Мера Жордана. Измеримые множества

Доказать, что в $R^{n}$ куб ранга $k$ содержит $\left(10^{l-k}-2\right)^{n}$ кубов ранга $l < k$, не пересекающихся с его границей.

Доказать, что для куба $Q$ ранга $k$ в $R^{n}$ имеется:

Пусть $X \subset R^{n}$. Доказать, что:

Доказать, что открытый куб ранга $k$ в $R^{n}$ измерим по Жордану и его мера равна мере замкнутого куба ранга $k$, т. е. $10^{-k n}$.

Доказать, пользуясь определением меры Жордана, измеримость и найти меру:

Пользуясь определением меры Жордана, доказать измеримость множеств:

Доказать, что внутренняя и внешняя меры Жордана ограниченного множества конечны.

Доказать, что измеримое по Жордану множество ограниченно.

Доказать, что:

Доказать, что непустое пересечение замкнутого $n$-мерного куба с открытым множеством в $R^{n}$ имеет положительную внутреннюю меру.

Пусть $X$ — замкнутое множество в $R^{n}, S_{k}(X)$ — его покрытие кубами ранга $k$. Доказать, что каждая точка $X$ является внутренней точкой множества $S_{k}(X)$.

Пусть $X_{1} \subset X_{2} \subset R^{n}$. Доказать, что $\mu_{*}\left(X_{1}\right) \leqslant \mu_{*}\left(X_{2}\right)$ и $\mu^{*}\left(X_{1}\right) \leqslant \mu^{*}\left(X_{2}\right)$.

Пусть $X$ — ограниченное множество в $R^{n}, X_{1} \subset X$. Доказать, что:

Пусть $X$ — ограниченное множество в $R^{n}, X_{1} \subset X$. Доказать, что:

Указать два таких непересекающихся множества $X_{1}$ и $X_{2}$ из $R^{n}$, что

Пусть $X_{1}$ и $X_{2}$ — открытые множества в $R^{n}$. Доказать, что

Указать два таких множества $X_{1}$ и $X_{2}$ из $R^{n}$, что

Доказать, что если $\mu^{*}(X) = 0$, то $X$ измеримо и $\mu (X) = 0$.

Доказать, что данное выше определение меры Жордана в частном случае множества меры нуль равносильно следующему: множество $X$ имеет меру нуль по Жордану, если для любого $\varepsilon > 0$ существуют такие натуральное $k$ и конечное покрытие $S_{k}(X)$ множества $X$ кубами ранга $k$, что $\mu \left(S_{k}(X)\right) \leqslant \varepsilon$.

Доказать, что конечное множество точек в $R^{n}$ имеет меру нуль.

Последовательность точек $x^{k} \in R^{n}, k \in N$, сходится к точке из $R^{n}$. Доказать, что множество $\left\{ x^{k}: k \in N\right\}$ имеет меру нуль.

Пусть $\alpha -k$-мерная гиперплоскость в $R^{n}$ (прямая при $k = 1) ; X$ — ограниченное подмножество $\alpha$. Доказать, что $\mu (X) = 0$.

Множество имеет меру нуль. Пользуясь определением меры Жордана, доказать, что:

Пусть $X \subset R^{n}$ и для любого $\varepsilon > 0$ существует совокупность из $N$ измеримых по Жордану множеств $X_{j}$ такая, что $X \subset \bigcup_{j = 1}^{N} X_{j}$ и $\sum_{j = 1}^{N} \mu \left(X_{j}\right) < \varepsilon$ ($N$ и $X_{j}$, вообще говоря, зависят от $\left.\varepsilon \right)$. Доказать, что $X$ измеримо и $\mu (X) = 0$.

Пусть $X \subset R^{n}, \partial X$ — граница $X, \sigma_{k}(X)$ — объединение всех кубов ранга $k$, содержащихся в $S_{k}(X)$, но не входящих в $s_{k}(X), k = 0,1, \ldots$ Доказать, что $\partial X \subset \sigma_{k}(X) \subset S_{k}(\partial X)$.

Доказать критерий измеримости: для измеримости множества по Жордану необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным и чтобы его граница имела меру нуль по Жордану.

Доказать, что измеримым по Жордану является:

Доказать монотонность меры.

Доказать аддитивность меры.

Пусть $X_{1}$ и $X_{2}$ — измеримые по Жордану множества в $R^{n}$.

Доказать, что:

Доказать, что замыкание $\bar{X}$ измеримого по Жордану множества $X$ измеримо по Жордану и $\mu (\bar{X}) = \mu (X)$.

Пусть $X$ — измеримое множество, in $X$ — множество всех его внутренних точек. Доказать, что in $X$ измеримо и $\mu ($ in $X) = \mu (X)$.

Пусть $X$ — измеримое множество, in $X$ — множество всех его внутренних точек. Доказать, что если $X_{1} \subset X \backslash$ in $X$, то $\mu \left(X_{1}\right) = 0$.

Пусть $X_{1} \subset R^{n}, \mu \left(X_{1}\right) = 0$. Доказать, что для любого множества $X \subset R^{n}$ множества $X, X \cup X_{1}, X \backslash X_{1}$ одновременно либо неизмеримы, либо измеримы, и в последнем случае

Пусть множества $X_{1}$ и $X_{2}$ измеримы по Жордану в $R^{n}, X_{1} \subset \subset X_{2}$ и $\mu \left(X_{1}\right) = \mu \left(X_{2}\right)$. Доказать, что любое множество $X$ такое, что $X_{1} \subset X \subset X_{2}$, измеримо по Жордану в $R^{n}$ и $\mu (X) = \mu \left(X_{1}\right) = \mu \left(X_{2}\right)$.

Пусть измеримое по Жордану множество $X \subset R^{n}$ рассечено $(n-1)$-мерной гиперплоскостью $\alpha$ на две части $X_{1}$ и $X_{2}$, т. е. все точки $X_{1}$ лежат по одну сторону от $\alpha$, все точки $X_{2}$ — по другую и $X = X_{1} \cup \alpha_{0} \cup X_{2}$, где $\alpha_{0} = \alpha \cap X, X_{1} \cap \alpha_{0} = X_{2} \cap \alpha_{0} = \varnothing$. Доказать, что $X_{1}$ и $X_{2}$ измеримы по Жордану и $\mu \left(X_{1}\right)+\mu \left(X_{2}\right) = \mu (X)$.

Доказать, что:

Множество $X \subset R^{n}$ таково, что для любого $\varepsilon > 0$ существуют два измеримых по Жордану множества $X^{\prime }$ и $X^{\prime \prime }$ таких, что $X^{\prime } \subset X \subset \subset X^{\prime \prime }$ и $\mu \left(X^{\prime \prime }\right)-\mu \left(X^{\prime }\right) < \varepsilon$. Доказать, что множество $X$ измеримо по Жордану и

где $X^{\prime }$ и $X^{\prime \prime }$ — всевозможные измеримые множества, содержащиеся в $X$ и содержащие $X$ соответственно.

Доказать неизмеримость по Жордану множества:

Указать в $R^{3}$ неизмеримое по Жордану множество.

Пусть $\left\{ X_{j}\right\}$ — последовательность измеримых по Жордану множеств в $R^{n}$, не имеющих попарно общих внутренних точек, и пусть $X = \bigcup_{j = 1}^{\infty } X_{j}$ — ограниченное множество. Доказать, что ряд $\sum_{j = 1}^{\infty } \mu \left(X_{j}\right)$ сходится и $\mu_{*}(X) = \sum_{j = 1}^{\infty } \mu \left(X_{j}\right)$.

Доказать, что для любого открытого ограниченного непустого множества $X \subset R^{n}$ есть такая последовательность кубов $Q_{j}$ рангов $k_{j}, j \in N$, не имеющих общих внутренних точек, что $X = \bigcup_{j = 1}^{\infty } Q_{j}$ и

Пусть $X_{n}$ — измеримые по Жордану множества меры нуль, $n \in N$, и пусть $X = \bigcup_{n = 1}^{\infty } X_{n}$ — измеримое по Жордану множество.

Доказать, что $\mu (X) = 0$.

Указать счетную совокупность множеств жордановой меры нуль, объединение которых не является множеством меры нуль по Жордану.

Указать неизмеримое по Жордану множество, замыкание которого измеримо по Жордану.

Доказать, что объединение двух непересекающихся множеств, одно из которых измеримо, а другое неизмеримо по Жордану, есть множество, не измеримое по Жордану.

Указать два неизмеримых множества, объединение которых измеримо.

Доказать, что всякое замкнутое счетное ограниченное множество в $R^{n}$ измеримо по Жордану и его мера равна нулю.

Пусть $X^{\prime }$ — измеримое по Жордану множество в $R^{n}$. Доказать, что цилиндр $X = X^{\prime } \times [a ; b]$ измерим по Жордану в $R^{n+1}$ и $\mu_{n+1}(X) = (b-a) \cdot \mu_{n}\left(X^{\prime }\right)$.

Каждая из проекций множества $X \subset R^{2}$ на оси координат измеримое множество в $R^{1}$. Обязательно ли само множество $X$ будет измеримым в $R^{2}$?

Указать в $R^{2}$ ограниченное неизмеримое множество, у которого сечение любой прямой, параллельной одной из осей координат, есть измеримое в $R^{1}$ множество.

Доказать измеримость всякого ограниченного множества, граница которого есть объединение конечной совокупности множеств, каждое из которых является либо графиком непрерывной на компакте функции, либо частью цилиндра с основанием меры нуль.

Доказать измеримость по Жордану:

Пусть

Доказать измеримость множества $X \backslash \bigcup_{n = 1}^{\infty } X_{n}$ и найти его меру.

Доказать измеримость множества

Доказать, что спрямляемая кривая в $R^{n}$ имеет жорданову меру нуль.

Пусть $\Omega$ — замкнутое ограниченное выпуклое множество в $R^{m}$, функции $\varphi_{i}(y), i = 1, \ldots , n$, непрерывно дифференцируемы на $Q$. Доказать, что $m$-мерная поверхность, заданная параметрически в виде $x_{i} = \varphi_{i}(y), i = 1, \ldots , n, y \in \Omega$, имеет в $R^{n}$ нулевую меру Жордана.

Указать непрерывную кривую $x = \varphi (t), y = \psi (t), a \leqslant t \leqslant b$, имеющую в $R^{2}$ положительную меру.

Указать измеримое по Жордану множество $X$ и непрерывную на нем функцию $f$ такие, что множество

неизмеримо по Жордану.

Указать область в $R^{2}$ неизмеримую по Жордану.

Пусть функция $f$ непрерывна и неотрицательна на отрезке $[a ; b]$.

Доказать, что криволинейная трапеция

измерима по Жордану и

Пусть функция $r(\varphi )$ непрерывна и неотрицательна на отрезке $[\alpha ; \beta ], 0 \leqslant \alpha < \beta < 2 \pi$. Доказать, что сектор

измерим по Жордану и

Пусть $X$ — измеримое множество в $R^{n}, \alpha \in R^{n}$, и

• множество, полученное сдвигом $X$ на $a$. Доказать, что $X_{a}$ измеримо и $\mu \left(X_{a}\right) = \mu (X)$.

Пусть $X$ — измеримое множество в $R^{n}, A-(n \times n)$-ортогональная матрица, $X_{A} = \left\{ x: x = A x^{\prime }, x^{\prime } \in X\right\}$ — множество, полученное ортогональным преобразованием $A$ множества $X$ (поворотом, симметриями, их композициями). Доказать, что $X_{A}$ измеримо и $\mu \left(X_{A}\right) = \mu (X)$.

Доказать, что мера Жордана не зависит от выбора прямоугольной декартовой системы координат.

Доказать, что для всякого измеримого множества существуют разбиения сколь угодно малой мелкости.

Доказать, что для всякого открытого измеримого множества существуют разбиения сколь угодно малой мелкости, все элементы которых имеют положительную меру.

Пусть $X$ — открытое измеримое множество, $\partial X$ — его граница, $X_{1} \subseteq \partial X$. Доказать, что для множества $X \cup X_{1}$ существуют разбиения сколь угодно малой мелкости, все элементы которых имеют положительную меру.

Указать в $R^{n}$ множество положительной меры, для которого не существует разбиений сколь угодно малой мелкости, все элементы которых имеют положительную меру.

Доказать, что для любого измеримого множества $X$ существует последовательность вложенных разбиений $\left\{ \tau_{n}(X)\right\} , \tau_{n+1}(X) \succ \succ \tau_{n}(X), n \in N$, с мелкостями, стремящимися к нулю:

Множество $X \subset R^{n}$ имеет меру нуль по Лебегу, если для любого $\varepsilon > 0$ существует не более чем счетная совокупность замкнутых прямоугольных параллелепипедов $\left\{ P_{j}\right\}$ такая, что $X \subset \bigcup_{j = 1}^{\infty } P_{j}$ и $\sum_{j = 1}^{\infty } \mu \left(P_{j}\right) < \varepsilon$.

Доказать, что:

Доказать, что множество всех рациональных точек отрезка $[0 ; 1]$, неизмеримое по Жордану в $R^{1}$ (см. задачу 40,1$)$), имеет в $R^{1}$ меру нуль по Лебегу.

Доказать, что множество:

Доказать, что объединение счетной совокупности множеств нулевой меры Лебега также имеет нулевую меру Лебега.

Указать множество $X$ нулевой меры Лебега, замыкание $X$ которого не является множеством меры нуль по Лебегу (что, отметим, невозможно для множеств нулевой меры Жордана).