2)

$\mathbf{a} = \left(x^{2} ; y^{2} ; z^{2}\right) ; S$ — внешняя сторона полной поверхности пирамиды, ограниченной плоскостями $x+y+z = 1, x = 0, y = 0, z = 0$ ;

(3)

$\mathbf{a} = \left(y^{2} ; x^{2} ; z^{2}\right) ; S$ — часть внешней стороны цилиндра $x^{2}+y^{2} = a^{2}$ , расположенная в первом октанте между плоскостями $z = 0$ и $z = a, a > 0$

(4)

$\mathbf{a} = \left(0 ; y^{2} ; z\right) ; S$ — ограниченная часть внешней стороны параболоида $z = x^{2}+y^{2}$ , отсеченная плоскостью $z = 2$ ;

(5)

$\mathbf{a} = \left(x ; y ; \sqrt{x^{2}+y^{2}-1}\right) ; S$ — часть внешней стороны гиперболоида $x^{2}+y^{2}-z^{2} = 1$ , заключенная между плоскостями $z = 0$ и $z = \sqrt{3}$

(6)

$\mathbf{a} = (y ; z ; x)$ ; $S$ — часть внутренней стороны цилиндра $x^{2}+y^{2} = R^{2}$ ; расположенная в области $x > \left|z\right|$ ;

(7)

$\mathbf{a} = (3 x ;-y ;-z) ; S$ — часть внешней стороны параболоида $x^{2}+y^{2} = 9-z$ , расположенная в первом октанте;

(8)

$\mathbf{a} = (x y ; y z ; z x) ; S$ — часть внешней стороны сферы $x^{2}+y^{2} + z^{2} = 1$ , расположенная в первом октанте;

(9)

$\mathbf{a} = \left(x z ; y z ; z^{2}\right) ; S$ — часть внешней стороны сферы $x^{2}+y^{2} + z^{2} = 9$ , расположенная в области $z > 2$ ;

(10)

$\mathbf{a} = (x ; y ; x y z) ; S$ — часть внешней стороны цилиндра $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ , расположенная в области $x > \left|y\right|$ и отсеченная плоскостью $z = 0$ и параболоидом $z = x^{2}-y^{2}$ ;

(11)

$\mathbf{a} = \left(x y-y^{2} ;-x^{2}+x y+2 x ; z\right) ; S$ — часть внешней стороны цилиндра $x^{2}+y^{2} = 1$ , отсеченная конусом $z^{2} = x^{2} / 2+y^{2}$ .

Задача 3.12.70

Найти поток поля а через поверхность $S$ непосредственно или по теореме Гаусса-Остроградского, если:

?

(1)

$\mathbf{a} = x^{3} \mathbf{i}+y^{3} \mathbf{j}+z^{3} \mathbf{k}, S$ — внешняя поверхность куба $\left|x\right| < a$ , $\left|y\right| < a,\left|z\right| < a$

(2)

$\mathbf{a} = (z-y) \mathbf{i}+(x-z) \mathbf{j}+(y-x) \mathbf{k} ; S$ — полная внешняя поверхность тетраэдра, ограниченного плоскостями $x+y+z = 1, x+y- -z = 1, y = 0, x = 0$

(3)

$\mathbf{a} = y^{2} z \mathbf{i}-y z^{2} \mathbf{j}+x\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathbf{k} ; S$ — полная внешняя поверхность цилиндра $y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}, 0 \leqslant x \leqslant a$ ;

(4)

$\mathbf{a} = 2 x \mathbf{i}+2 y \mathbf{j}-z \mathbf{k} ; S$ — полная внешняя поверхность конуca $\sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant H$ ;

(5)

$\mathbf{a} = (x+z) \mathbf{i}+(y+x) \mathbf{j}+(z+y) \mathbf{k} ; S$ — внешняя поверхность тела $x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}, 0 \leqslant z \leqslant y$ ;

(6)

$\mathbf{a} = x^{2} y \mathbf{i}+x y^{2} \mathbf{j}+x y z \mathbf{k} ; S$ — внешняя поверхность тела $x^{2} + y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$

(7)

$\mathbf{a} = x^{2} y z \mathbf{i}+x y^{2} z \mathbf{j}+x y z^{2} \mathbf{k} ; S$ — часть внешней стороны эллипсоида $x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z^{2} / c^{2} = 1$ , расположенная в первом октанте;

(8)

$\mathbf{a} = x^{3} \mathbf{i}+y^{3} \mathbf{j}+z^{3} \mathbf{k} ; S$ — половина внешней стороны сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2} = R^{2}, z \geqslant 0$ ;

(9)

$\mathbf{a} = \left(z^{n}-y^{n}\right) \mathbf{i}+\left(x^{n}-z^{n}\right) \mathbf{j}+\left(y^{n}-x^{n}\right) \mathbf{k} ; S$ — половина внешней стороны сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2} = R^{2}, z \geqslant 0$ .

Задача 3.12.71

Пусть $A(\mathbf{r}) = \sum_{i, j = 1}^{3} a_{i j} x_{i} x_{j}$ — положительно определенная квадратичная форма, $\mathbf{r} = x_{1} \mathbf{i}+x_{2} \mathbf{j}+x_{3} \mathbf{k}$ . Найти поток поля $\mathbf{a} = \mathbf{r} \cdot (A(\mathbf{r}))^{-3 / 2}$ через единичную сферу $\left|\mathbf{r}\right| = 1$ .

?

Задача 3.12.72

(1)(2)

Указать с точностью до $o\left(\varepsilon^{3}\right)$ приближенное значение потока поля а:

?

(1)

из задачи 38,4) через внешнюю сторону сферы с центром $(3 ; 4 ; 0)$ и радиусом $\varepsilon$ ;

(2)

из задачи 38,5) через внешнюю сторону поверхности куба с центром $(1 ; 1 ; 2)$ и ребром длины $\varepsilon$ .

Задача 3.12.73

Доказать формулу (24).

?

Задача 3.12.74

Пусть поле а непрерывно дифференцируемо в $\Omega , G$ — произвольная область с кусочно гладкой границей, $\bar{G} \subset \Omega$ . Доказать, что поток $\operatorname {rot} \mathbf{a}$ через $\partial G$ равен нулю.

?

Задача 3.12.75

Пусть ограниченная область $G$ имеет кусочно гладкую границу $\partial G$ , ориентированную внешней нормалью. Доказать, что поток радиус-вектора $\mathbf{r}$ через $\partial G$ равен $3 \mu G$ , где $\mu G$ — объем $G$ .

?

Задача 3.12.76

Пусть кусочно гладкая граница $\partial G$ области $G$ , ориентирована нормалью $\mathbf{n}, c$ — постоянный вектор. Доказать, что

\iint _{\partial G} \cos (\widehat{\mathbf{n}, \mathbf{c}}) d S = 0.

?

Задача 3.12.77

Доказать формулы:

?

(1)

(25);

(2)

(26);

(3)

(28);

(4)

(29);

(5)

(30).

Задача 3.12.78

Пусть поле $u$ дважды непрерывно дифференцируемо в $\Omega$ , $G$ — область из $\Omega$ такая, что $\bar{G} \subset \Omega$ и граница $\partial G$ является поверхностью уровня поля $u$ . Доказать, что

\iiint _{G} \Delta u d V = \pm \iint _{\partial G}\left|\nabla u\right| d S

где следует выбрать один из знаков. Объяснить выбор знака.

?

Задача 3.12.79

Доказать, что

\iiint _{G}(\nabla u,[\nabla , \mathbf{a}]) d V = \iint _{\partial G}(\mathbf{a}, \nabla u, \mathbf{n}) d S.

?

Задача 3.12.80

Пусть $u$ и а — непрерывно дифференцируемые поля в $\Omega$ , $G$ — область из $\Omega , \bar{G} \subset \Omega , \partial G$ — кусочно гладкая поверхность, ориентированная внешней нормалью. Доказать, что

\iint _{\partial G}(u \mathbf{a}, \mathbf{n}) d S = \iiint _{G}(u(\nabla , \mathbf{a})+(\mathbf{a}, \nabla u)) d V

?

Задача 3.12.81

Пусть $S$ — гладкая поверхность, ориентированная нормалью $\mathbf{n}$ , и пусть замыкание $S$ не содержит начала координат. Показать, что интеграл

\iint _{S} \cos (\widehat{\mathbf{r}, \mathbf{n}}) \cdot d S

есть поток некоторого поля через $S$ .

?

Задача 3.12.82

(1)(2)

Пусть $G$ — ограниченная область с кусочно гладкой границей, ориентированной внешней нормалью $\mathbf{n}, O \notin \bar{G}, \mathbf{r} = (x ; y ; z), r = \left|\mathbf{r}\right|$ .

Доказать, что:

?

(1)

$\iiint_{G} \frac{1}{r} d V = \frac{1}{2} \iint_{\partial G} \cos (\widehat{\mathbf{r}, \mathbf{n}}) d S$ ;

(2)

$\iint_{G} \frac{1}{r^{p}} d V = \frac{1}{3-p} \iint_{\partial G} \frac{\cos (\widehat{\mathbf{n, r}})}{r^{p-1}} d S, \quad p \neq 3$ .

Задача 3.12.83

Пусть ограниченная область $G$ имеет кусочно гладкую границу $\partial G$ , ориентированную внешней нормалью, $M_{0}$ — фиксированная точка $G$ ,

\mathbf{a}(M) = \overline{M_{0} M} /\left|M_{0} M\right|^{3},

$S_{\varepsilon }\left(M_{0}\right)$ — сфера с центром $M_{0}$ и радиусом $\varepsilon$ , лежащая в $G$ , ориентированная внешней нормалью. Доказать, что поток а через $\partial G$ равен потоку $a$ через $S_{\varepsilon }\left(M_{0}\right)$ .

?

Задача 3.12.84

(1)(2)

Пусть ограниченная область $G$ имеет кусочно гладкую границу $\partial G$ , ориентированную внешней нормалью, $M_{0}$ — фиксированная точка,

\mathbf{a}(M) = \overline{M_{0} M} /\left|M_{0} M\right|^{3}

Найти поток поля а через $\partial G$ , если:

?

(1)

$M_{0} \notin \bar{G}$ ;

(2)

$M_{0} \in G$ .

Задача 3.12.85

В условиях задачи 83 пусть $M_{0} \in \partial G$ и в окрестности $M_{0}$ граница $\partial G$ дважды непрерывно дифференцируема. Пусть $\partial G_{\varepsilon }$ — часть границы $\partial G$ , лежащая внутри шара $\left|\overline{M_{0} M}\right| \leqslant \varepsilon$ , а $\Pi_{\varepsilon }$ — поток поля а через $\partial G \backslash \partial G_{\varepsilon }$ . Найти $\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \Pi_{\varepsilon }$ .

?

Задача 3.12.86

Сформулировать аналог теоремы Гаусса-Остроградского для плоских областей и полей.

?

Задача 3.12.87

Пусть $\gamma$ — гладкая плоская простая (с. 295) кривая, замыкание которой не содержит начала координат, $\mathbf{n}$ — непрерывная единичная нормаль к $\gamma$ . Показать, что интеграл Гаусса

\int _{\gamma } \cos \left(\frac{\mathbf{r}}{r}, \mathbf{n}\right) \cdot d s

есть поток некоторого поля через $\gamma$ .

?

Задача 3.12.88

(1)(2)

Пусть в условиях задачи $87 \gamma$ есть граница ограниченной области $G$ . Вычислить интеграл Гаусса, если:

?

(1)

$O \notin \bar{G}$ ;

(2)

$O \in G$ .

Задача 3.12.89

Покажите, что значение интеграла Гаусса из задачи 87 равно полярному углу, под которым видна кривая $\gamma$ из начала координат.

?

Задача 3.12.90

Найти работу поля а вдоль прямой от точки $A\left(\mathbf{r}_{1}\right)$ до точки $B\left(\mathbf{r}_{2}\right) (r = x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}, r = \left|\mathbf{r}\right|)$ .

?

(1)

$\mathbf{a} = \mathbf{r}$ ;

(2)

$\mathbf{a} = \mathbf{r} / r$ ;

(3)

$\mathbf{a} = \mathbf{r} / r^{3}$ ;

(4)

$a = f(r) \mathbf{r}, f(r)$ — непрерывная функция, $r \geqslant 0$ ;

(5)

$\mathbf{a} = [\mathbf{c}, \mathbf{r}], \mathbf{c} =$ const.

Задача 3.12.91

(1)(2)(3)

Найти работу поля а вдоль прямой от точки $A\left(\mathbf{r}_{1}\right)$ до точки $B\left(\mathbf{r}_{2}\right) (r = x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}, r = \left|\mathbf{r}\right|)$ .

?

(1)

$\mathbf{a} = \frac{\mathbf{i}}{y+z}+\frac{\mathbf{j}}{z+x}+\frac{\mathbf{k}}{x+y} ; A(-1 ; 0 ; 3), B(0 ;-1 ; 2)$ ;

(2)

$\mathbf{a} = \mathbf{i} e^{y-z}+\mathbf{j} e^{z-x}+\mathbf{k} e^{x-y} ; A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 3 ; 2)$ ;

(3)

$\mathbf{a} = (y \mathbf{i}+z \mathbf{j}+x \mathbf{k}) / \sqrt{x^{2}-y^{2}+z^{2}-x+z} ; A(1 ; 1 ; 1), B(6 ; 6 ; 6)$ .

Задача 3.12.92

(1)(2)(3)

Вычислить работу плоского поля а вдоль кривой $\gamma$ , если:

?

(1)

$\mathbf{a} = (x+y) \mathbf{i}+(x-y) \mathbf{j} ; \gamma$ — часть графика $y = \left|x\right|$ от точки $(-1 ; 1)$ до точки $(2 ; 2)$ ;

(2)

$\mathbf{a} = \left(y^{2} \mathbf{i}-x^{2} \mathbf{j}\right) / \sqrt{x^{2}+y^{2}} ; \gamma$ — полуокружность $x^{2}+y^{2} = 1$ от точки $(1 ; 0)$ до точки $(-1 ; 0)$ в области $y > 0$ ;

(3)

$\mathbf{a} = f(x) \mathbf{i}+f(y) \mathbf{j} ; \gamma$ — дуга астроиды $x^{2 / 3}+y^{2 / 3} = 1$ от точки $(1 ; 0)$ до точки $(0 ; 1)$ , расположенная в первом квадранте $(f(x)$ непрерывная функция).

Задача 3.12.93

(1)(2)

Вычислить работу поля $\mathbf{a} = y \mathbf{i}+z \mathbf{j}+x \mathbf{k}$ от точки $A(a ; 0 ; 0)$ до точки $B(a ; 0 ; 2 \pi b)$ :

?

(1)

вдоль винтовой линии $x = a \cos t, y = a \sin t, z = b t$ ;

(2)

вдоль отрезка $A B$ .

Является ли данное поле потенциальным?

Задача 3.12.94

Найти по формуле Стокса (19) циркуляцию поля а вдоль контура $\Gamma$ , ориентированного по часовой стрелке при взгляде на него из начала координат, если:

?

(1)

$\mathbf{a} = z^{2} \mathbf{i}+x^{2} \mathbf{j}+y^{2} \mathbf{k} ; \quad \Gamma = \left\{ x^{2}+y^{2}+z^{2} = 1, x+y+z = 1\right\} ;$

(2)

$\mathbf{a} = (y+z) \mathbf{i}+(z+x) \mathbf{j}+(x+y) \mathbf{k} ; \Gamma = \left\{ 4\left(x^{2}+y^{2}\right) = z^{2}, x+y+z = 1\right\}$

(3)

$\mathbf{a} = x^{3} \mathbf{i}+y^{3} \mathbf{j}+z^{3} \mathbf{k} ; \quad \Gamma = \left\{ z = x^{2}+y^{2}, z+y = 2\right\}$ ;

(4)

$\mathbf{a} = y \mathbf{i}-x \mathbf{j}+z \mathbf{k} ; \quad \Gamma = \left\{ x^{2}+y^{2}+z^{2} = 4, x^{2}+y^{2} = z^{2}, z \geqslant 0\right\}$ ;

(5)

$\mathbf{a} = z^{2} \mathbf{j}+x^{2} \mathbf{k} ; \quad \Gamma = \left\{ y^{2}+z^{2} = 9,3 z+4 x = 5\right\}$

(6)

$\mathbf{a} = z x \mathbf{i}+x y \mathbf{j}+y z \mathbf{k} ; \Gamma = \left\{ y^{2}+z^{2} = 1, x+y+z = 1\right\}$ .

Задача 3.12.95

(1)(2)

Для поля $\mathbf{a} = -y \mathbf{i} /\left(x^{2}+y^{2}\right)+x \mathbf{j} /\left(x^{2}+y^{2}\right)$ найти циркуляцию:

?

(1)

по окружности $x^{2}+y^{2} = R^{2}, z = z_{0}$ , ориентированной против часовой стрелки при взгляде из точек оси $O z$ , где $z > z_{0}$ ;

(2)

по окружности $(x-R)^{2}+(y-2 R)^{2} = R^{2}, z = z_{0}$ , ориентация произвольна.

Задача 3.12.96

Найти циркуляцию поля $\mathbf{a} = (-y \mathbf{i}+x \mathbf{j}) /\left(x^{2}+y^{2}\right)+z \mathbf{k}$ по окружности

\Gamma = \left\{ x^{2}+y^{2}+z^{2} = 1, x+y+z = 0\right\}

ориентированной против часовой стрелки при взгляде из точек оси $O z$ , где $z > 1$ .

?

Задача 3.12.97

(1)(2)

В условиях задачи 64 найти циркуляцию поля $\mathbf{v}$ :

?

(1)

по окружности радиуса $R$ , которая лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, и ориентирована по направлению вращения;

(2)

по окружности радиуса $R$ , которая ориентирована так же, как и в 1), но плоскость которой составляет угол $\alpha$ с осью вращения.

Задача 3.12.98

В условиях задачи 64 примем ось вращения за ось $O z$ , направив ее по вектору угловой скорости. Пусть $G$ — ограниченная односвязная область в плоскости $O x y$ с границей $\gamma$ — кусочно гладким простым замкнутым контуром, Ц — цилиндр с основанием $\bar{G}$ и образующими, параллельными оси вращения. Пусть $\Gamma$ — замкнутая кусочно гладкая кривая на поверхности цилиндра Ц, которая взаимно однозначно проектируется на $\gamma$ . Доказать, что циркуляция поля $\mathbf{v}$ по $\Gamma$ равна $2 \omega \cdot \mu G$ , где $\mu G$ — площадь $G$ .

?

Задача 3.12.99

Магнитное поле прямого бесконечного проводника постоянного тока $I(I > 0)$ задается как поле вектора напряженности Н. Если ось $O z$ совместить с проводником по направлению тока, то

\mathbf{H} = 2 I \cdot \frac{-y \mathbf{i}+x \mathbf{j}}{x^{2}+y^{2}}

?

(1)

Убедиться, что $\operatorname {rot} \mathbf{H} = \mathbf{0}$ (в отличие от $\operatorname {rot} \mathbf{v}$ из задачи 64).

(2)

Найти циркуляцию поля $\mathbf{H}$ по окружности радиуса $R$ с центром на оси $O z$ :

лежащей в плоскости, перпендикулярной оси $O z$ ;
лежащей в плоскости, которая составляет угол $\alpha$ с осью $O z$ .

(3)

Взяв такие же, как и в задаче 98, область $G$ с границей $\gamma$ , цилиндр Ц и кривую $Г$ на его поверхности и допустив, что ось $O z$ не является образующей цилиндра Ц, доказать, что циркуляция $\mathbf{H}$ по Г равна циркуляции $\mathbf{H}$ по $\gamma$ .

(4)

Допустив, что $O \in G$ , и взяв окружность с центром $O$ , лежащую в $G$ , доказать, что циркуляции $\mathbf{H}$ по $\gamma$ и по этой окружности равны.

(5)

Доказать, что если контур $\Gamma$ (из 3)) не охватывает ось $O z$ , т. е. проводник с током, то циркуляция $H$ по $\Gamma$ равна нулю, а если $\Gamma$ охватывает ось $O z$ , то циркуляция $H$ по $\Gamma$ такая же, как и по окружности из п. 2).

Задача 3.12.100

(1)(2)

Найти с точностью до $o\left(\varepsilon^{2}\right)$ абсолютную величину циркуляции поля а по окружности $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2} = \varepsilon^{2}, \quad x + y+z = 3$ , если:

?

(1)

$\mathbf{a} = \frac{1}{y} \mathbf{i}+\frac{1}{z} \mathbf{j}+\frac{1}{x} \mathbf{k} ;$

(2)

$\mathbf{a} = \frac{y}{\sqrt{z}} \mathbf{i}-\frac{x}{\sqrt{z}} \mathbf{j}+\sqrt{x y} \mathbf{k}$ .

Задача 3.12.101

(1)(2)(3)

Доказать формулу:

?

(1)

(20);

(2)

(21);

(3)

(22).

Задача 3.12.102

(1)(2)

Пусть $и$ и а — непрерывно дифференцируемые поля в $\Omega$ , $M \in \Omega$ . Рассмотрим совокупность содержащих $M$ областей $G \subset \Omega$ , для которых справедлива формула (23). Пусть $d(G)$ — диаметр, $\mu (G)$ — объем $G$ . Доказать, что:

?

(1)

$\operatorname {grad} u(M) = \lim_{d(G) \rightarrow 0} \frac{1}{\mu (G)} \iint_{\partial G} u \mathbf{n} d S ;$

(2)

$\operatorname {rot} \mathbf{a}(M) = \lim_{d(G) \rightarrow 0} \frac{1}{\mu (G)} \iint_{\partial G}[\mathbf{n}, \mathbf{a}] d S$ .

Задача 3.12.103

(1)(2)(3)(4)

Какие из указанных полей потенциальны в $R^{3}$ :

?

(1)

$\mathbf{a} = x^{2} \mathbf{i}+y^{2} \mathbf{j}+z^{2} \mathbf{k}$ ;

(2)

$\mathbf{a} = x z \mathbf{i}+z y \mathbf{j}+y x \mathbf{k}$

(3)

$\mathbf{a} = (a x+y+b z) \mathbf{i}+(2 x+c y+d z) \mathbf{j}+(b x+d y+c z) \mathbf{k}$ ;

(4)

$\mathbf{a} = y z \cos x y \mathbf{i}+x z \cos x y \mathbf{j}+\sin x y \mathbf{k}?$

Задача 3.12.104

(1)(2)

Потенциально ли поле $\mathbf{H} = 2 I \frac{-y \mathbf{i}+x \mathbf{j}}{x^{2}+y^{2}}, \quad (x ; y) \neq (0 ; 0)$ :

?

(1)

в полупространстве $x > 0$ ;

(2)

во всем пространстве без оси $O z$ ?

Задача 3.12.105

Проверить, что поле $\mathbf{H} = 2 I(-y \mathbf{i}+x \mathbf{j}) /\left(x^{2}+y^{2}\right)$ потенциально в полупространстве $y > 0$ , и найти его потенциал.

?

Задача 3.12.106

Проверить потенциальность и найти потенциал поля:

?

(1)

$\mathbf{a} = (y+z) \mathbf{i}+(z+x) \mathbf{j}+(x+y) \mathbf{k} ;$

(2)

$\mathbf{a} = \frac{y z \mathbf{i}+z x \mathbf{j}+x y \mathbf{k}}{1+x^{2} y^{2} z^{2}}$ ;

(3)

$\mathbf{a} = y \mathbf{i}+x \mathbf{j}+e^{z} \mathbf{k}$ ;

(4)

$\mathbf{a} = \mathbf{r} / r ;$

(5)

$\mathbf{a} = r \mathbf{r}(\mathbf{r} = x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}, r = \left|\mathbf{r}\right|)$ .

Задача 3.12.107

Пусть $f(r), r > 0$ , — дифференцируемая функция. Доказать, что поле (центральное) $\mathbf{a} = f(r) \mathbf{r}$ потенциально при $r > 0(\mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j}+z \mathbf{k}, r = \left|\mathbf{r}\right|)$ . Найти потенциал $\mathbf{a}$ .

?

Задача 3.12.108

Доказать, что потенциал $u$ непрерывно дифференцируемого поля а удовлетворяет уравнению $\Delta u = \operatorname {div} \mathbf{a}$ .

?

Задача 3.12.109

Доказать, что если поле а потенциально в звездной (см. задачу 30) относительно точки $M_{0}\left(r_{0}\right)$ области $\Omega$ , то его потенциал в точке $M(\mathbf{r})$ определяется формулой

u(\mathbf{r}) = \int _{0}^{1}\left(\mathbf{a}\left(\mathbf{r}_{0}+t\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\right)\right), \mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\right) d t+\text{ const }.

?

Задача 3.12.110

Доказать, что положения устойчивого равновесия частицы в потенциальном силовом поле $\mathbf{F} = -\operatorname {grad} u$ находятся в точках минимума потенциала $u$ .

?

Задача 3.12.111

Доказать, что потенциальное поле не имеет замкнутых векторных линий.

?

Задача 3.12.112

(1)(2)

Является ли поле а потенциальным, соленоидальным, если $(\mathbf{r} = x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}, r = \left|\mathbf{r}\right|)$ :

?

(1)

$\mathbf{a} = \mathbf{r} / r^{3}$ ;

(2)

$\mathbf{a} = \mathbf{r} / r?$

Задача 3.12.113

(1)(2)(3)(4)

Является ли поле а соленоидальным, если:

?

(1)

$\mathbf{a} = x\left(z^{2}-y^{2}\right) \mathbf{i}+y\left(x^{2}-z^{2}\right) \mathbf{j}+z\left(y^{2}+x^{2}\right) \mathbf{k} ;$

(2)

$\mathbf{a} = (1+2 x y) \mathbf{i}-y^{2} z \mathbf{j}+\left(z^{2} y-2 y z+1\right) \mathbf{k}$

(3)

$\mathbf{a} = x^{2} y z \mathbf{i}+z y^{2} z \mathbf{j}-x y z^{2} \mathbf{k}$ ;

(4)

$\mathbf{a} = (-y \mathbf{i}+x \mathbf{j}) /\left(x^{2}+y^{2}\right)+x y \mathbf{k}$ .

Задача 3.12.114

Доказать, что условие (34) необходимо и достаточно для соленоидальности поля.

?

Задача 3.12.115

Найти такую дифференцируемую функцию $\Phi$ , чтобы поле $\mathbf{a} = \Phi (r) \mathbf{r}, \mathbf{r} = x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}, \quad r = \left|\mathbf{r}\right|$ , было соленоидальным.

?

Задача 3.12.116

Поток поля $\mathbf{a} = \mathbf{r} / r^{3}, r = \left|\mathbf{r}\right|$ , определенного в области $r > 0$ , через сферу $r = 1$ равен $4 \pi$ . Означает ли это, что данное поле несоленоидально при том определении соленоидальности, которое принято в этом параграфе?

?

Задача 3.12.117

(1)(2)

?

(1)

Пусть $\mathbf{A}_{1}$ и $\mathbf{A}_{2}$ — векторные потенциалы поля $\mathbf{a}$ ; доказать, что поле $\mathbf{b} = \mathbf{A}_{1}-\mathbf{A}_{2}$ безвихревое;

(2)

пусть $\mathbf{A}$ — векторный потенциал поля $\mathbf{a}$ , поле $\mathbf{b}$ безвихревое; доказать, что $\mathbf{A}+\mathbf{b}$ — также векторный потенциал поля $\mathbf{a}$ .

Задача 3.12.118

Проверить соленоидальность поля а и найти его векторный потенциал, если:

?

(1)

$\mathbf{a} = \mathbf{c}, \mathbf{c}$ — постоянный вектор;

(2)

$\mathbf{a} = 2 y x \mathbf{k}$ ;

(3)

$\mathbf{a} = z \mathbf{i}+x \mathbf{j} ;$

(4)

$\mathbf{a} = y \mathbf{i}+z \mathbf{j}+x \mathbf{k}$

(5)

$\mathbf{a} = 3 y^{2} \mathbf{i}-3 x^{2} \mathbf{j}-\left(y^{2}+2 x\right) \mathbf{k}$ ;

(6)

$\mathbf{a} = y e^{z} \mathbf{i}+z e^{x} \mathbf{j}+x e^{y} \mathbf{k}$ .

Задача 3.12.119

Доказать, что если векторное поле а непрерывно дифференцируемо и соленоидально в области $G$ , звездной (см. задачу 30) относительно точки $M_{0}\left(\mathbf{r}_{0}\right) \in G$ , то

\mathbf{A}(M) = \int _{0}^{1}\left[\mathbf{a}\left(\mathbf{r}_{0}+t\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\right)\right), \mathbf{r}\right] t d t

один из его векторных потенциалов ( $\mathbf{r}_{0}$ и $\mathbf{r}$ — радиус-векторы точек $M_{0}$ и $M$ ).

?

Задача 3.12.120

Найти векторный потенциал магнитного поля бесконечного прямого проводника постоянного тока $I$ (ось $O z$ направить по проводнику, см. задачу 99).

?

Задача 3.12.121

Электрический заряд $q$ , движущийся с постоянной скоростью $\mathbf{v}$ , создает в пространстве (вакууме) в фиксированный момент времени магнитное поле напряженности

\mathbf{H}(M) = \underbrace{[q \mathbf{v}, \mathbf{r}]}_{4 \pi r^{3}}

где $\mathbf{r}$ — вектор с началом в заряде, а концом в $M, r = \left|\mathbf{r}\right|$ . Найти векторный потенциал этого поля.

?

Задача 3.12.122

Доказать, что векторные линии соленоидального поля либо замкнуты, либо оканчиваются на границе области определения поля.

?

Задача 3.12.123

Доказать, что поток соленоидального поля через поперечное сечение его векторной трубки одинаков вдоль всей трубки.

?

Задача 3.12.124

Пусть $u$ — дважды непрерывно дифференцируемое поле в $\Omega$ , $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ — дифференцируемые поля в $\Omega , \mathbf{a} = \mathbf{b}+\operatorname {grad} u$ . Доказать, что для того, чтобы поле $\mathbf{b}$ было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы поле $u$ удовлетворяло уравнению $\Delta u = \operatorname {div} \mathbf{a}$ .

?

Задача 3.12.125

Доказать гармоничность плоского поля

\mathbf{a} = \mathbf{r} / r^{2}, \quad \mathbf{r} = (x ; y), \quad r = \left|\mathbf{r}\right|

?

Задача 3.12.126

Доказать гармоничность поля сил тяготения точечной массы и поля кулоновых сил точечного заряда.

?

Задача 3.12.127

Доказать, что потенциал гармонического поля есть функция гармоническая, т. е. $\Delta u = 0$ .

?

Задача 3.12.128

(1)(2)(3)

Пусть ограниченная область $G$ имеет кусочно гладкую границу $\partial G$ , функция $u$ , определенная в $\bar{G}$ , гармонична в $G$ , а $\operatorname {grad} u$ непрерывен в $\bar{G}$ . Доказать, что:

?

(1)

$\iint_{\partial G} \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}} d S = 0$ , где $\mathbf{n}$ — нормаль к $\partial G$ ;

(2)

если $u = 0$ на $\partial G$ , то $u = 0$ в $\bar{G}$ , т. е. гармоническая функция однозначно определяется своими значениями на границе;

(3)

если $\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}} = 0$ на $\partial G$ , то $u =$ const в $\bar{G}$ , т. е. гармоническая функция определяется с точностью до постоянной значениями своей нормальной производной на границе.

Задача 3.12.129

В условиях задачи 128 пусть $x \in G, \Omega_{\varepsilon }(x)$ — шар с центром $x$ и радиусом $\varepsilon$ , лежащий в $G$ . Взяв

v = \frac{1}{4 \pi \left|x-y\right|}, \quad y \in \bar{G}, \quad y \neq x

и применив формулу Грина (28) к области $G \backslash \Omega_{\varepsilon }(x)$ , доказать, что

u(x) = \frac{1}{4 \pi } \int _{\partial G}\left(u(y) \nabla _{y} \frac{1}{\left|x-y\right|}-\frac{1}{\left|x-y\right|} \nabla u(y), \mathbf{n}(y)\right) d S_{y}

где нижний символ $y$ указывает переменную точку, $\mathbf{n}(y)$ — единичная внешняя нормаль к границе в точке $y$ .

?

Задача 3.12.130

(1)(2)

Пусть функция $u$ гармонична в окрестности точки $x \in R^{3}$ , $S_{R}(x)$ и $\Omega_{R}(x)$ — сфера и шар радиуса $R$ с центром $x$ , лежащие в этой окрестности. Доказать теоремы о среднем для гармонических функций:

?

(1)

$u(x) = \frac{1}{4 \pi R^{2}} \iint_{S_{R}(x)} u(y) d S$ ;

(2)

$u(x) = \frac{3}{4 \pi R^{3}} \iiint_{\Omega_{R}(x)} u(y) d V$ .

Задача 3.12.131

Из уравнений электростатики

(\nabla , \mathbf{E}) = \rho / \varepsilon _{0}, \quad [\nabla , \mathbf{E}] = \mathbf{0}

где $\mathbf{E}$ — поле электрической напряженности, $\rho$ — плотность распределения зарядов, $\varepsilon_{0} =$ const $> 0$ , вывести закон Гаусса

\iint _{\partial G}(\mathbf{n}, \mathbf{E}) d S = \frac{Q}{\varepsilon _{0}}

о пропорциональности потока напряженности через границу области $G$ (с внешней нормалью $\mathbf{n}$ ) и полного заряда $Q$ , находящегося в этой области.

?

Задача 3.12.132

Пусть поле скоростей $\mathbf{v}$ движущейся сплошной среды потенциально. Доказать, что если среда несжимаема, то потенциал $u$ поля $\mathbf{v}$ гармоничен (можно воспользоваться тем, что объемный расход среды через любую замкнутую поверхность равен нулю).

?

Скалярные и векторные поля