Банк задач по математике

Задача 3.8.1

(1)(2)(3)(4)

Пусть $X = [0 ; a] \times [0 ; b], \quad X_{i j} = \left[\frac{(i-1) a}{n} ; \frac{i a}{n}\right] \times \left[\frac{(j-1) b}{n} ; \frac{j b}{n}\right]$ , $\xi^{(i, j)}$ — центр прямоугольника $X_{i j}, i, j = 1, \ldots , n ; \tau_{n} = \left\{ X_{i j}, i, j = 1, \ldots , n\right\}$ — разбиение $X ; \Theta_{\tau_{n}} = \left\{ \xi^{(i, j)}, \quad i, j = 1, \ldots , n\right\}$ .

Вычислить $\iint f(x) d x$ как предел сумм Римана $\sigma_{\tau_{n}}\left(f ; \Theta_{\tau_{n}}\right)$ , если $\left(x = \left(x_{1} ; x_{2}\right)\right)^{X}$ :

?

(1)

$f(x) = p x_{1}+q x_{2}, x \in X$ ;

(2)

$f(x) = x_{1} x_{2}, x \in X$ ;

(3)

$f(x) = e^{p x_{1}+q x_{2}}, x \in X, p q \neq 0$ ;

(4)

$f(x) = p x_{1}^{2}+q x_{2}^{2}, x \in X$ .

Задача 3.8.2

(1)(2)(3)(4)

Пусть $X = [-2 ; 2] \times [-1 ; 1], \tau_{n}$ — разбиение $X$ на равные прямоугольники прямыми $x_{1} = 2 i / n, x_{2} = j / n, i, j \in Z$ . Найти нижнюю $s_{\tau_{n}}$ и верхнюю $S_{\tau_{n}}$ суммы Дарбу от $f$ по $X$ и их предел $I$ при $n \rightarrow \infty$ , если $\left(x = \left(x_{1} ; x_{2}\right)\right)$ :

?

(1)

$f(x) = 2 x_{1}-x_{2}, x \in X$ ;

(2)

$f(x) = e^{x_{1}-x_{2}}, x \in X$

(3)

$f(x) = x_{1} x_{2}, x \in X$ ;

(4)

$f(x) = x_{1}^{2}+x_{2}^{2}, x \in X$ .

Задача 3.8.3

(1)(2)(3)(4)

Пусть $X = \left\{ \left(x_{1} ; x_{2}\right): 0 \leqslant x_{1} \leqslant 1,0 \leqslant x_{2} \leqslant 1,0 \leqslant x_{1}+x_{2} \leqslant 1\right\}$ , разбиение $\tau (X)$ состоит из четырех равных треугольников, полученных разделением $X$ прямыми $x_{1} = 1 / 2, x_{2} = 1 / 2, x_{1}+x_{2} = 1 / 2$ , набор $\Theta_{\tau }$ состоит из точек пересечения медиан этих треугольников.

Найти приближенное значение интеграла $\int_{X} f(x) d x$ (вычисления вести с тремя знаками после запятой), приняв за него: а) сумму Римана $\sigma = \sigma_{\tau }\left(f ; \Theta_{\delta }\right)$ ; б) полусумму $S$ верхней и нижней сумм Дарбу и оценить погрешность $\Delta$ результатов, если ( $x = \left. = \left(x_{1} ; x_{2}\right)\right)$ :

?

(1)

$f(x) = 8^{x_{1}+x_{2}}, x \in X ;(2,228)$

(2)

$f(x) = \cos \pi \left(x_{1}+x_{2}\right), x \in X ;(-0,203)$ ;

(3)

$f(x) = \ln \left(1+x_{1}+x_{2}\right), x \in X ;(0,250)$ ;

(4)

$f(x) = \sqrt{x_{1}+x_{2}}, x \in X ;(0,400)$ .

Сравнить результаты со значением интеграла, указанным в скобках (с тремя знаками после запятой).

Задача 3.8.4

(1)(2)(3)

Выполнить такое же задание, как в задаче 3, если $\left(x = \left(x_{1} ; x_{2}\right)\right)$

X = \left\{ \left(x_{1} ; x_{2}\right): x_{1} \geqslant 0, x_{2} \geqslant 0, x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leqslant 1\right\} ,

разбиение $\tau$ получено разделением $X$ на четыре части окружностями радиусов $1 / 4,1 / 2$ и $3 / 4$ с центром в начале координат, точка набора $\Theta_{\tau }$ , соответствующая элементу из $\tau$ , является серединой отрезка, по которому прямая $x_{2} = x_{1}$ пересекает этот элемент, и:

?

(1)

$f(x) = \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}, x \in X ;(0,524)$

(2)

$f(x) = \left(1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{-1} ; x \in X ;(0,544)$ ;

(3)

$f(x) = e^{-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}, x \in X$ ; $(0,496)$ .

Сравнить результаты со значением интеграла, указанным в скобках (с тремя знаками после запятой).

Задача 3.8.5

Пусть $X = \left\{ \left(x_{1} ; x_{2}\right): x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leqslant 1\right\} , \tau$ — разбиение $X, \Theta_{\tau }$ — соответствующий ему набор точек, $\varepsilon > 0$ . Указать такое $\delta > 0$ , чтобы для любого разбиения с мелкостью $\left|\tau \right| < \delta$ и любого набора $\Theta_{\tau }$ выполнялось неравенство если $\left(x = \left(x_{1} ; x_{2}\right)\right)$ :

\left|\sigma _{\tau }\left(f ; \Theta _{\tau }\right)-\iint _{X} f(x) d x\right| < \varepsilon

?

(1)

$f(x) = \sin \left(p x_{1}+q x_{2}\right), x \in X$ ;

(2)

$f(x) = e^{p x_{1}+q x_{2}}, x \in X$ ;

(3)

$f(x) = \ln \left(2+p x_{1}+q x_{2}\right), x \in X$ , где $\sqrt{p^{2}+q^{2}} < 2$ ;

(4)

$f(x) = e^{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}, x \in X$ ;

(5)

$f(x) = \left(1+3 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{-1}, x \in X$ .

Задача 3.8.6

(1)(2)(3)

?

(1)

Пусть $X = [a ; b] \times [c ; d], F(x) = f\left(x_{1}\right), x \in X, x = \left(x_{1} ; x_{2}\right)$ , где функция $f\left(x_{1}\right)$ интегрируема на $[a ; b]$ . Доказать, что $F$ интегрируема на $X$ и $\int_{X} F(x) d x = (d-c) \int_{a}^{b} f\left(x_{1}\right) d x_{1}$ .

(2)

Пусть $X^{\prime }$ — измеримое множество в $R^{n-1}$ ,

x = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n}\right), \quad x^{\prime } = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n-1}\right)

X = X^{\prime } \times [c ; d] \subset R^{n}, \quad F(x) = F\left(x^{\prime } ; x_{n}\right) = f\left(x^{\prime }\right), \quad x \in X

где $f\left(x^{\prime }\right)$ — ограниченная и интегрируемая на $X^{\prime }$ функция. Доказать, что $F$ интегрируема на $X$ и

\int _{X} f(x) d x = (d-c) \int _{X^{\prime }} f\left(x^{\prime }\right) d x^{\prime }

(3)

Пусть $X^{\prime }$ — измеримое множество в $R^{k}, X^{\prime \prime }$ — измеримое множество в $R^{l}$ ,

\begin{gathered} x^{\prime } = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{k}\right), \quad x^{\prime \prime } = \left(x_{k+1} ; \ldots ; x_{k+l}\right), \\ X = X^{\prime } \times X^{\prime \prime } = \left\{ x = \left(x^{\prime } ; x^{\prime \prime }\right) \in R^{k+l}: x^{\prime } \in X^{\prime }, x^{\prime \prime } \in X^{\prime \prime }\right\} .\end{gathered}

Пусть $F(x) = F\left(x^{\prime } ; x^{\prime \prime }\right) = f\left(x^{\prime }\right), x \in X$ , где $f\left(x^{\prime }\right)$ — ограниченная и интегрируемая на $X^{\prime }$ функция. Доказать, что $F$ интегрируема на $X$ и

\int _{X} F(x) d x = \mu _{l}\left(X^{\prime \prime }\right) \int _{X^{\prime }} f\left(x^{\prime }\right) d x^{\prime }

Задача 3.8.7

(1)(2)

?

(1)

Пусть функция $f\left(x_{1}\right)$ интегрируема на $[a ; b]$ , функция $g\left(x_{2}\right)$ интегрируема на $[c ; d], X = [a ; b] \times [c ; d]$ ,

F(x) = F\left(x_{1} ; x_{2}\right) = f\left(x_{1}\right) g\left(x_{2}\right), \quad x \in X

Доказать, что $F$ интегрируема на $X$ и

\int _{X} F(x) d x = \int _{a}^{b} f\left(x_{1}\right) d x_{1} \int _{c}^{d} g\left(x_{2}\right) d x_{2}

(2)

Пусть $X^{\prime }$ — измеримое множество в $R^{k}, X^{\prime \prime }$ — измеримое множество в $R^{l}, x^{\prime } = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{k}\right), x^{\prime \prime } = \left(x_{k+1} ; \ldots ; x_{k+l}\right), X^{\prime } \times X^{\prime \prime } = X$ . Пусть функция $f\left(x^{\prime }\right)$ ограничена и интегрируема на $X^{\prime }$ , функция $g\left(x^{\prime \prime }\right)$ ограничена и интегрируема на $X^{\prime \prime }$ ,

F(x) = F\left(x^{\prime } ; x^{\prime \prime }\right) = f\left(x^{\prime }\right) g\left(x^{\prime \prime }\right), \quad x \in X

Доказать, что $F$ интегрируема на $X$ и

\int _{X} F(x) d x = \int _{X^{\prime }} f\left(x^{\prime }\right) d x^{\prime } \int _{X^{\prime \prime }} g\left(x^{\prime \prime }\right) d x^{\prime \prime }

Задача 3.8.8

Сформулировать отрицание критерия Коши интегрируемости функции по измеримому множеству.

?

Задача 3.8.9

(1)(2)

?

(1)

Сформулировать критерий интегрируемости I:

в терминах $\varepsilon -\delta$ ;
в терминах последовательностей.

(2)

доказать равносильность утверждений из а) и б) в п. 1).

Задача 3.8.10

(1)(2)

?

(1)

Сформулировать критерий интегрируемости II:

в терминах $\varepsilon -\delta$ ;
в терминах последовательностей.

(2)

доказать равносильность утверждений из а) и б) в п. 1).

Задача 3.8.11

(1)(2)

?

(1)

Сформулировать критерий интегрируемости IV в терминах последовательностей;

(2)

доказать равносильность утверждения из п. 1) критерию IV.

Задача 3.8.12

Доказать равносильность определений кратного интеграла Римана в терминах $\varepsilon -\delta$ и в терминах последовательностей.

?

Задача 3.8.13

Доказать критерий Коши интегрируемости функции.

?

Задача 3.8.14

Пусть функция $f$ определена и ограничена на измеримом множестве $X$ . Доказать, что:

?

(1)

для любых двух разбиений $\tau_{1}(X)$ и $\tau_{2}(X) s_{\tau_{1}}(f) \leqslant S_{\tau_{2}}(f)$

(2)

для любой суммы Римана $\sigma_{\tau }(f ; \Theta ) \quad s_{\tau }(f) \leqslant \sigma_{\tau }(f ; \Theta ) \leqslant S_{\tau }(f)$ ;

(3)

для любого разбиения $\tau (X) = \left\{ X_{i}, \quad i = 1, \ldots , N\right\}$

S_{\tau }(f)-s_{\tau }(f) = \sum _{i = 1}^{n} \omega \left(f ; X_{i}\right) \mu \left(X_{i}\right)

где $\omega \left(f ; X_{i}\right) = \sup_{x^{\prime }, x^{\prime \prime } \in X_{i}}\left|f\left(x^{\prime }\right)-f\left(x^{\prime \prime }\right)\right|$ — колебание $f$ на $X_{i}, i = 1, \ldots , N$ ;

(4)

для любого разбиения $\tau (X) = \left\{ X_{i}, \quad i = 1, \ldots , N\right\}$

s_{\tau }(f) = \inf _{\Theta _{\tau }} \sigma _{\tau }\left(f ; \Theta _{\tau }\right), \quad S_{\tau }(f) = \sup _{\Theta _{\tau }} \sigma _{\tau }\left(f ; \Theta _{\tau }\right)

(5)

$I_{*}(f) \leqslant I^{*}(f)$ ;

(6)

$I_{*}(f) = \lim_{\left|\tau (X)\right| \rightarrow 0} s_{\tau }(f), I^{*}(f) = \lim_{\left|\tau (X)\right| \rightarrow 0} S_{\tau }(f)$ .

Задача 3.8.15

Доказать, что определение $n$ -кратного интеграла Римана в случае $n = 1$ и $X = [a ; b] \subset R^{1}$ равносильно определению интеграла Римана от функции одного переменного по отрезку $[a ; b]$ (см. [2, 6]).

?

Задача 3.8.16

Пусть $X \in R^{n}, \mu (X) = 0$ . Доказать, что любая функция, определенная на $X$ , интегрируема на $X$ и

\int _{X} f(x) d x = 0, \quad x = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n}\right)

?

Задача 3.8.17

Пусть функция $f$ интегрируема на $X, X_{0}$ — подмножество $X$ нулевой меры. Доказать, что $f$ интегрируема на $X \backslash X_{0}$ и

\int _{X \backslash X_{0}} f(x) d x = \int _{X} f(x) d x

?

Задача 3.8.18

Пусть $\Omega$ — измеримое открытое множество, $\bar{\Omega }$ — его замыкание, $\Omega \subset X \subset \bar{\Omega }$ . Доказать, что функция, интегрируемая на $X$ , ограничена на $X$ .

?

Задача 3.8.19

(1)(2)

Доказать, что $I_{*}(f ; X) < I^{*}(f ; X)$ , если $X = [0 ; 1] \times [0 ; 1], x = \left(x_{1} ; x_{2}\right) \in X$ , а:

?

(1)

$f(x) = 1$ , если $x_{1}$ и $x_{2}$ рациональны, $f(x) = 0$ в остальных случаях;

(2)

$f(x) = 1$ , если $x_{1}+x_{2}$ — рациональное число, $f(x) = 0$ в остальных случаях.

Задача 3.8.20

(1)(2)(3)

Доказать, что функция $f$ интегрируема по $X\left(x = \left(x_{1} ; x_{2}\right)\right)$ , если:

?

(1)

$X = [0 ; 1] \times [0 ; 1] ; f(x) = (-1)^{n}$ при $1 /(n+1) < x_{1} < 1 / n, n \in N$ , $0 \leqslant x_{2} \leqslant 1 ; f\left(0 ; x_{2}\right) = 1$ при $0 \leqslant x_{2} \leqslant 1 ;$

(2)

$X = \left\{ \left(x_{1} ; x_{2}\right): \quad \left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right| \leqslant 1\right\} ; f(x) = (-1)^{n}$ при $1-\frac{1}{n} \leqslant \left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right| < 1-1 /(n+1), n \in N ; f(x) = 0$ при $\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right| = 1$ ;

(3)

$X = \left\{ \left(x_{1} ; x_{2}\right): x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leqslant 1\right\} ; f(x) = 1 / n$ при $1 /(n+1) < \sqrt{ } x_{1}^{2}+x_{2}^{-} \leqslant 1 / n, n \in N ; f(0 ; 0) = 0$ .

Задача 3.8.21

Доказать, что функция $f$ интегрируема по $X$ , и вычислить интеграл от $f$ по $X\left(x = \left(x_{1} ; x_{2}\right) \in X\right)$ , если:

?

(1)

$X = [-1 ; 1] \times [-1 ; 1] ; f(x) = \operatorname {sign} x_{1} x_{2}$ ;

(2)

$X = \left\{ \left(x_{1} ; x_{2}\right): 0 \leqslant x_{1} \leqslant 1,0 \leqslant x_{2} \leqslant 1-x_{1}\right\} ; f(x) = (-1)^{n-1}$ при $1 / 2^{n} < x_{1}+x_{2} \leqslant 1 / 2^{n-1}, n \in N ; f(0 ; 0) = 0$ ;

(3)

$X = \left\{ \left(x_{1} ; x_{2}\right): x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leqslant 1\right\} ; f(x) = 1 / 2^{n-1}$ при $1-1 / 2^{n-1} \leqslant \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} < 1-1 / 2^{n}, n \in N ; f(x) = 1$ при $\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} = 1 ;$

(4)

$X = [0 ; 1] \times [0 ; 1] ; f(x) = 1 /\left(q_{1}+q_{2}\right)$ , если $x_{i} = p_{i} / q_{i}$ , где $p_{i} / q_{i}$ — несократимые дроби, $p_{i} \in N, q_{i} \in N, i = 1,2 ; f(x) = 0$ в остальных точках $X$ ;

(5)

$X = [0 ; 1] \times [0 ; 1] ; f(x) = 1 /\left(q_{1} q_{2}\right)$ , если $x_{i} = p_{i} / q_{i}$ , где $p_{i} / q_{i}$ — несократимые дроби, $p_{i} \in N, q_{i} \in N, i = 1,2 ; f(x) = 0$ в остальных точках $X$ .

Задача 3.8.22

Доказать, что функция $f$ неинтегрируема по $X = (0 ; 1] \times [0 ; 1]$ , если $\left(x = \left(x_{1} ; x_{2}\right) \in X\right)$ :

?

(1)

$f(x) = 1$ , если $x_{1}$ и $x_{2}$ — рациональные числа; $f(x) = 0$ в остальных точках;

(2)

$f(x) = 1$ , если $x_{1}$ — рациональное число; $f(x) = 0$ в остальных точках $X$ ;

(3)

$f(x) = 1$ , если $x_{2}$ — нерациональное число; $f(x) = x_{1}$ в остальных точках $X$ ;

(4)

$f(x) = 1$ , если $x_{1} = p_{1} / q, x_{2} = p_{2} / q$ , где $p_{1} / q$ и $p_{2} / q$ — несократимые дроби, $p_{1}, p_{2}, q \in N ; f(x) = 0$ в остальных точках $X$ ;

(5)

$f(x) = 1 /\left(q_{2} q_{2}\right)$ , если $x_{i} = p_{i} / q_{i}$ , где $p_{i} / q_{i}$ — несократимые дроби, $p_{i}, q_{i} \in N, i = 1,2 ; f(x) = 1$ в остальных точках $X$ .

Задача 3.8.23

Указать функцию, непрерывную на измеримом множестве, но не интегрируемую на этом множестве (для сравнения см. достаточное условие интегрируемости).

?

Задача 3.8.24

Пусть функция $f$ непрерывна на открытом множестве $X$ . Доказать, что $f$ интегрируема на любом измеримом множестве $X_{i}$ , лежащем строго внутри $X$ (в том смысле, что каждая точка замыкания $\bar{X}_{1}$ является внутренней для $X$ ).

?

Задача 3.8.25

Пусть функция $f$ непрерывна на открытом множестве $X$ и для любого измеримого открытого множества $X_{1}$ , лежащего строго (см. задачу 24) внутри $X$ ,

\int _{X_{1}} f(x) d x = 0

Доказать, что $f(x) = 0$ на $X$ .

?

Задача 3.8.26

Доказать, что функция, равномерно непрерывная на измеримом множестве, интегрируема по этому множеству.

?

Задача 3.8.27

(1)(2)

?

(1)

Пусть функция $f$ определена на измеримом по Жордану множестве $X$ и множество всех ее точек разрыва имеет положительную меру Жордана. Доказать (не используя теорему Лебега), что $f$ не интегрируема по Риману на $X$ ;

(2)

указать интегрируемую на множестве $X$ (измеримом по Жордану) функцию, множество точек разрыва которой (лежащих в $X$ ) не является множеством меры нуль по Жордану.

Задача 3.8.28

Указать функцию, определенную и неограниченную на множестве $X$ положительной меры Жордана, но интегрируемую на $X$ .

?

Задача 3.8.29

(1)(2)

?

(1)

Пусть множество $X$ измеримо, функция $f$ определена и ограничена на его замыкании $\bar{X}$ и интегрируема на $X$ . Доказать, что $f$ интегрируема на $\bar{X}$ и

\int _{\bar{X}} f(x) d x = \int _{X} f(x) d x

(2)

указать функцию, определенную на замыкании $\bar{X}$ измеримого множества $X$ , интегрируемую на $X$ , но не интегрируемую на $\bar{X}$ .

Задача 3.8.30

Пусть $X$ — измеримое множество, $\bar{X}$ — его замыкание, функция $f$ интегрируема на $\bar{X}$ . Доказать, что $f$ интегрируема на $X$ и

\int _{X} f(x) d x = \int _{\bar{X}} f(x) d x

?

Задача 3.8.31

(1)(2)

?

(1)

Пусть функции $f$ и $g$ определены и ограничены на измеримом множестве $X$ и различны лишь на множестве жордановой меры нуль. Доказать, что если $f$ интегрируема на $X$ , то и $g$ интегрируема на $X$ и

\int _{X} g(x) d x = \int _{X} f(x) d x

(2)

указать функции $f$ и $g$ , определенные на измеримом множестве $X$ , различающиеся лишь на множестве меры нуль, но такие, что $f$ интегрируема на $X$ , а $g$ не интегрируема на $X$ .

Задача 3.8.32

Пусть функция $f$ интегрируема по множеству $X$ , in $X$ — множество всех внутренних точек $X, X_{1}$ — измеримое подмножество in $X, X_{2} = X \backslash X_{1}$ . Доказать, что $f$ интегрируема на $X_{1}$ и на $X_{2}$ и

\int _{X} f(x) d x = \int _{X_{1}} f(x) d x+\int _{X_{2}} f(x) d x

?

Задача 3.8.33

Указать множество $X$ положительной меры и функцию, определенную и неограниченную на $X$ , но интегрируемую и на $X$ , и на любом измеримом подмножестве $X$ .

?

Задача 3.8.34

Указать непересекающиеся множества $X_{1}$ и $X_{2}$ положительной меры и функцию, интегрируемую на $X_{1}$ и на $X_{2}$ , но не интегрируемую на $X_{1} \cup X_{2}$ (см. свойство 3 $)$ ).

?

Задача 3.8.35

(1)(2)

Указать множество $X$ положительной меры и функции $f$ и $g$ , неограниченные и интегрируемые на $X$ и такие, что:

?

(1)

произведение $f \cdot g$ интегрируемо на $X$ ;

(2)

$\inf_{X}\left|g(x)\right| > 0$ и частное $f / g$ интегрируемо на $X$ (см. свойство 5)).

Задача 3.8.36

(1)(2)

Указать:

?

(1)

измеримое множество $X$ и определенную на нем функцию $f$ такие, что функция $\left|f\right|$ интегрируема на $X$ , а $f$ не интегрируема на $X$ (см. свойство 7));

(2)

множество $X$ положительной меры и интегрируемую неограниченную на $X$ функцию $f$ такую, что функция $\left|f\right|$ интегрируема на $X$ и

\left|\int _{X} f(x) d x\right| \leqslant \int _{X}\left|f(x)\right| d x

Задача 3.8.37

Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на множестве $X$ , непрерывны в его внутренней точке $x_{0}$ и $f\left(x_{0}\right) < g\left(x_{0}\right), f(x) \leqslant g(x), x \in X$ . Доказать, что

\int _{X} f(x) d x < \int _{X} g(x) d x

?

Задача 3.8.38

Функция $f$ непрерывна и интегрируема на множестве $X$ и $\int_{X} f(x) d x > 0$ . Доказать, что существует куб $Q \subset X$ такой, что $f(x) > 0$ на $Q$ .

?

Задача 3.8.39

Пусть $X$ — измеримое множество положительной меры, функция $f$ интегрируема на $X$ и $f(x) > 0$ для всех $x \in X$ . Доказать, что

\int _{X} f(x) d x > 0

?

Задача 3.8.40

Пусть $X_{1}$ — линейно связное измеримое множество, $X_{0}$ множество меры нуль, $X = X_{1} \cup X_{0}$ , и пусть функция $f$ ограничена и интегрируема на $X$ и непрерывна на $X_{1}$ . Доказать, что существует такая точка $\xi \in X$ , что

\int _{X} f(x) d x = f(\xi ) \mu \left(X_{1}\right)

?

Задача 3.8.41

(1)(2)(3)

Доказать неравенства $\left(x = \left(x_{1} ; x_{2}\right)\right)$ :

?

(1)

$1,96 < \int_{X}\left(100+\cos^{2} x_{1}+\cos^{2} x_{2}\right)^{-1} d x < 2$ , где $X = \left\{ \left(x_{1} ; x_{2}\right) : \left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right| \leqslant 10\right\}$ ;

(2)

$\frac{\sqrt{2}}{3} \pi < \int_{X} \frac{\sqrt{x_{1}^{4}+x_{2}^{4}}}{4+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}} d x < \frac{3}{4} \pi$ , где $X = \left\{ \left(x_{1} ; x_{2}\right): 1 \leqslant x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leqslant 4\right\}$ ;

(3)

$\frac{4-\sqrt{2}}{7 \ln 2} < \int_{X} \frac{2^{x_{1}-x_{2}}}{1+2^{x_{1}+x_{2}}} d x < \frac{16-2 \sqrt{2}}{31 \ln 2}$ , где $X = [2,5 ; 3] \times [-1 ;-0,5]$ .

Указание. Можно воспользоваться результатом задачи 6.

Задача 3.8.42

(1)(2)(3)(4)

Пусть $X_{n} = [0 ; n] \times [0 ; n], y_{n} = X_{n+1} \backslash X_{n}, n \in N$ . Доказать, что

\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{Y_{n}} f(x) d x = 0

если для $x \in Y_{n}, n \in N, x = \left(x_{1} ; x_{2}\right)$ :

?

(1)

$f(x) = \left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{\alpha }, \alpha < -1 / 2$ ;

(2)

$f(x) = x_{1} x_{2} /\left(x_{1}+x_{2}\right)^{4}$ ;

(3)

$f(x) = \left(1+x_{1} x_{2}\right)^{-2}$ ;

(4)

$f(x) = e^{-\left|x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right|}$ .

Задача 3.8.43

(1)(2)

Пусть $Y_{n}$ — множества из задачи 42. Доказать, что

\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{Y_{n}} f(x) d x = +\infty

если для $x \in Y_{n}, n \in N, x = \left(x_{1} ; x_{2}\right)$ :

?

(1)

$f(x) = \left(2 x_{1}+x_{2}\right)^{-1 / 2}$ ;

(2)

$f(x) = \left(1+\left|x_{1}-x_{2}\right|\right)^{-1}$ .

Задача 3.8.44

Пусть $Y_{n}$ — множества из задачи 42. Доказать, что $\left(x = \left(x_{1} ; x_{2}\right)\right)$

\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{Y_{n}} \frac{d x}{1+x_{2} \ln \left(x_{1}+x_{2}\right)} = 1

?

Задача 3.8.45

Пусть функция $f$ непрерывна, неотрицательна и интегрируема на $X, M = \sup f$ . Доказать, что

\lim _{n \rightarrow \infty }\left(\int _{X}(f(x))^{n} d x\right)^{1 / n} = M

?

Задача 3.8.46

Пусть функция $f$ интегрируема по $X, X_{0}$ — множество всех таких точек замыкания $X$ , в любой окрестности каждой из которых функция $f$ не ограничена. Доказать, что существует такое $\delta > 0$ , что для любого разбиения $\tau (X)$ с мелкостью $\left|\tau (X)\right| < \delta$ мера любого его элемента, замыкание которого имеет с $X_{0}$ общую точку, равна нулю.

?

Задача 3.8.47

Пусть измеримое множество таково, что существуют его разбиения сколь угодно малой мелкости, все элементы которых имеют положительную меру. Доказать, что всякая интегрируемая на этом множестве функция ограничена на нем.

?

Задача 3.8.48

Пусть функция $f$ интегрируема по множеству $X$ положительной меры, $X_{0}$ — множество всех точек замыкания $X$ , в любой окрестности каждой из которых функция $f$ не ограничена, in $X$ множество всех внутренних точек $X$ . Доказать, что расстояние между $X_{0}$ и in $X$ положительно.

?

Задача 3.8.49

(1)(2)

?

(1)

Пусть функция $f$ интегрируема по множеству $X$ положительной меры, in $X$ — множество всех внутренних точек $X$ . Доказать, что $f$ интегрируема и ограничена на множестве $X \cap \overline{\operatorname {in} X}$ и

\int _{X \cap \operatorname {in} X} f(x) d x = \int _{X} f(x) d x

(2)

указать множество $X$ положительной меры и определенную на нем функцию $f$ , которая интегрируема на $X \cap \overline{\mathrm{in} X}$ , но не интегрируема на $X$ .

Задача 3.8.50

Пусть функция $f$ интегрируема по множеству $X$ положительной меры, in $X$ — множество всех внутренних точек $X$ . Доказать, что существует такое подмножество $X_{0} \subset X$ нулевой меры, что $f$ ограничена на $X \backslash X_{0}$ и расстояние между $X_{0}$ и in $X$ положительно.

?

Задача 3.8.51

Пусть $X$ — множество положительной меры, in $X$ — множество всех его внутренних точек, $X_{0} \subset X, \mu \left(X_{0}\right) = 0, \rho \left(X_{0}\right.$ ; in $\left.X\right) > 0$ . Доказать, что если функция $f$ определена на $X$ , ограничена на $X \backslash X_{0}$ и интегрируема на $X \cap \overline{\operatorname {in} X}$ , то $f$ интегрируема на $X$ и

\int _{X} f(x) d x = \int _{X \cap \overline{\operatorname {in} X}} f(x) d x

?

Задача 3.8.52

(1)(2)

?

(1)

Доказать свойства 2), 3), 5), 7), 8), 10) кратного интеграла Римана;

(2)

пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на множестве $X$ положительной меры, in $X$ — множество всех внутренних точек $X, g$ не меняет знака на in $X$ . Доказать, что:

существует такое число $\lambda$ , что
$\inf _{\operatorname {in} X} f \leqslant \lambda \leqslant \sup _{\text{in } X} f, \quad \int _{X} f(x) g(x) d x = \lambda \int _{X} g(x) d x$
если к тому же $X$ — линейно связное множество или замыкание линейно связного множества и $f$ непрерывна на in $X$ , то существует такая точка $\xi \in$ in $X$ , что
$\int _{X} f(x) g(x) d x = f(\xi ) \int _{X} g(x) d x$

Задача 3.8.53

Пусть функция $f$ интегрируема на $X$ . Доказать, что для любого $\varepsilon > 0$ есть такое $\delta > 0$ , что для любого измеримого подмножества $X_{1} \subset X$ такого, что $\mu \left(X_{1}\right) < \delta$ ,

\left|\int _{X_{1}} f(x) d x\right| < \varepsilon

?

Задача 3.8.54

Пусть функция $f$ интегрируема на $X$ , и пусть $f(x) = 0$ в каждой точке $x \in X$ , в которой она непрерывна. Доказать, что

\int _{X} f(x) d x = 0

?

Задача 3.8.55

Пусть функция $f$ непрерывно дифференцируема на квадрате $X = [0 ; 1] \times [0 ; 1]$ . Найти

\lim _{n \rightarrow \infty } n\left(\int _{X} f(x) d x-\frac{1}{n^{2}} \sum _{i, j = 1}^{n} f\left(\frac{i}{n} ; \frac{j}{n}\right)\right)

?

Задача 3.8.56

Пусть линии уровня непрерывной функции $f(x ; y)$ — простые гладкие замкнутые кривые, пусть $v_{0}$ — фиксированное значение $f, \Omega (v)$ — область, ограниченная линиями уровня $f(x ; y) = v_{0}$ и $f(x ; y) = v, S(v)$ — площадь этой области. Доказать, что

\iint _{\Omega (v)} f(x ; y) d x d y = \int _{v_{0}}^{v} u S^{\prime }(u) d u

?

Задача 3.8.57

Пусть функция $f$ интегрируема на $X$ и $a \leqslant f(x) \leqslant b, x \in X$ , функция $g$ непрерывна на $[a ; b]$ . Доказать, что композиция $g \circ f$ интегрируема на $X$ .

?

Задача 3.8.58

Пусть функция $f$ интегрируема на $X$ и $a \leqslant f(x) \leqslant b, x \in X$ , функция $g$ выпукла (вверх или вниз) на $[a ; b]$ . Доказать, что композиция $g \circ f$ интегрируема на $X$ .

?

Задача 3.8.59

Пусть функция $f$ интегрируема на $X$ . Доказать, что для любого $p > 0$ функция $|f|^{p}$ интегрируема на $X$ .

?

Задача 3.8.60

Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на $X, p > 1,1 / p+1 / q = 1$ . Доказать, что

\int _{X}|f(x) g(x)| d x \leqslant \frac{1}{p} \int _{X}|f(x)|^{p} d x+\frac{1}{q} \int _{X}|g(x)|^{q} d x

?

Задача 3.8.61

Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на $X, p > 1,1 / p+1 / q = 1$ . Доказать неравенство Гёльдера

\int _{X}\left|f(x) g(x)\right| d x \leqslant \left(\int _{X}|f(x)|^{p} d x\right)^{1 / p}\left(\int _{X}|g(x)|^{q} d x\right)^{1 / q}.

?

Задача 3.8.62

Пусть функция $f$ интегрируема на $X, p > 1,1 / p+1 / q = 1$ . Доказать, что

\int _{X}\left|f(x)\right| d x \leqslant (\mu (X))^{1 / q}\left(\int _{X}|f(x)|^{p} d x\right)^{1 / p}

?

Задача 3.8.63

(1)(2)

Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на $X$ . Доказать неравенства Минковского:

?

(1)

если $p \geqslant 1$ , то

\left(\int _{X}|f(x)+g(x)|^{p} d x\right)^{1 / p} \leqslant \left(\int _{X}|f(x)|^{p} d x\right)^{1 / p}+\left(\int _{X}|g(x)|^{p} d x\right)^{1 / p}

(2)

если $0 < p < 1$ , то

\left(\int _{X}|f(x)+g(x)|^{p} d x\right)^{1 / p} \geqslant \left(\int _{X}|f(x)|^{p} d x\right)^{1 / p}+\left(\int _{X}|g(x)|^{p} d x\right)^{1 / p}.

Задача 3.8.64

Пусть функция $f$ интегрируема на $X$ и $f(x) = 0$ вне $X$ , пусть $h \in R^{n}$ .

?

(1)

Указать такие $X, f$ и $h$ , что функция $f(x+h), x \in X$ , не интегрируема на $X$ ;

(2)

пусть дополнительно $f$ ограничена на $X$ . Доказать, что функция $f(x+h), x \in X$ , интегрируема на $X$ для любого $h \in R^{n}$ ;

(3)

при тех же условиях, что и в 2), доказать, что

\left.\lim _{h \rightarrow 0} \int _{X} \mid f(x+h)-f(x)\right) \mid d x = 0

(4)

не предполагая ограниченности $f$ на $X$ , доказать, что существует такое $\delta > 0$ , что для любого $h \in R^{n}$ такого, что $\left|h\right| < \delta$ , функция $f(x+h), x \in X$ , интегрируема на $X$ ;

(5)

при тех же условиях, что и в 4), доказать равенство из 3).

Задача 3.8.65

(1)(2)

?

(1)

Пусть функция $f$ интегрируема и ограничена на $X \subset R^{n}$ , $Y$ — измеримое множество в $R^{n}, Y \supset X$ . Пусть $\tilde{f}$ — продолжение $f$ нулем на $Y$ [^fn1]. Доказать, что $\tilde{f}$ интегрируема на $Y$ и

\int _{Y} \tilde{f}(x) d x = \int _{X} f(x) d x

(2)

указать измеримые множества $X$ и $Y$ из $R^{n}, X \subset Y$ , и функцию $f$ , интегрируемую на $X$ , такие, что $\tilde{f}$ — продолжение $f$ нулем на $Y$ (см. 1)), не интегрируемо на $Y$ .

Задача 3.8.66

Пусть $X$ и $Y$ — измеримые множества в $R^{n}, X \subset Y, Y$ — открытое множество или замыкание открытого множества. Пусть функция $f$ интегрируема на $X$ , а ее продолжение нулем на $Y$ интегрируемо на $Y$ . Доказать, что $f$ ограничена на $X$ .

?

Задача 3.8.67

Одно из возможных определений интеграла Римана таково $\left(x = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n}\right)\right)$ . Пусть

I = \left\{ x \in R^{n}: \quad a_{i} \leqslant x_{i} \leqslant b_{i}, \quad i = 1, \ldots , n\right\}

прямоугольный параллелепипед в $R^{n}$ с ребрами, параллельными координатным осям (говорят также: промежуток, брус). Мерой $M(I)$ такого параллелепипеда называют произведение

\prod _{i = 1}^{n}\left(b_{i}-a_{i}\right)

что совпадает с мерой Жордана $(\S 7)$ прямоугольного параллелепипеда. Рассматривают разбиения данного параллелепипеда $I$ на параллелепипеды же плоскостями, параллельными координатным. Используя только такие разбиения, определяют интеграл по $I$ от функции $f$ , определенной на $I$ , посредством сумм Римана так же, как и в определении (2) в начале этого параграфа.

?

(1)

Доказать, что для параллелепипеда $I$ такое определение интеграла от $f$ по $I$ равносильно определению (2).

Далее, пусть функция $f$ определена на ограниченном множестве $X, I$ — параллелепипед, содержащий $X, X \subset I$ . Пусть $\varkappa_{X}$ — характеристическая функция $X$ [^fn1]. Если существует интеграл [^fn2]

\int _{I} f_{\varkappa _{X}}(x) d x

то его называют интегралом Римана от $f$ по $X$ и обозначают $\int_{X} f(x) d x$ , т. е.

\int _{X} f(x) d x = \int _{I} f_{\varkappa _{X}}(x) d x

(2)

Доказать, что существование интеграла (33) и его величина не зависят от выбора параллелепипеда $I$ , содержащего $X$ .

Отметим, что в определении (33) множество $X$ не предполагают измеримым по Жордану.

(3)

Доказать, что если $\mathrm{X}$ неизмеримо по Жордану и $f =$ const $\neq 0$ на $X$ , то $f$ не интегрируема на $X$ в смысле определения (33).

Мерой ограниченного множества $X \subset R^{n}$ называют число

\mu (X) = \int _{X} 1 d x

если этот интеграл в смысле (33) существует.

(4)

Доказать, что такое определение меры равносильно определению из §7 меры Жордана, а сами меры совпадают.

(5)

Доказать, что если функция $f$ интегрируема на $X$ в смысле (33), то $f$ ограничена на $X$ .

(6)

Указать такое множество $X$ и определенную на нем функцию $f$ , что $f$ интегрируема на $X$ в смысле (33), но $X$ неизмеримо по Жордану и, следовательно, интеграл от $f$ по $X$ в смысле определения (2) не существует.

(7)

Указать измеримое по Жордану множество $X$ и определенную на нем функцию $f$ , которая интегрируема на $X$ в смысле определения (2), но не интегрируема на $X$ в смысле (33).

(8)

Доказать, что на классах измеримых по Жордану множеств и ограниченных функций определения интеграла (2) и (33) равносильны.

Задача 3.8.68

(1)(2)(3)(4)

Пусть семейство измеримых в $R^{n}$ множеств $X(\lambda ), \lambda \in [0 ; 1]$ , таково, что функция $\mu (\lambda ) = \mu (X(\lambda ))$ непрерывна на $[0 ; 1]$ и $X\left(\lambda_{1}\right) \subset \subset X\left(\lambda_{2}\right)$ для любых $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ из $[0 ; 1]$ таких, что $\lambda_{1} < \lambda_{2}$ . Пусть функция $f$ интегрируема на $X(1)$ .

?

(1)

Доказать, что функция $\varphi (\lambda ) = \int_{X(\lambda )} f(x) d x$ непрерывна на $[0 ; 1]$ .

(2)

Пусть $\mu (0) = 0, f(x) > 0$ для любого $x \in X(1)$ . Доказать, что для любого $\theta \in [0 ; 1]$ найдется $\lambda (\theta ) \in [0 ; 1]$ такое, что

\theta \int _{X(1)} f(x) d x = \int _{X(\lambda (\theta ))} f(x) d x

(3)

Пусть дополнительно к условиям 2) функция $\mu (\lambda )$ строго возрастает на $[0 ; 1]$ . Доказать, что для любого $\theta \in [0 ; 1]$ уравнение относительно $\lambda (\theta )$ из 2) имеет только одно решение.

(4)

Пусть дополнительно к условиям 2) и 3) $X(0) = \left\{ x_{0}\right\}$ — точка в $R^{n}, \operatorname {diam} X(\lambda ) \rightarrow 0$ при $\lambda \rightarrow 0$ , функция $f$ непрерывна в точке $x_{0}$ . Найти

\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\mu (\lambda (\theta ))}{\theta }

Задача 3.8.69

Пусть функция $f$ интегрируема по $X, x_{0} \in X, \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = a$ . Пусть $Q_{\lambda }$ — куб с центром $x_{0}$ и ребрами длины $\lambda , X_{\lambda } = X \cap Q_{\lambda }$ и $\mu \left(X_{\lambda }\right) > 0$ для любого $\lambda > 0$ . Доказать, что

\lim _{\lambda \rightarrow 0} \frac{1}{\mu \left(X_{\lambda }\right)} \int _{X_{\lambda }} f(x) d x = a

?

Задача 3.8.70

(1)(2)

?

(1)

Пусть $\Omega_{n}, n \in N$ , — последовательность открытых шаров с центрами в начале координат и с радиусами $R_{n} > 0, \lim_{n \rightarrow \infty } R_{n} = +\infty$ . Пусть функция $f$ определена на $R^{n}$ , интегрируема по любому шару $\Omega_{n}, n \in N$ , и $\lim_{x \rightarrow \infty } f(x) = a$ . Доказать, что

\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{1}{\mu \left(\Omega _{n}\right)} \int _{\Omega _{n}} f(x) d x = a

(2)

Доказать предыдущий результат, заменив последовательность шаров $\Omega_{n}$ такой произвольной последовательностью измеримых открытых множеств $X_{n}, n \in N$ , что $\mu \left(X_{n}\right) > 0, X_{n} \subset X_{n+1}, n \in N$ , и $\bigcup_{n = 1}^{\infty } X_{n} = R^{n}$ .

Задача 3.8.71

Пусть $X = [0 ; 1] \times [0 ; 1], x = \left(x_{1} ; x_{2}\right)$ , функция $f$ непрерывна на $X$ . Найти

\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{X} f\left(x_{1}^{n} ; x_{2}^{n}\right) d x

?

Задача 3.8.72

Указать измеримое множество $X$ и интегрируемую на нем функцию, у которой множество содержащихся в $X$ точек разрыва неизмеримо по Жордану, но имеет нулевую меру по Лебегу.

?

Задача 3.8.73

Пусть функция $f$ интегрируема на множестве $X, \tau (X) = \left\{ X_{j}, j = 1, \ldots , N\right\}$ — разбиение $X$ . Пусть $\sigma > 0$ , а $X_{\sigma }$ — объединение всех элементов $X_{j} \in \tau (X)$ , на каждом из которых колебание $\omega \left(f ; X_{j}\right) \geqslant \sigma$ . Доказать, что для любого $\varepsilon > 0$ и любого $\delta > 0$ существует такое разбиение $\tau (X)$ с мелкостью $\left|\tau (X)\right| < \delta$ , что $\mu \left(X_{\sigma }\right) < \varepsilon$ .

?

Задача 3.8.74

Доказать критерий Лебега интегрируемости ограниченных функций.

?

Задача 3.8.75

Вычислить повторные интегралы:

?

(1)

$\int_{0}^{\pi / 2} d x \int_{0}^{x} \cos (x+y) d y$ ;

(2)

$\int_{-1}^{1} d y \int_{2 y}^{y}(x-y) e^{y} d x ;$

(3)

$\int_{0}^{\pi / 2} d \varphi \int_{1}^{\cos \varphi } r \sin \varphi \cdot \ln r d r$ ;

(4)

$\int_{0}^{\sin x} d u \int_{0}^{u} \frac{u v}{\sqrt{u^{2}-v^{2}}} d v ;$

(5)

$\int_{-\pi }^{\pi } d x \int_{\sin x}^{\cos x} d y \int_{y+x}^{y-x}(x+y+z) d z$ .

Задача 3.8.76

(1)(2)

Пусть функция $f(y)$ непрерывна на отрезке $[0 ; a]$ . Доказать, что:

?

(1)

$\int_{0}^{a} d x \int_{0}^{x} f(y) d y = \int_{0}^{a}(a-x) f(x) d x$ ;

(2)

$\int_{0}^{a} d x \int_{x}^{a} f(y) d y = \int_{0}^{a} y f(y) d y$ .

Задача 3.8.77

Пусть функция $\psi (x)$ непрерывно дифференцируема на отрезке $[0 ; a]$ и $m \leqslant \psi (x) \leqslant M$ на $[a ; b]$ , пусть функция $f(y)$ непрерывна на отрезке $[c ; d]$ , где $0 \in [c ; d],[m ; M] \subset [c ; d]$ . Доказать, что

\int _{0}^{a} d x \int _{0}^{\psi (x)} f(y) d y = a \int _{0}^{\psi (0)} f(x) d x+\int _{0}^{a}(a-x) f(\psi (x)) \psi ^{\prime }(x) d x.

?

Задача 3.8.78

Для заданного множества $G$ записать интеграл $\iint_{G} f(x ; y) d x d y$ в виде повторных интегралов с разными порядками интегрирования.

$G$ — треугольник, ограниченный прямыми:

?

(1)

$x = 0, y = 0, a x+b y = c$ ;

(2)

$x = 0, y = a, m x-n y = b$ ;

(3)

$y = 0, y = k x, x = a$ ;

(4)

$x = 2 a, y = 2 a, x+y = a$ ;

(5)

$x = a, y-k x = 0, y+l x = 0, a > 0, k > 0, l > 0$ ;

(6)

$x = a, y-k x = 0, y-l x = 0, a > 0, l > k$ ;

(7)

$y = h, a y = h x, a y = 4 a h-h x, a > 0, h > 0$ ;

(8)

$y = 2 k x, y = -k x, 2 k x+y = 2 a, k > 0$ ;

(9)

$y = l x, y = k x, x+y = (k+1)(l+1), l > k$ .

Задача 3.8.79

Для заданного множества $G$ записать интеграл $\iint_{G} f(x ; y) d x d y$ в виде повторных интегралов с разными порядками интегрирования.

$G$ — четырехугольник, ограниченный прямыми $(a > 0)$ :

?

(1)

$x = 0, y = 0, y = a, x+y = 2 a$ ;

(2)

$x = 0, x = a, y = x, x+y = 3 a$

(3)

$y = 0, y = a, x+y = 0, x+y = 2 a$ ;

(4)

$2 y = x, 2 y = x+6, y = 2 x, y = 2 x-3$ ;

(5)

$x = 0, y = 0, x-y = a, x+y = 2 a$ .

Задача 3.8.80

Для заданного множества $G$ записать интеграл $\iint_{G} f(x ; y) d x d y$ в виде повторных интегралов с разными порядками интегрирования.

$G$ ограничено линиями:

?

(1)

$y = x^{2}, x+y = 2$ ;

(2)

$x = 0, x = -\sqrt{y}, x = -\sqrt{2-y}$ ;

(3)

$y = 0, x = \sqrt{y}, x+y = 6$

(4)

$x = 0, x = \sin y, x = \cos y(0 \leqslant y \leqslant \pi / 2)$ ;

(5)

$x = \sqrt{4-y^{2}}, x = \sqrt{4 y-y^{2}}, y = 2$ ;

(6)

$x = 0, x = 1, x = y^{2}, y = e^{x}$ ;

(7)

$x = 0, x = \pi / 2, y = \sin x, y = 2+\cos x(0 \leqslant x \leqslant \pi / 2)$ .

Задача 3.8.81

Для заданного множества $G$ записать интеграл $\iint_{G} f(x ; y) d x d y$ в виде повторных интегралов с разными порядками интегрирования.

$G$ задано неравенствами:

?

(1)

$x^{2}+y^{2} \leqslant 2 a x$ ;

(2)

$x^{2}+y^{2} \leqslant 2 R y, x \geqslant 0$ ;

(3)

$x^{2}+y^{2} \leqslant 4 x, y \geqslant x$ ;

(4)

$x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}, x+y \geqslant R$

(5)

$y^{2} \leqslant 2 p x+p^{2}, y \geqslant x$ ;

(6)

$x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}, x+y \geqslant 0$

(7)

$x^{2}+y^{2} \geqslant R^{2}, x^{2}+y^{2} \leqslant 2 R x, y \geqslant 0$ ;

(8)

$x^{2}-y^{2} \leqslant a^{2}, x^{2}+y^{2} \leqslant 3 a^{2}$ .

Задача 3.8.82

Записать повторный интеграл или сумму повторных интегралов в виде двойного и нарисовать множество интегрирования:

?

(1)

$\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{\arccos y} f(x ; y) d x$ ;

(2)

$\int_{0}^{2 a} d x \int_{x-a}^{3 a-x} f(x ; y) d y$ ;

(3)

$\int_{1}^{e} d x \int_{\ln x}^{e^{x}} f(x ; y) d y$

(4)

$\int_{0}^{2} d y \int_{y^{2}}^{y+2} f(x ; y) d x$ ;

(5)

$\quad \int_{-2}^{1} d x \int_{-2}^{x} f(x ; y) d y+\int_{1}^{4} d x \int_{2 x-4}^{x} f(x ; y) d y$ ;

(6)

$\int_{0}^{1} d y \int_{-\sqrt{2 y-y^{2}}}^{y} f(x ; y) d x+\int_{1}^{2} d y \int_{-\sqrt{2 y-y^{2}}}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} f(x ; y) d x$ ;

(7)

$\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{\arcsin y} f(x ; y) d x+\int_{1}^{2} d y \int_{0}^{2-y} f(x ; y) d x$ ;

(8)

$\int_{0}^{1} d y \int_{-\sqrt{2 y-y^{2}}}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} f(x, y) d x+\int_{1}^{2} d y \int_{-\sqrt{2-y}}^{\sqrt{2-y}} f(x, y) d x$ ;

(9)

$\int_{0}^{1 / 2} d x \int_{-\sqrt{2 x-x^{2}}}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} f(x, y) d y+\int_{1 / 2}^{1} d x \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) d y$

(10)

$\int_{0}^{1} d x \int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}} f(x, y) d y+\int_{1}^{4} d x \int_{x-2}^{\sqrt{x}} f(x, y) d y$

(11)

$\int_{-1}^{0} d y \int_{-1}^{y} f(x, y) d x+\int_{1}^{0} d y \int_{y-1}^{y} f(x ; y) d x+\int_{1}^{2} d y \int_{y-1}^{1} f(x ; y) d x$ ;

(12)

$\int_{0}^{1 / 2} d y \int_{\sqrt{1-2 y}}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x ; y) d x+\int_{1 / 2}^{1} d y \int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x ; y) d x$ .

Задача 3.8.83

Изменить порядою интегрирования в повторных интегралах:

?

(1)

$\int_{0}^{a} d x \int_{0}^{x} f(x ; y) d y, a > 0$ ;

(2)

$\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{y^{2}+y} f(x ; y) d x$ ;

(3)

$\int_{-1}^{2} d x \int_{2 x}^{(7 x+10) / 6} f(x ; y) d y$

(4)

$\int_{-\pi }^{\pi } d x \int_{-1}^{\cos x} f(x ; y) d y$ ;

(5)

$\int_{-6}^{2} d x \int_{x^{2} / 4-1}^{2-x} f(x ; y) d y$ ;

(6)

$\int_{-1}^{0} d y \int_{\sqrt{1-y^{2}}}^{2 \sqrt{y+1}} f(x ; y) d x$

(7)

$\int_{2}^{4} d x \int_{2(x-1) / 3}^{\log_{2} x} f(x ; y) d y$ ;

(8)

$\int_{\pi / 2}^{\pi } d x \int_{\cos x}^{\sin x} f(x ; y) d y$

(9)

$\int_{1}^{2} d x \int_{\ln x}^{3 x} f(x ; y) d y$

(10)

$\int_{-1}^{2} \int_{x^{2}-1}^{3+2 x-x^{2}} f(x ; y) d y$ ;

(11)

$\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} d y \int_{\sqrt{12-y^{2}}}^{2+\sqrt{4-y^{2}}} f(x ; y) d x$ ;

(12)

$\int_{\pi / 4}^{\pi } d x \int_{\cos x}^{\sin x} f(x ; y) d y$ ;

(13)

$\int_{-1}^{1} d x \int_{x^{2}}^{1+\sqrt{1-x^{2}}} f(x ; y) d y ;$

(14)

$\int_{1}^{3} d x \int_{x}^{2 x} f(x ; y) d y$ ;

(15)

$\int_{-1}^{1} d x \int_{x^{2}}^{2 x^{2}-1} f(x ; y) d y$ ;

(16)

$\int_{0}^{2} d x \int_{\sqrt{2 x-x^{2}}}^{2 \sqrt{x}} f(x ; y) d y$ .

Задача 3.8.84

(1)(2)(3)(4)

Выразить сумму повторных интегралов через один повторный интеграл, переменив порядою интегрирования:

?

(1)

$\int_{0}^{1} d y \int_{y / 2}^{2 y} f(x ; y) d x+\int_{1}^{4} d y \int_{y / 2}^{2} f(x ; y) d x$

(2)

$\int_{0}^{\sqrt{3}} d x \int_{0}^{x / 2} f(x ; y) d y+\int_{\sqrt{3}}^{2} d x \int_{\sqrt{x^{2}-3}}^{x / 2} f(x ; y) d y$ ;

(3)

$\int_{1}^{3} d y \int_{0}^{\log_{3} y} f(x ; y) d x+\int_{3}^{4} d y \int_{0}^{4-y} f(x ; y) d x$ ;

(4)

$\int_{-\pi / 2}^{3 \pi / 2} d x \int_{-1}^{\sin x} f(x ; y) d y+\int_{\pi / 2}^{5 \pi / 2} d x \int_{\sin x}^{1} f(x ; y) d y$ .

Задача 3.8.85

Вычислить повторные интегралы, переменив порядок интегрирования:

?

(1)

$\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\left(1-y^{2}\right)^{3 / 2} d y$ ;

(2)

$\int_{0}^{\pi } d y \int_{y}^{\pi } \frac{\sin x}{x} d x$ ;

(3)

$\int_{0}^{a} d x \int_{x}^{a}\left(a^{2}-y^{2}\right)^{\alpha } d y, a > 0, \alpha > 0$ ;

(4)

$\int_{-1}^{1} d x \int_{\sqrt[3]{\left|x\right|}}^{1}\left(1-y^{2}\right)^{\alpha } d y, \alpha > 0$

(5)

$\int_{0}^{1} d y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt[5]{y}} \sqrt{1-x^{3}} d x$ ;

(6)

$\int_{0}^{1} d x \int_{\sqrt[3]{x}}^{1} y^{2} \sqrt{y^{4}-x^{2}} d y$ .

Задача 3.8.86

Пусть функция $f$ интегрируема по Риману на отрезке $[a ; b]$ . Доказать, что

\left(\int _{a}^{b} f(x) d x\right)^{2} \leqslant (b-a) \int _{a}^{b} f^{2}(x) d x

?

Задача 3.8.87

Пусть $f(x ; y) = 1 / y^{2}$ , если $0 < x < y < 1 ; f(x ; y) = -1 / x^{2}$ , если $0 < y < x < 1 ; f(x ; y) = 0$ в остальных точках квадрата $X = [0 ; 1] \times [0 ; 1]$ . Доказать, что существуют оба повторных интеграла,

\int _{0}^{1} d x \int _{0}^{1} f(x ; y) d y \quad \text{ и } \quad \int _{0}^{1} d y \int _{0}^{1} f(x ; y) d x

и они не равны друг другу. Доказать, что $f$ не интегрируема на квадрате $[0 ; 1] \times [0 ; 1]$ .

?

Задача 3.8.88

Пусть $f(x ; y) = y$ , если $x$ — рациональное число; $f(x ; y) = 0$ , если $x$ — нерациональное число. Доказать, что $f$ не интегрируема на прямоугольнике $[0 ; 1] \times [-1 ; 1]$ и что существует один из повторных интегралов

\int _{0}^{1} d x \int _{-1}^{1} f(x ; y) d y, \quad \int _{-1}^{1} d y \int _{0}^{1} f(x ; y) d x

а другой не существует.

?

Задача 3.8.89

Пусть $f\left(x_{1} ; x_{2}\right) = 1$ , если $x_{i} = p_{i} / q$ , где $p_{i} < q, p_{i} \in Z, p_{i} \geqslant 0, q \in N, p_{i} / q$ — несократимые дроби, $i = 1,2$ , и $f\left(x_{1} ; x_{2}\right) = 0$ в остальных точках. Доказать, что, хотя $f$ не интегрируема на квадрате $[0 ; 1] \times [0 ; 1]$ (задача 22,4 $)$ этого параграфа), существуют равные между собой повторные интегралы

\int _{0}^{1} d x_{1} \int _{0}^{1} f\left(x_{1} ; x_{2}\right) d x_{2} \quad \text{ и } \quad \int _{0}^{1} d x_{2} \int _{0}^{1} f\left(x_{1} ; x_{2}\right) d x_{1}

?

Задача 3.8.90

Вычислить двойные интегралы.

?

(1)

$\iint_{G}(x \sin y+y \cos x) d x d y, G = \left[0 ; \frac{\pi }{2}\right] \times \left[0 ; \frac{\pi }{2}\right]$ ;

(2)

$\iint_{G} \frac{y}{x^{2}} d x d y, \quad G = \left\{ 0 < x, x^{3} \leqslant y \leqslant x^{2}\right\}$ ;

(3)

$\iint_{G} x^{2} y^{2} d x d y, G$ ограничено линиями $x = y^{2}, x = 1$ ;

(4)

$\iint_{G} x y^{2} d x d y, G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}, x \geqslant 0\right\}$ ;

(5)

$\iint_{G}\left(x^{3}+y^{3}\right) d x d y, G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}, y \geqslant 0\right\}$ ;

(6)

$\iint_{G}(x+2 y) d x d y, G$ ограничено прямыми $y = x, y = 2 x, x = 2$ , $x = 3$ ;

(7)

$\iint_{G}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y, G$ ограничено прямыми $y = x, y = x+a$ , $y = a, \quad y = 3 a$ ;

(8)

$\iint_{G} \sqrt{x-y} d x d y, G = \left\{ \frac{4}{5} x \leqslant y \leqslant x, 1 \leqslant y \leqslant 4\right\}$ ;

(9)

$\iint_{G} \sin \pi (x-y) d x d y, G$ — треугольник с вершинами $(-4 ; 1)$ , $(-1 ;-1 / 2),(7 / 2 ; 17 / 2)$ .

Задача 3.8.91

Вычислить двойные интегралы.

?

(1)

$\iint_{G} e^{x-y} d x d y, G$ ограничено прямыми $x = -1, x = 1, y = x$ , $y = 2 x ;$

(2)

$\iint_{G}(x+y) d x d y, G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}, y \geqslant x\right\}$ ;

(3)

$\iint_{G} x y d x d y, G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant 25,3 x+y \geqslant 5\right\}$ ;

(4)

$\iint_{G} x d x d y, G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant 2, x^{2}-y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ ;

(5)

$\iint_{G} y d x d y, G = \left\{ 0 \leqslant y \leqslant 6, x < 6, x y > 3, y-x-2 < 0\right\}$ ;

(6)

$\iint_{G}(2 y-x) d x d y, G = \left\{ y(y-x) \leqslant 2, x(x+y) \leqslant 3\right\}$ ;

(7)

$\iint_{G} x^{2} y^{2} d x d y, G = \left\{ y > 0, x y < 1, x^{2}-3 x y+2 y^{2} < 0\right\}$ .

Задача 3.8.92

Вычислить двойные интегралы.

?

(1)

$\iint_{G} \begin{aligned} & x d x d y \\ & x^{2}+y^{2}\end{aligned}, G$ ограничено линиями $y = x \operatorname {tg} x, \quad y = x$ , $0 \leqslant x < \pi / 2$ ;

(2)

$\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} e^{x^{2}} d x d y$ ;

(3)

$\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{y}}^{1} \sin \left(x^{3}-1\right) d x d y$ ;

(4)

$\int_{0}^{1} \int_{(x-1) / 2}^{0} \operatorname {tg}\left(y^{2}+y\right) d y d x ;$

(5)

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-y} e^{2 x-x^{2}} d x d y$ ;

(6)

$\iint_{G} \sqrt{y^{2}-x^{2}} d x d y ; G$ ограничено прямыми $y = 1, y = x, y = -x$ .

Задача 3.8.93

Вычислить двойные интегралы.

?

(1)

$\iint_{G}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y, G = \left\{ a \leqslant \left|x\right| \leqslant b, a \leqslant \left|y\right| \leqslant b\right\} , 0 \leqslant a \leqslant b$ ;

(2)

$\iint_{G}\left|y\right| d x d y, G = \left\{ \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4} \leqslant 1, x^{2}+y^{2} \geqslant 1\right\}$ ;

(3)

$\iint_{G}(2-x-y) d x d y, G = \left\{ 2 y \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ;

(4)

$\iint_{G}\left|x y\right| d x d y, G = \left\{ a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant b^{2}\right\} , 0 < a < b$ ;

(5)

$\iint_{G} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} d x d y, G = [-1 ; 1] \times [0 ; 2]$ .

Задача 3.8.94

(1)(2)(3)(4)

Вычислить двойные интегралы.

?

(1)

$\iint_{G} \min \left\{ x, y\right\} d x d y, G = [0 ; a] \times [0 ; a], a > 0$ ;

(2)

$\iint_{G} \max \left\{ \sin x, \sin y\right\} d x d y, G = [0 ; \pi ] \times [0 ; \pi ]$ ;

(3)

$\iint_{G} \operatorname {sign}(2 a-2 x-y) d x d y, G = [0 ; a] \times [0 ; a], a > 0$ ;

(4)

$\iint_{G} \operatorname {sign}\left(x^{2}-y^{2}+2\right) d x d y, G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ .

Задача 3.8.95

(1)(2)

?

(1)

Пусть функция $y = \varphi (x), x \in [a ; b]$ , задана параметрически:

x = \alpha (t), \quad y = \beta (t), \quad t \in \left[t_{1} ; t_{2}\right]

где $\alpha (t)$ возрастает и непрерывно дифференцируема на $\left[t_{1} ; t_{2}\right]$ ,

\alpha \left(t_{1}\right) = a, \quad \alpha \left(t_{2}\right) = b, \quad \beta (t) \geqslant 0 \quad \text{ на } \quad \left[t_{1} ; t_{2}\right]

Пусть $G = \left\{ x \in [a ; b], 0 \leqslant y \leqslant \varphi (x)\right\}$ , а функция $f(x ; y)$ непрерывна на $G$ . Доказать, что

\iint _{G} f(x ; y) d x d y = \int _{t_{1}}^{t_{2}} \alpha ^{\prime }(t) d t \int _{0}^{\beta (t)} f(\alpha (t) ; y) d y

(2)

доказать, что если в дополнение к условиям 1) функция $\beta (t)$ непрерывно дифференцируема на $\left[t_{1} ; t_{2}\right]$ и $\beta \left(t_{1}\right) = 0$ , то

\iint _{G} f(x ; y) d x d y = \int _{t_{1}}^{t_{2}} \alpha ^{\prime }(t) d t \int _{t_{1}}^{t} f(\alpha (t) ; \beta (s)) \beta ^{\prime }(s) d s

Задача 3.8.96

Вычислить двойные интегралы:

?

(1)

$\iint_{G}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right) d x d y, G$ ограничено линиями $x = 0, y = 0$ и $x = a \sin t, y = b \cos t, t \in [0 ; \pi / 2]$ ;

(2)

$\iint_{G}(x-y) d x d y, G$ ограничено осями координат и дугой астроиды $x = a \cos^{3} t, y = a \sin^{3} t, 0 \leqslant t \leqslant \pi / 2$ ;

(3)

$\iint_{G} y d x d y, G$ ограничено аркой циклоиды $x = a(t-\sin t), y = a(1-\cos t), t \in [0 ; 2 \pi ]$ и осью $O x$ ;

(4)

$\iint_{G} x d x d y, G$ ограничено кривой $x = a \sin t, y = b \sin 2 t, t \in [0 ; \pi ] ;$

(5)

$\iint_{G} x y d x d y, G$ ограничено осью $O y$ и кривой $x = 3 t-\frac{t^{3}}{3}, y = 2 t-t^{2}, t \in [0 ; 3]$ ;

(6)

$\iint_{G}(x+y) d x d y, G$ ограничено осью $O x$ и кривой $x = 2 t(1-t)$ , $y = 4 t-t^{3}, t \in [0 ; 2]$

(7)

$\iint_{G} y^{2} d x d y, G$ ограничено осью $O x$ и кривой $x = \sin (3 t / 2), y = \sin t, t \in [0 ; \pi ]$ .

Задача 3.8.97

Пусть множество $G$ ограничено осью $O x$ и аркой циклоиды $x = a(t-\sin t), y = a(1-\cos t), t \in [0 ; 2 \pi ]$ . Доказать, что

\iint _{G} x y^{n} d x d y = \pi a \iint _{G} y^{n} d x d y, \quad n \geqslant 0

?

Задача 3.8.98

Пусть функция $f(x ; y)$ непрерывна на квадрате $Q = [0 ; 1] \times [0 ; 1]$ . Доказать, что

\lim _{\alpha \rightarrow +\infty } \frac{1}{J_{\alpha }^{2}} \iint _{G}(x y(1-x)(1-y))^{\alpha } f(x ; y) d x d y = f\left(\frac{1}{2} ; \frac{1}{2}\right)

где $J_{\alpha } = \int_{0}^{1}(x(1-x))^{\alpha } d x$ .

?

Задача 3.8.99

Доказать, что формула замены переменного в интеграле по отрезку (см. $[2, \S 6]$ ) является частным случаем формулы замены переменных в кратном интеграле.

?

Задача 3.8.100

В интеграле $\iint_{G} f(x ; y) d x d y$ перейти к полярным координатам и записать его в виде повторных интегралов, расставив пределы интегрирования в разных порядках, если все параметры положительны.

?

(1)

$G = \left\{ a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant b^{2}\right\} , 0 < a < b$ ;

(2)

$G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}, y \geqslant x\right\}$ ;

(3)

$G = \left\{ a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4 a^{2},\left|x\right|-y \geqslant 0\right\}$ ;

(4)

$G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant 2 a y\right\}$ ;

(5)

$G = \left\{ \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \leqslant a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right), x \geqslant 0\right\}$ ;

(6)

$G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant 2 a x, y \geqslant x\right\}$ ;

(7)

$G = \left\{ a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 2 a y\right\}$ ;

(8)

$G = \left\{ \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \leqslant a y\left(3 x^{2}-y^{2}\right), x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ ;

(9)

$G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}, x+y+a \leqslant 0\right\}$ ;

(10)

$G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}, y \geqslant \sqrt{\left|x\right|}\right\}$ .

Задача 3.8.101

В интеграле $\iint_{G} f(x ; y) d x d y$ перейти к полярным координатам и записать его в виде повторных интегралов, расставив пределы интегрирования в разных порядках, если все параметры положительны.

?

(1)

$G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant 2 a x, x^{2}+y^{2} \leqslant 2 b y\right\}$ ;

(2)

$G = \left\{ (x-a)^{2}+y^{2} \leqslant 4 a^{2}\right\}$ ;

(3)

$G = \left\{ 0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant x\right\}$ ;

(4)

$G = \left\{ -2 \leqslant x \leqslant 0, x^{2} \leqslant y \leqslant 2-x\right\}$ ;

(5)

$G = \left\{ x \geqslant y \geqslant 0, x+y \leqslant 2 a\right\}$ ;

(6)

$G = \left\{ 0 \leqslant y \leqslant 1, y-2 \leqslant x \leqslant -\sqrt{y}\right\}$ ;

(7)

$G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant 2, y \leqslant x^{2}, x \geqslant 0\right\}$ .

Задача 3.8.102

В интеграле $\iint_{G} f(x ; y) d x d y$ перейти к полярным координатам и записать его в виде повторных интегралов, расставив пределы интегрирования в разных порядках, если все параметры положительны.

?

(1)

$G = [0 ; a] \times [0 ; a]$ ;

(2)

$G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant 2 a y \leqslant 2 a^{2}, x \geqslant 0\right\}$ ;

(3)

$G = \left\{ 0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant a-x\right\}$ ;

(4)

$G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}, x^{2}+y^{2} \leqslant 2 a x\right\}$ ;

(5)

$G = \left\{ 2 x \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 2\right\}$ ;

(6)

$G = \left\{ 2 a y \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4 a y, y \geqslant \left|x\right|\right\}$ ;

(7)

$G = \left\{ x^{2} / 4-1 \leqslant y \leqslant x\right\}$ .

Задача 3.8.103

Перейдя к полярным координатам, свести интегралы к однократным.

?

(1)

$\iint_{G} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d x d y, G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant x, x^{2}+y^{2} \leqslant y\right\}$ ;

(2)

$\iint_{G} f\left(\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}\right) d x d y, G = \left\{ \sqrt{\left|x\right|} \leqslant y \leqslant 1\right\}$ ;

(3)

$\iint_{G} f\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y, G = \left\{ 0 \leqslant x \leqslant 1, \frac{x}{\sqrt{3}} \leqslant y \leqslant \sqrt{3} x\right\}$ ;

(4)

$\iint_{G} f\left(\frac{y}{x}\right) d x d y, G$ — множество, ограниченное петлей декартова листа $x^{3}+y^{3} = 3 x y$ ;

(5)

$\iint_{G} f\left(\frac{y}{x}\right) d x d y, G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant \sqrt{6} x,\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \leqslant 9\left(x^{2}-y^{2}\right)\right\}$ .

Задача 3.8.104

Перейдя к полярным координатам, свести интегралы к однократным.

?

(1)

$\int_{-a}^{a} d x \int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d y$ ;

(2)

$\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} f\left(\frac{x}{y}\right) d y$ ;

(3)

$\int_{-1}^{1} d y \int_{\sqrt{3}\left|y\right|}^{\sqrt{4-y^{2}}} f\left(\frac{y}{x}\right) d x$ ;

(4)

$\int_{0}^{a} d x \int_{a-x}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) d y$ ;

(5)

$\int_{0}^{a} d x \int_{0}^{a} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d y$ ;

(6)

$\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x^{2}} f\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right) d y$ .

Задача 3.8.105

Доказать, что $\iint_{D} f\left(\frac{y}{x}\right) d x d y = \int_{-1 / \sqrt{3}}^{1 / \sqrt{3}} \frac{1-3 t^{2}}{\left(1+t^{2}\right)^{2}} f(t) d t$ , где $D = \left\{ 4 \leqslant \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \leqslant 4\left(x^{2}-y^{2}\right), x \geqslant 0\right\}$ .

?

Задача 3.8.106

Вычислить интегралы, перейдя к полярным координатам.

?

(1)

$\iint_{G} \cos \left(\pi \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d x d y, G = \left\{ x^{2}+y^{2} < 1\right\}$ ;

(2)

$\iint_{G} \frac{d x d y}{x^{2}+y^{2}-1}, G = \left\{ 9 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 25\right\}$ ;

(3)

$\iint_{G}\left|x y\right| d x d y, G = \left\{ a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4 a^{2}\right\}$ ;

(4)

$\iint_{G} x y^{2} d x d y, G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}, x \geqslant 0\right\}$ ;

(5)

$\iint_{G} y^{2} e^{x^{2}+y^{2}} d x d y, G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ ;

(6)

$\iint_{G} \frac{\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}} d x d y, G = \left\{ 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}, y \geqslant 0\right\}$ ;

(7)

$\iint_{G}(a x+b y) d x d y, G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}, x-y \leqslant 0\right\}$ ;

(8)

$\iint_{G}(x+y) d x d y, G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}, y-k x > 0\right\}$ ;

(9)

$\iint_{G} \operatorname {sign} y d x d y, G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant 1, y-k x > 0\right\}$ .

Задача 3.8.107

Вычислить интегралы, перейдя к полярным координатам.

?

(1)

$\iint_{G} \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} d x d y, G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant a x\right\} , a > 0$ ;

(2)

$\iint_{G} y d x d y, G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x, x > y\right\}$ ;

(3)

$\iint_{G} \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d x d y, G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x^{2}+y^{2} \leqslant 2 y\right\}$ ;

(4)

$\iint_{G}\left(\frac{y}{x}\right)^{2} d x d y, G = \left\{ 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x\right\}$ ;

(5)

$\iint_{G} x d x d y, G = \left\{ a x \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 2 a x, y \geqslant 0\right\} , a > 0$ ;

(6)

$\iint_{G} \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}} d x d y, G = \left\{ a y \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}, y \geqslant 0, x \geqslant 0\right\}$ , $a > 0$ ;

(7)

$\iint_{G} y^{2} d x d y, G = \left\{ 2 x \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 6 x, y \leqslant x\right\}$ .

Задача 3.8.108

(1)(2)(3)(4)

Вычислить интегралы, перейдя к полярным координатам.

?

(1)

$\int_{0}^{1} d x \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right) d y$

(2)

$\int_{-1}^{1} d x \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{0} \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} d y$ ;

(3)

$\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} \frac{x^{2}}{x^{2}} \frac{1}{y^{2}} d y$

(4)

$\int_{0}^{1} d x \int_{1-\sqrt{1-x^{2}}}^{1+\sqrt{1-x^{2}}} \sqrt{y} d y$

Задача 3.8.109

Вычислить интегралы, перейдя к полярным координатам.

?

(1)

$\iint_{G} \frac{d x d y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}, G$ ограничено линиями $x^{2}-y^{2} = 6, x = 3$ ;

(2)

$\iint_{G}\left|x y\right| d x d y, G = \left\{ \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \leqslant x^{2}-y^{2}, x \geqslant 0\right\}$ ;

(3)

$\iint_{G} x^{2} d x d y, G = \left\{ \left(x^{2}+y^{2}\right) 2 \leqslant 2 x y, x \geqslant 0\right\}$ ;

(4)

$\iint_{G} y d x d y, G = \left\{ 0 \leqslant x \leqslant \left(x^{2}+y^{2}\right)^{3 / 2} \leqslant 1, y \geqslant 0\right\}$ ;

(5)

$\iint_{G} \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d x d y, G = \left\{ \frac{3}{2} a y \leqslant x^{2} \leqslant a^{2}-y^{2}\right\} , a > 0$ ;

(6)

$\iint_{G} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y, \quad G = \left\{ a x \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant a\left(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\right\}$ , $a > 0$ .

Задача 3.8.110

(1)(2)(3)

?

(1)

Вычислить интеграл $\iint_{G} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d x d y, \quad G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$

(2)

доказать неравенства

\frac{\sqrt{\pi }}{2} \sqrt{1-e^{-a^{2}}} < \int _{0}^{a} e^{-x^{2}} d x < \frac{\sqrt{\pi }}{2} \sqrt{1-e^{-2 a^{2}}}

(3)

вычислить несобственный интеграл $\int_{0}^{+\infty } e^{-x^{2}} d x$ .

Задача 3.8.111

Найти $\lim_{n \rightarrow \infty } \sum \frac{1}{n^{2}+i^{2}+j^{2}}$ , где сумма составлена по всем целым значениям $i$ и $j$ таким, что $i \geqslant 0, j \geqslant 0, i^{2}+y^{2} \leqslant n^{2}$ .

?

Задача 3.8.112

Пусть функция $f(x ; y)$ непрерывна в круге $x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}$ и

\Phi (r) = \int _{0}^{2 \pi } f(r \cos \varphi ; r \sin \varphi ) d \varphi , \quad 0 \leqslant r \leqslant R

Доказать, что функция $\Phi (r)$ непрерывна на $[0 ; R]$ .

?

Задача 3.8.113

Пусть функция $f(x ; y)$ непрерывна на $R^{2}$ и

G(r) = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}\right\} , \quad F(r) = \iint _{G(r)} f(x ; y) d x d y, \quad r \geqslant 0

Доказать, что:

?

(1)

$\lim_{r \rightarrow 0} \frac{F(r)}{\pi r^{2}} = f(0 ; 0)$ ;

(2)

$F(r)$ дифференцируема, и найти $F^{\prime }(r)$ ;

(3)

если $\lim_{r \rightarrow +\infty } r^{2} f(x ; y) = a \neq 0$ , где $r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ , то

\lim _{r \rightarrow +\infty } \frac{F(r)}{\ln r} = 2 \pi a

(4)

если $\lim_{r \rightarrow +\infty } r^{\alpha } f(x ; y) = a \neq 0$ , где $r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}, \alpha < 2$ , то

\lim _{r \rightarrow +\infty } \frac{F(r)}{r^{2-\alpha }} = \frac{2 \pi a}{2-\alpha }

(5)

если $\lim_{r \rightarrow +\infty } r^{\alpha } f(x ; y) = a \neq 0$ , где $r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}, \alpha > 2$ , то существуют $\lim_{r \rightarrow +\infty } F(r) = F(+\infty )$ и

\lim _{r \rightarrow +\infty } r^{\alpha -2}(F(r)-F(+\infty )) = \frac{2 \pi a}{2-\alpha }

Задача 3.8.114

Совершив заданную замену, записать данный интеграл в виде повторного:

?

(1)

$\int_{a}^{b} d x \int_{\alpha x}^{\beta x} f(x ; y) d y$ , где $0 \leqslant a \leqslant b, \alpha < \beta ; u = x, v = \frac{y}{x} ;$

(2)

$\int_{c}^{d} d y \int_{k y+a}^{k y+b} f(x ; y) d x$ , где $c < d, a < b ; u = x-k y, v = y$ ;

(3)

$\iint_{G} f(x ; y) d x d y$ , где область $G$ ограничена прямыми $x = m y$ , $x = n y, y = a, 0 < m < n, a > 0 ; u = x+y, y = u v ;$

(4)

$\iint_{G} f(x ; y) d x d y$ , где область $G$ ограничена прямыми $x = 2 y$ , $y = 2 x, x+2 y = 2,2 x+y = 4 ; u = y / x, v = y /(2-x) ;$

(5)

$\int_{0}^{1} d x \int_{-2-x}^{2-x} f(x ; y) d y ; u = x+y, v = x-y$ ;

(6)

$\iint_{G} f(x ; y) d x d y$ , где область $G$ ограничена линиями $y = a x^{2}$ ; $y = b x^{2}, x y = p, x y = q, 0 < a < b, 0 < p < q ; u = x y, v = y / x^{2} ;$

(7)

$\iint_{G} f(x ; y) d x d y$ , где $G = \left\{ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1\right\} ; x = \operatorname {arcos} \varphi , y = b r \sin \varphi$ ;

(8)

$\iint_{G} f(x ; y) d x d y$ , где область $G$ ограничена линиями $x = 0, y = 0, \sqrt{x}+\sqrt{y} = \sqrt{a}, a > 0 ; x = r \cos^{4} \varphi , y = r \sin^{4} \varphi$ .

Задача 3.8.115

Произведя соответствующую замену, свести данный интеграл к однократному:

?

(1)

$\iint_{G} f(x-y) d x d y$ , где $G = \left\{ 0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant a-x\right\}$ ;

(2)

$\iint f(a x+b y+c) d x d y, a^{2}+b^{2} \neq 0$ ; $x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}$

(3)

$\iint_{G} f\left(\frac{x}{y}\right) d x d y$ , где область $G$ , расположенная в I квадранте, ограничена линиями $x y = a, x y = b, a y = x, b y = x, 0 < a < b$ ;

(4)

$\int_{1}^{2} d x \int_{0}^{x-1} f(x y) d y$ ;

(5)

$\iint_{G}(x-y)^{2} f(x+y) d x d y, G = [0 ; 1] \times [0 ; 1]$ .

Задача 3.8.116

Указать такие формулы перехода к новым координатам, чтобы область $G$ стала в новых переменных прямоугольником, если $G$ ограничена линиями:

?

(1)

$y = k x, y = k x-b, y = 0, y = a$ , где $k > 0, b > 0, a > 0$ ;

(2)

$x-2 y = 0,2 x-y = 0, y = 1, y = 2$ ;

(3)

$k x-y = 0, y = 0, x = a$ , где $k > 0, a > 0$ ;

(4)

$x = 0, y = 0, x+y = a$ , где $a > 0$ ;

(5)

$x y = a, x y = b, x-y+c = 0, x-y+d = 0$ , где $0 < a < b, c < d$ ;

(6)

$y = p x^{2}, y = q x^{2}, y = a x, y = b x$ , где $0 < p < q, 0 < a < b$ .

Задача 3.8.117

Показать, что криволинейный четырехугольник, расположенный в первом квадранте и ограниченный софокусными эллипсами и перпендикулярными им гиперболами

\begin{gathered} \frac{x^{2}}{\operatorname {ch}^{2} a}+\frac{y^{2}}{\operatorname {sh}^{2} a} = 1, \quad \frac{x^{2}}{\operatorname {ch}^{2} b}+\frac{y^{2}}{\operatorname {sh}^{2} b} = 1, \quad 0 < a < b, \\ \frac{x^{2}}{\cos ^{2} \alpha }-\frac{y^{2}}{\sin ^{2} \alpha } = 1, \quad \frac{x^{2}}{\cos ^{2} \beta }-\frac{y^{2}}{\sin ^{2} \beta } = 1, \quad 0 < \alpha < \beta < \frac{\pi }{2},\end{gathered}

в эллиптических координатах $u$ и $\varphi$ :

x = \operatorname {ch} u \cos \varphi , \quad y = \operatorname {sh} u \sin \varphi , \quad u \in R, \quad \varphi \in [0 ; 2 \pi )

является прямоугольником.

?

Задача 3.8.118

Пусть новые координаты $(u ; v)$ заданы уравнениями

\varphi (x ; y ; u) = 0, \quad \psi (x ; y ; v) = 0

Доказать, что $\frac{\partial (x ; y)}{\partial (u ; v)} = \frac{\varphi_{u}^{\prime } \psi_{v}^{\prime }}{\varphi_{x}^{\prime } \psi_{y}^{\prime }-\varphi_{y}^{\prime } \psi_{x}^{\prime }}$ .

?

Задача 3.8.119

Доказать, что при переходе к обобщенным полярным координатам $x = r \cos^{\alpha } \varphi , y = r \sin^{\alpha } \varphi$ якобиан отображения равен

J = \alpha r(\cos \varphi \sin \varphi )^{\alpha -1}

?

Задача 3.8.120

Пусть функция $f$ интегрируема по множеству $G$ , симметричному относительно оси $O x$ , и пусть $f(x ;-y) = -f(x ; y)$ для любых $(x ; y) \in G$ . Доказать, что

\iint _{G} f(x ; y) d x d y = 0

?

Задача 3.8.121

Пусть функция $f$ интегрируема по множеству $G$ , симметричному относительно начала координат, и пусть $f(-x ;-y) = -f(x ; y)$ . Доказать, что $\iint_{G} f(x ; y) d x d y = 0$ .

?

Задача 3.8.122

Доказать, что $\iint_{G}\left|\cos (x+y)\right| d x d y = \iint_{G}\left|\cos (x-y)\right| d x d y$ , где $G = [0 ; \pi ] \times [0 ; \pi ]$ .

?

Задача 3.8.123

Для заданных функции $f$ и множества $G$ с помощью подходящей замены вычислить интеграл $\iint_{G} f(x ; y) d x d y$ .

?

(1)

$f(x ; y) = x y, G = \left\{ \left|x+2 y\right| \leqslant 3,\left|x-y\right| \leqslant 3\right\}$ ;

(2)

$f(x ; y) = \left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}, G = \left\{ \left|x\right| \leqslant y \leqslant 1\right\}$ ;

(3)

$f(x ; y) = 1 /\left(x^{2} y^{2}\right), G$ ограничено прямыми $3 y = x, y = 3 x, y = 4-5 x, y = 4-x$

(4)

$f(x ; y) = e^{a(x+y)^{2}}, G = \left\{ 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1-x\right\}$ ;

(5)

$f(x ; y) = \left(x^{2}-y^{2}\right) \sin \pi (x-y)^{2}, G = \left\{ \left|y\right| \leqslant x \leqslant 1-\left|y\right|\right\}$ .

Задача 3.8.124

Для заданных функции $f$ и множества $G$ с помощью подходящей замены вычислить интеграл $\iint_{G} f(x ; y) d x d y$ .

?

(1)

$f(x ; y) = x+y, G$ ограничено линиями $x y = a, x y = b$ , $y = x, y = x-c$ , где $0 < a < b, 0 < c$ ;

(2)

$f(x ; y) = y^{2}, G = \left\{ 1 \leqslant x y \leqslant 3,0 < x \leqslant y \leqslant 2 x\right\}$ ;

(3)

$f(x ; y) = e^{x^{4} / y^{2}}, G$ ограничено линиями $y = x, y = 2 x, y = x^{2}$ ;

(4)

$f(x ; y) = x / y, G$ ограничено параболами $y = x^{2}, 8 y = x^{2}, x = y^{2}$ , $8 x = y^{2}$ ;

(5)

$f(x ; y) = x^{4}-y^{4}, G = \left\{ x > 0,1 \leqslant x y \leqslant 2,1 \leqslant x^{2}-y^{2} \leqslant 2\right\}$ .

Задача 3.8.125

(1)(2)(3)(4)

Для заданных функции $f$ и множества $G$ с помощью подходящей замены вычислить интеграл $\iint_{G} f(x ; y) d x d y$ .

?

(1)

$f(x ; y) = \sqrt{1-x^{2} / a^{2}-y^{2} / b^{2}}, G = \left\{ x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2} \leqslant 1\right\}$ ;

(2)

$f(x ; y) = \sqrt{x}+\sqrt{y}, G = \left\{ \sqrt{x}+\sqrt{y} \leqslant \sqrt{a}\right\}$ ;

(3)

$f(x ; y) = (x+y)^{2}, G = \left\{ x > 0, y > 0,(x+y)^{4} < x^{2}+y^{2}\right\}$ ;

(4)

$f(x ; y) = x, G = \left\{ x > 0, y > 0,(x / a)^{2 / 3}+(y / b)^{2 / 3} < 1\right\}$ .

Задача 3.8.126

(1)(2)(3)

Пусть функция $f(x ; y)$ непрерывна на прямоугольнике $Q = [a ; b] \times [c ; d]$ ,

F(x ; y) = \int _{c}^{y} f(x ; \eta ) d \eta , \quad (x ; y) \in Q

Доказать, что:

?

(1)

$F(x ; y)$ непрерывна на $Q$ ;

(2)

$F(x ; y)$ дифференцируема по $y$ и $\frac{\partial F}{\partial y}(x ; y) = f(x ; y),(x ; y) \in Q$ ;

(3)

если дополнительно $\frac{\partial f}{\partial x}$ непрерывна на $Q$ , то $F$ дифференцируема по $x$ и

\frac{\partial F}{\partial x}(x ; y) = \int _{c}^{y} \frac{\partial f}{\partial x}(x ; \eta ) d \eta

Задача 3.8.127

(1)(2)

Пусть функции $\varphi$ и $\psi$ непрерывны и удовлетворяют неравенству $\varphi (x) \leqslant \psi (x)$ на отрезке $[a ; b]$ ,

G = \left\{ (x ; y): a \leqslant x \leqslant b, \varphi (x) \leqslant y \leqslant \psi (x)\right\}

и пусть функция $f$ непрерывна на $G$ ,

F(x) = \int _{\varphi (x)}^{\psi (x)} f(x ; y) d y

Доказать, что:

?

(1)

функция $F(x)$ непрерывна на $[a ; b]$ ;

(2)

если существуют непрерывные производные $f^{\prime }(x), \psi^{\prime }(x)$ на $[a ; b]$ и $\frac{\partial f}{\partial x}(x ; y)$ на $G$ , то и $F(x)$ имеет непрерывную производную на $[a ; b]$ и

F^{\prime }(x) = f(x ; \psi (x)) \psi ^{\prime }(x)-f(x ; \varphi (x)) \varphi ^{\prime }(x)+\int _{\varphi (x)}^{\psi (x)} \frac{\partial f}{\partial x}(x ; y) d y.

Задача 3.8.128

(1)(2)

Найти $F^{\prime }(t)$ , если:

?

(1)

$F(t) = \iint_{Q(t)} e^{-t x / y^{2}} d x d y, Q(t) = [0 ; t] \times [0 ; t]$ ;

(2)

$F(t) = \iint_{Q(t)} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y, Q(t) = \left\{ (x-t)^{2}+(y-t)^{2} \leqslant 1\right\}$ .

Задача 3.8.129

(1)(2)

Пусть функция $f(x ; y)$ непрерывна на плоскости $R^{2}$ ,

F(t) = \iint _{G(t)} f(x ; y) d x d y

Найти $F^{\prime }(t)$ , если:

?

(1)

$G(t) = [0 ; t] \times [0 ; t], t > 0$ ;

(2)

$G(t) = \left\{ x \geqslant 0, y \geqslant 0, x+y \leqslant t\right\} , t > 0$ .

Задача 3.8.130

Найти $\lim_{t \rightarrow +\infty } \frac{1}{t^{3 / 2}} \iint_{Q(t)} \frac{d x d y}{1+\sqrt{x+y}}$ , где $Q(t) = [0 ; t] \times [0 ; t]$ .

?

Задача 3.8.131

Пусть функция $f(t ; x)$ непрерывна на плоскости. Доказать, что функция

u(t ; x) = \frac{1}{2 a} \int _{0}^{t} d \tau \int _{x-a(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )} f(\tau ; \xi ) d \xi

удовлетворяет волновому уравнению $\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = f(t ; x)$ .

?

Задача 3.8.132

(1)(2)(3)

Вычислить повторный интеграл:

?

(1)

$\int_{-1}^{3} d x \int_{0}^{x} d y \int_{0}^{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}\left(\sqrt{x^{2}-y^{2}}+z\right) d z$ ;

(2)

$\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{2 x} d y \int_{0}^{\sqrt{x y}} x^{3} y^{2} z d z$ ;

(3)

$\int_{-1}^{1} d x \int_{x / 2}^{2 x} d y \int_{x-y}^{x+y}(x+y+z) d z$ .

Задача 3.8.133

В повторном интеграле, заменив порядок интегрирования на указанный, расставить пределы интегрирования:

?

(1)

$\int_{-a}^{a} d x \int_{-\sqrt{a^{2}-x^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} d y \int_{0}^{h} f(x ; y ; z) d z,(z ; y ; x) ;$

(2)

$\int_{0}^{4} d z \int_{0}^{3-3 z / 4} d y \int_{0}^{2-2 y / 3-z / 2} f(x ; y ; z) d x,(x ; y ; z)$ ;

(3)

$\int_{0}^{2} d x \int_{0}^{2-x / 2} d y \int_{0}^{2-y-x / 2} f(x ; y ; z) d z,(z ; x ; y)$ ;

(4)

$\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1-x} d y \int_{0}^{x+y} f(x ; y ; z) d z,(z ; x ; y)$

(5)

$\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} d y \int_{0}^{x^{2}+y^{2}} f(x ; y ; z) d z$ , а) $(x ; z ; y)$ , б) $(z ; y ; x)$ .

Задача 3.8.134

Интеграл $\iint_{G} f(x ; y ; z) d x d y d z$ записать в виде повторного или суммы повторных с указанным порядком (слева направо) и указать пределы интегрирования, если:

?

(1)

$G = \left\{ x \geqslant 0, y \geqslant 0,4 \geqslant z \geqslant 0,2 x+y \leqslant 2\right\}$ , а) $(y ; z ; x)$ , б) $(x ; y ; z)$ ;

(2)

область $G$ ограничена плоскостями $x = 0, y = 0, z = 0, x+2 y + 3 z = 3$ , а) $(x ; y ; z)$ , б) $(z ; x ; y)$ ;

(3)

$G = \left\{ x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z^{2} / c^{2} \leqslant 1\right\} (x ; y ; z)$ ;

(4)

область $G$ ограничена поверхностями $y^{2}+2 z^{2} = 4 x, x = 2$ , а) $(y ; z ; x)$ , б) $(x ; y ; z)$ ;

(5)

область $G$ ограничена поверхностями $z = 2\left(x^{2}+y^{2}\right), \quad z = 1 + x^{2}+y^{2}$ , а) $(x ; y ; z)$ , б) $(y ; z ; x)$ ;

(6)

$G = \left\{ x \geqslant 0, z \geqslant 0, x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}, y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}\right\}$ , а) $(y ; z ; x)$ , б) $(x ; z ; y)$ ;

(7)

$G = \left\{ x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 z, x^{2}+y^{2} \geqslant z^{2}\right\}$ , а) $(x ; y ; z)$ , б) $(x ; z ; y)$ ;

(8)

$G = \left\{ y^{2}+z^{2} \leqslant x^{2}, y^{2}+x^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0\right\}$ , а) $(x ; y ; z)$ , б) $(y ; z ; x)$ ;

(9)

$G = \left\{ (y-1)(x-2) \leqslant z \leqslant 2,-x \leqslant y \leqslant x, x \leqslant 1\right\}$ , а) $(x ; y ; z)$ , б) $(z ; y ; x)$ .

Задача 3.8.135

(1)(2)(3)(4)

Свести интеграл к однократному или сумме однократных:

?

(1)

$\int_{0}^{x} d \xi \int_{0}^{\xi } d \eta \int_{0}^{\eta } f(\zeta ) d \zeta$ ;

(2)

$\int_{0}^{1} d u \int_{0}^{1-u} d v \int_{0}^{u+v} f(w) d w ;$

(3)

$\iint_{G} f(z) d x d y d z$ , область $G$ ограничена плоскостями $x = 1$ , $y = 0, z = 0, y = x, z = x+y$

(4)

$\iint_{G} y f(z) d x d y d z$ , область $G$ ограничена поверхностями $z = 0$ , $z = y, x^{2}+y^{2} = 2 x$ .

Задача 3.8.136

(1)(2)(3)

Пусть $П = [0 ; a] \times [0 ; b] \times [0 ; c]$ . Вычислить интегралы:

?

(1)

$\iiint_{\Pi }\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z$ ;

(2)

$\iiint_{\Pi } z e^{x} \sin y d x d y d z$ ;

(3)

$\iint_{\Pi }(x+y) e^{x-y} d x d y d z$ .

Задача 3.8.137

(1)(2)(3)

Вычислить интегралы:

?

(1)

$\iiint_{\Pi } x y z d x d y d z, \Pi = [0 ; 1] \times [-1 ; 1] \times [0 ; 1]$ ;

(2)

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1}(x y+y z+z x) d x d y d z$ ;

(3)

$\int_{0}^{\pi } \int_{0}^{\pi } \int_{0}^{\pi } \sin (x+y+z) d x d y d z$ .

Задача 3.8.138

(1)(2)(3)

Вычислить интегралы:

?

(1)

$\iiint_{\Pi } \sin (x+y) \sin z d x d y d z$ , П — призма $\left\{ 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi }{2}, 0 \leqslant y \leqslant \frac{\pi }{2}, x-y \leqslant z \leqslant x+y\right\} ;$

(2)

$\iiint_{\Pi }(x+2 y+3 z) d x d y d z$ , П — призма, ограниченная плоскостями $y = 0, z = 0, z = 2, x+y = 2,2 x-y+2 = 0$ ;

(3)

$\iiint_{\Pi }(x y)^{2} d x d y d z, \Pi = \left\{ 0 \leqslant x \leqslant y \leqslant z \leqslant 1\right\}$ .

Задача 3.8.139

Вычислить интеграл $\iint_{G} f(x ; y ; z) d x d y d z$ , если:

?

(1)

$f(x ; y ; z) = y, G$ — пирамида, ограниченная плоскостями $x = 0$ , $y = 0, z = 0,2 x+y+z = 4$

(2)

$f(x ; y ; z) = (1+x+y+z)^{-3}$ ; область $G$ ограничена плоскостями $x+y+z = 1, x = 0, y = 0, z = 0$ ;

(3)

$f(x ; y ; z) = x+z$ , область $G$ ограничена плоскостями $x+y = 1$ , $x-y = 1, x+z = 1, z = 0, x = 0$

(4)

$f(x ; y ; z) = x^{2}-z^{2}$ , область $G$ ограничена плоскостями $y = -x$ , $z = x, z = y, z = 1$

(5)

$f(x ; y ; z) = x y$ , область $G$ ограничена поверхностями $x^{2}+y^{2} = 1, z = 0, z = 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ;

(6)

$f(x ; y ; z) = x y z, G$ — часть шара $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ , лежащая в I октанте;

(7)

$f(x ; y ; z) = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ , область $G$ ограничена поверхностями $x^{2}+y^{2}+z^{2}, z = 1$ ;

(8)

$f(x ; y ; z) = x y^{2} x^{3}$ , область $G$ ограничена поверхностями $z = x y$ , $y = x, x = 1, z = 0$

(9)

$f(x ; y ; z) = x y z$ , область $G$ ограничена поверхностями $y = x^{2}$ , $x = y^{2}, z = x y, z = 0$ .

Задача 3.8.140

Пусть измеримая область $G$ симметрична относительно координатной плоскости $O x y$ , а функция $f$ нечетна по $z$ . Доказать, что

\iiint _{G} f(x ; y ; z) d x d y d z = 0

?

Задача 3.8.141

Пусть измеримая область $G$ симметрична относительно координатной оси $O x$ , а интегрируемая на $G$ функция $f$ нечетна по паре переменных $(y ; z)$ , т. е. $f(x ;-y ;-z) = -f(x ; y ; z)$ . Доказать, что

\iint _{G} f(x ; y ; z) d x d y d z = 0

?

Задача 3.8.142

Пусть измеримая область $G$ симметрична относительно начала координат, а интегрируемая на $G$ функция $f$ нечетна по тройке переменных, т. е. $f(-x ;-y ;-z) = -f(x ; y ; z)$ . Доказать, что

\iint _{G} f(x ; y ; z) d x d y d z = 0

?

Задача 3.8.143

В интеграле $\iiint_{G} f(x ; y ; z) d x d y d z$ перейти к сферическим координатам и записать его в виде повторного, если:

?

(1)

$G = \left\{ a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 4 a^{2}, y \geqslant 0\right\}$ ;

(2)

$G = \left\{ x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, y \geqslant 0, z \geqslant 0, x+y \geqslant 0\right\}$ ;

(3)

$G = \left\{ x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, x^{2}+y^{2} \geqslant 3 z^{2}\right\}$ ;

(4)

$G = \left\{ x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 a z, x^{2}+y^{2} \geqslant z^{2}\right\}$ ;

(5)

область $G$ ограничена поверхностями $z = x^{2}+y^{2}, x = y, x = 1$ , $y = 0, z = 0$ .

Задача 3.8.144

Вычислить интеграл $\iint_{G} f(x ; y ; z) d x d y d z$ , перейдя к сферическим координатам, если:

?

(1)

$f(x ; y ; z) = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, G = \left\{ 1 \leqslant x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 8\right\}$ ;

(2)

$f(x ; y ; z) = x /\left(R^{4}+\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}\right), G = \left\{ x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, x \geqslant 0\right\}$

(3)

$f(x ; y ; z) = x^{2}+y^{2}-z^{2}, G = \left\{ 1 \leqslant x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 4, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ ;

(4)

$f(x ; y ; z) = y z+z x$ , область $G$ расположена в I октанте и ограничена поверхностями $y = x, x = 0, z = 0, x^{2}+y^{2}+z^{2} = R^{2}$ ;

(5)

$f(x ; y ; z) = z /\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right), G = \left\{ x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, z \geqslant (h / a) \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right\}$

(6)

$f(x ; y ; z) = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, G = \left\{ x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant z\right\}$ .

Задача 3.8.145

(1)(2)

Свести интеграл к однократному:

?

(1)

$\iint_{G} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) d x d y d z$

G = \left\{ \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant \sqrt{2-x^{2}-y^{2}}\right\}

(2)

$\iiint_{G} f\left(\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right) d x d y d z, G = \left\{ z^{2} \leqslant x^{2}+y^{2}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}\right\}$ .

Задача 3.8.146

(1)(2)(3)(4)

Вычислить интеграл $\iiint_{G} f(x ; y ; z) d x d y d z$ , перейдя к цилиндрическим координатам, если:

?

(1)

$f(x ; y ; z) = x^{2}+y^{2}+z^{2}, G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}, 0 \leqslant x, 0 \leqslant z \leqslant H\right\}$ ;

(2)

$f(x ; y ; z) = x+y+z$ , область $G$ ограничена поверхностями $x^{2} + y^{2} = 1, z = 0, x+y+z = 2$ ;

(3)

$f(x ; y ; z) = x^{2}+y^{2}, G = \left\{ \left(x^{2}+y^{2}\right) / 2 \leqslant z \leqslant 2\right\}$ ;

(4)

$f(x ; y ; z) = z-x+y$ , область $G$ ограничена поверхностями $a y = z^{2}+x^{2}, y^{2} = z^{2}+x^{2}, a > 0$ .

Задача 3.8.147

Показать, что при переходе к обобщенным сферическим координатам

x = \operatorname {ar} \cos \varphi \cos \psi , \quad y = b r \sin \varphi \cos \psi , \quad z = c r \sin \psi

якобиан отображения равен $J = a b c r^{2} \cos \psi$ .

?

Задача 3.8.148

(1)(2)(3)

Пусть $G = \left\{ x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z^{2} / c^{2} \leqslant 1\right\}$ . Вычислить интегралы:

?

(1)

$\iiint_{G}\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) d x d y d z$ ;

(2)

$\iiint_{G}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y d z ;$

(3)

$\iiint_{G} \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}} d x d y d z$

Задача 3.8.149

(1)(2)(3)(4)

Пусть $\left(x_{0} ; y_{0} ; z_{0}\right) \in R^{3}, 0 < R < R_{0} = \sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}}, \quad G = \left\{ x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}\right\}$ .

Вычислить интеграл $\iiint_{G} \frac{d x d y d z}{\left(\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right)^{\alpha / 2}}$ , если:

?

(1)

$\alpha = 2$ ;

(2)

$\alpha = 3$ ;

(3)

$\alpha = 4$ ;

(4)

$\alpha \neq 2,3,4$ .

Указание. Можно воспользоваться поворотом системы координат и переходом к цилиндрическим координатам.

Задача 3.8.150

Вычислить интеграл $\iiint_{G} f(x ; y ; z) d x d y d z$ , используя подходящую замену.

?

(1)

$f(x ; y ; z) = \frac{1}{1+\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}, \quad G = \left\{ x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 4, x \geqslant 0\right\}$

(2)

$f(x ; y ; z) = z$ , область $G$ ограничена поверхностями $R^{2} z^{2} = h^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right), z = h, h > 0$

(3)

$f(x ; y) = x^{2}-y^{2}, G = \left\{ x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}, y \geqslant 0, z \geqslant 0\right\}$ ;

(4)

$f(x ; y ; z) = \sqrt{y^{2}+z^{2}}$ , область $G$ ограничена поверхностями $y^{2}+z^{2} = R^{2}, y+x = R, y-x = R, R > 0 ;$

(5)

$f(x ; y ; z) = x+z, G = \left\{ x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, z \leqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right\}$ ;

(6)

$f(x ; y ; z) = x y z /\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}, G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}, y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0\right\}$

(7)

$f(x ; y ; z) = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ , область $G$ расположена в I октанте и ограничена поверхностями $z = 0, y = 0, x^{2}+y^{2} = a^{2}, a z = x^{2}-y^{2}$ , $a > 0 ;$

(8)

$f(x ; y ; z) = z^{2}, G = \left\{ x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 R z\right\}$ ;

(9)

$f(x ; y ; z) = \left|x y\right| / x^{2}, G = \left\{ \sqrt{x^{2}+y^{2}} < z < \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\right\}$ .

Задача 3.8.151

(1)(2)(3)(4)

Вычислить интеграл $\iiint_{G} f(x ; y ; z) d x d y d z$ , используя подходящую замену.

?

(1)

$f(x ; y ; z) = x y z /\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}, G = \left\{ \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2} \leqslant 4 x y, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0\right\}$

(2)

$f(x ; y ; z) = z \sqrt{x^{2}+y^{2}}, G = \left\{ x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x, 0 \leqslant z \leqslant y\right\}$ ;

(3)

$f(x ; y ; z) = x z^{2}, G = \left\{ (3 x-4)^{2} \leqslant y^{2}+z^{2} \leqslant x^{2}\right\}$ ;

(4)

$f(x ; y ; z) = z, G = \left\{ 3\left(x^{2}+y^{2}\right) \leqslant z, 1-x^{2}-y^{2} \geqslant z\right\}$ .

Задача 3.8.152

Вычислить интеграл $\iiint_{G} f(x ; y ; z) d x d y d z$ , используя подходящую замену.

?

(1)

$f(x ; y ; z) = 1 /((x+y)(x+y+z)), \quad G = \left\{ 1 < x < 2,1 < x+y < 3,1 < x+y+z < 5\right\}$

(2)

$f(x ; y ; z) = \left(x^{2}-y^{2}\right)\left(z+x^{2}-y^{2}\right), G = \left\{ x-1 < y < x, 1-x < y < 2-x, 1-x^{2}+y^{2} < z < y^{2}-x^{2}+2 x\right\}$

(3)

$f(x ; y ; z) = x y z, G = \left\{ x < y z < 2 x, y < z x < 2 y, z < x y < 2 z\right\}$ ;

(4)

$f(x ; y ; z) = x^{2}$ , область $G$ ограничена поверхностями $z = a y^{2}$ , $z = b y^{2}, y > 0, z = \alpha x, z = \beta x, z = h$ , где $0 < a < b, 0 < \alpha < \beta , 0 < h$ ;

(5)

$f(x ; y ; z) = x y z$ , область $G$ расположена в I октанте и ограничена поверхностями $m z = x^{2}+y^{2}, n z = x^{2}+y^{2}, x y = a^{2}, x y = b^{2}$ , $y = \alpha x, y = \beta x$ , где $0 < a < b, 0 < \alpha < \beta , 0 < m < n$ .

Задача 3.8.153

(1)(2)

Найти среднее значение функции $f$ на области $G$ , если:

?

(1)

$f(x ; y ; z) = x^{2}+y^{2}+z^{2}, G = \left\{ x^{2}+y^{2}+z^{2} < x+y+z\right\}$ ;

(2)

$f(x ; y ; z) = \exp \sqrt{x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z^{2} / c^{2}}, \quad G = \left\{ x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}+z^{2} / c^{2} \leqslant 1\right\}$ .

Задача 3.8.154

Вычислить интеграл $\iint_{G} x^{m} y^{n} z^{p} d x d y d z$ , где $G = \left\{ x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1\right\} , m, n, p$ — целье неотрицательные числа.

?

Задача 3.8.155

Выразить через значения Г-функции интеграл Дирихле

\iiint _{G} x^{p} y^{q} z^{r}(1-x-y-z)^{s} d x d y d z

где $G = \left\{ x > 0, y > 0, z > 0, x+y+z < 1\right\} , p > 0, q > 0, r > 0, s > 0$ .

?

Задача 3.8.156

(1)(2)

Пусть $X$ и $U$ — измеримые множества, $\varphi$ — отображение $\bar{X}$ на $\bar{U}$ с такими же свойствами, как и в теореме 7 п. 3 этого параграфа.

Доказать, что:

?

(1)

существует такое $\theta$ , что $\inf_{x \in X}\left|\operatorname {det} \varphi^{\prime }(x)\right| \leqslant \theta \leqslant \sup_{x \in X}\left|\operatorname {det} \varphi^{\prime }(x)\right|$ и $\mu (U) = \theta \mu (X)$

(2)

если $X$ — связное множество, то существует $x_{0} \in X$ такое, что

\mu (U) = \left|\operatorname {det} \varphi ^{\prime }\left(x_{0}\right)\right| \mu (X)

Задача 3.8.157

Найти $\iiint_{G} \frac{\partial^{3} f}{\partial x \partial y} \overline{\partial z}(x ; y ; z) d x d y d z$ , полагая $G = \left[a_{1} ; a_{2}\right] \times \left[b_{1} ; b_{2}\right] \times \left[c_{1} ; c_{2}\right]$ .

?

Задача 3.8.158

Пусть функция $f(x ; y ; z)$ непрерывна на цилиндре $x^{2}+y^{2} \leqslant R^{2}, 0 \leqslant z \leqslant H$ . Доказать непрерывность на $[0 ; H]$ функции

F(z) = \iint _{x^{2}+y^{2} \leqslant z^{2}} f(x ; y ; z) d x d y

?

Задача 3.8.159

Пусть функция $f(r)$ непрерывна при $r \geqslant 0$ . Найти $\frac{d F}{d t}$ , где

F(t) = \iiint _{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant t^{2}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) d x d y d z

?

Задача 3.8.160

Пусть функция $f(x ; y ; z)$ непрерывна на замкнутой области $z \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ . Найти $\frac{d F}{d t}$ , где

F(t) = \quad \iiint _{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant t} f(x ; y ; z) d x d y d z

?

Задача 3.8.161

Пусть функция $f(x ; y ; z)$ непрерывна при $x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$ . Найти $\frac{d F}{d t}$ , где

\begin{gathered} F(t) = \iint _{G(t)} f(x ; y ; z) d x d y d z, \\ G(t) = \left\{ x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, x+y+z \leqslant t\right\} .\end{gathered}

?

Задача 3.8.162

Пусть функция $f(x ; y ; z)$ непрерывна при $x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$ . Найти $\frac{\partial^{3} F}{\partial x \partial y \partial z}$ , где

\begin{gathered} F(x ; y ; z) = \iiint _{G(x, y, z)} f(\xi ; \eta ; \zeta ) d \xi d \eta d \zeta \\ G(x ; y ; z) = [0 ; x] \times [0 ; y] \times [0 ; z]\end{gathered}

?

Задача 3.8.163

Записать интеграл от функции $f$ на множестве $G$ в виде повторного по возрастанию номеров координат, если:

?

(1)

$G = \left\{ 0 \leqslant x_{1} \leqslant x_{2} \leqslant x_{3} \leqslant x_{4} \leqslant a\right\}$ ;

(2)

$G = \left\{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} \leqslant a, x_{1} \geqslant 0, x_{2} \geqslant 0, x_{3} \geqslant 0, x_{4} \geqslant 0\right\}$ ;

(3)

$G = \left\{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} \leqslant R^{2}, 0 \leqslant x_{4} \leqslant H\right\}$ ;

(4)

$G = \left\{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leqslant a^{2}, x_{3}^{2}+x_{4}^{2} \leqslant b^{2}\right\}$

(5)

$G = \left\{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} \leqslant a^{2} x_{4}^{2}, 0 \leqslant x_{4} \leqslant H\right\}$ .

Задача 3.8.164

(1)(2)

Вычислить на множестве

$G = \left\{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} \leqslant a, x_{1} \geqslant 0, x_{2} \geqslant 0, x_{3} \geqslant 0, x_{4} \geqslant 0\right\} :$

?

(1)

$\int_{G} d x_{1} d x_{2} d x_{3} d x_{4}$ ;

(2)

$\int_{G}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)^{\alpha } d x_{1} d x_{2} d x_{3} d x_{4}, \alpha \geqslant 0$ .

Задача 3.8.165

(1)(2)

?

(1)

Проверить, что $\left(x = \left(x_{1} ; x_{2} ; x_{3} ; x_{4}\right)\right)$

\int _{0}^{a} d x_{1} \int _{0}^{x_{1}} d x_{2} \int _{0}^{x_{2}} d x_{3} \int _{0}^{x_{3}} f(x) d x_{4} = \int _{0}^{a} d x_{4} \int _{x_{4}}^{a} d x_{3} \int _{x_{3}}^{a} d x_{2} \int _{x_{2}}^{a} f(x) d x_{1}

(2)

вычислить интеграл из 1) при $f(x) = 1$ .

Задача 3.8.166

(1)(2)

?

(1)

Проверить, что $\left(x = \left(x_{1} ; x_{2} ; x_{3} ; x_{4}\right)\right)$

\begin{aligned} \int _{0}^{a} d x_{1} \int _{0}^{a = x_{1}} d x_{2} \int _{0}^{a-x_{1}-x_{2}} d x_{3} & \int _{0}^{a-x_{1}-x_{2}-x_{3}} f(x) d x_{4} = \\ & = \int _{0}^{a} d x_{4} \int _{0}^{a-x_{4}} d x_{3} \int _{0}^{a-x_{4}-x_{3}} d x_{2} \int _{0}^{a-x_{4}-x_{3}-x_{2}} f(x) d x_{1} \end{aligned}

(2)

вычислить интеграл из 1) при $f(x) = 1$ .

Задача 3.8.167

(1)(2)

Вычислить на множестве $G = \left\{ 0 \leqslant x_{1} \leqslant x_{2} \leqslant x_{3} \leqslant x_{4} \leqslant a\right\}$ интеграл:

?

(1)

$\int_{G} x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} d x_{1} d x_{2} d x_{3} d x_{4}$ ;

(2)

$\int_{G}\left(x_{1} x_{2}+x_{3} x_{4}\right) d x_{1} d x_{2} d x_{3} d x_{4}$ .

Задача 3.8.168

(1)(2)

Вычислить на множестве $G = \left\{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} \leqslant R^{2}, 0 \leqslant x_{4} \leqslant H\right\}$ интеграл:

?

(1)

$\int_{G} d x_{1} d x_{2} d x_{3} d x_{4}$ ;

(2)

$\int_{G}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}\right) d x_{1} d x_{2} d x_{3} d x_{4}$ .

Задача 3.8.169

(1)(2)

Вычислить на множестве $G = \left\{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} \leqslant a^{2} x_{4}^{2}, 0 \leqslant x_{4} \leqslant H\right\}$ интеграл:

?

(1)

$\int_{G} d x_{1} d x_{2} d x_{3} d x_{4}$

(2)

$\int_{G}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right) d x_{1} d x_{2} d x_{3} d x_{4}$ .

Задача 3.8.170

(1)(2)

Вычислить на множестве $G = \left\{ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leqslant a^{2}, x_{3}^{2}+x_{4}^{2} \leqslant b^{2}\right\}$ интеграл:

?

(1)

$\int_{G} d x_{1} d x_{2} d x_{3} d x_{4}$

(2)

$\int_{G}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)^{2} d x_{1} d x_{2} d x_{3} d x_{4}$ .

Задача 3.8.171

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на кубе $\left\{ 0 \leqslant x_{i} \leqslant a, i = 1, \ldots , n\right\}$ . Доказать, что

\begin{aligned} & \int _{0}^{a} d x_{1} \int _{0}^{x_{1}} d x_{2} \ldots \int _{0}^{x_{n-2}} d x_{n-1} \int _{0}^{x_{n-1}} f\left(x_{1} ; \ldots ; x_{n}\right) d x_{n} = \\ & \quad = \int _{0}^{a} d x_{n} \int _{x_{n}}^{a} d x_{n-1} \ldots \int _{x_{3}}^{a} d x_{2} \int _{x_{2}}^{a} f\left(x_{1} ; \ldots ; x_{n}\right) d x_{1}. \end{aligned}

?

Задача 3.8.172

(1)(2)(3)(4)

Пусть функция $f(t)$ непрерывна на $[0 ;+\infty )$ . Доказать, что:

?

(1)

$\int_{0}^{a} d x_{1} \int_{0}^{x_{1}} d x_{2} \ldots \int_{0}^{x_{n-2}} d x_{n-1} \int_{0}^{x_{n-1}} f\left(x_{n}\right) d x_{n} = \frac{1}{(n-1) !} \int_{0}^{a} f(t)(a-t)^{n-1} d t$

(2)

$\int_{0}^{a} d x_{1} \int_{x_{1}}^{a} d x_{2} \ldots \int_{x_{n-2}}^{a} d x_{n-1} \int_{x_{n-1}}^{a} f\left(x_{n}\right) d x_{n} = \frac{1}{(n-1) !} \int_{0}^{a} f(t) t^{n-1} d t$ ;

(3)

$\int_{0}^{a} d x_{1} \int_{0}^{x_{1}} d x_{2} \ldots \int_{0}^{x_{n-2}} d x_{n-1} \int_{0}^{x_{n}-1} \prod_{i = 1}^{n} f\left(x_{i}\right) d x_{n} = \frac{1}{n !}\left(\int_{0}^{a} f(t) d t\right)^{n}$ ;

(4)

$\int_{0}^{a} x_{1} d x_{1} \int_{0}^{x_{1}} x_{2} d x_{2} \ldots \int_{0}^{x_{n-2}} x_{n-1} d x_{n-1} \int_{0}^{x_{n-1}} f\left(x_{n}\right) d x_{n} = \frac{1}{2^{n-1}(n-1) !} \int_{0}^{a}\left(a^{2}-t^{2}\right)^{n-1} f(t) d t$

Задача 3.8.173

Пусть функция $f(t)$ непрерывна на $[0 ;+\infty ), G = \left\{ \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \leqslant a, x_{i} \geqslant 0 ; i = 1, \ldots , n\right\}$ . Доказать, что

\int _{G} f\left(x_{1}+\ldots +x_{n}\right) d x_{1} \ldots d x_{n} = \frac{1}{(n-1) !} \int _{0}^{a} f(t) t^{n-1} d t

?

Задача 3.8.174

Пусть функция $K(x ; y)$ непрерывна на квадрате

I^{2} = [a ; b] \times [a ; b] \equiv [a ; b]^{2}.

Обозначим $I = [a ; b], I^{n} = I \times I^{n-1}, n \geqslant 3$ , и пусть

\begin{gathered} K_{2}(x ; y) = \int _{I} K(x ; \xi ) K(\xi , y) d \xi , \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ K_{n+1}(x ; y) = \int _{I} K_{n}(x ; \xi ) K(\xi , y) d \xi \\ (x ; y) \in I^{2}, \quad n \geqslant 2. \end{gathered}

Доказать, что

\begin{align} K_{n+1}(x ; y) & = \int _{I^{n}} K\left(x ; \xi _{1}\right) K\left(\xi _{1} ; \xi _{2}\right) \ldots K\left(\xi _{n} ; y\right) d \xi _{1} \ldots d \xi _{n} \\ K_{n+m+1}(x ; y) & = \int _{I} K_{m}(x ; \xi ) K_{n}(\zeta ; y) d \xi , \quad (x ; y) \in I^{2}, \quad m, n \in N \end{align}

?

Задача 3.8.175

Вычислить интегралы по кубу $Q_{n} = [0 ; a]^{n} \in R^{n}, n \geqslant 2$ :

?

(1)

$\int_{Q_{n}} x_{k}^{p} d x, 1 \leqslant k \leqslant n, p \geqslant 0$ ;

(2)

$\int_{Q_{n}} \sum_{k = 1}^{n} x_{k} d x$ ;

(3)

$\int_{Q_{n}} \sum_{k = 1}^{n} x_{k}^{p} d x, p \geqslant 0$ ;

(4)

$\int_{Q_{n}}\left(\sum_{k = 1}^{n} x_{k}\right)^{p} d x, p \geqslant 0$ ;

(5)

$\int_{Q_{n}} e^{c_{1} x_{1}+\ldots +c_{n} x_{n}} d x, c_{k} \neq 0, k = 1, \ldots , n$ ;

(6)

$\int_{Q_{n}} \cos^{2} \frac{\pi }{2 a n}\left(x_{1}+\ldots +x_{n}\right) d x$ .

Задача 3.8.176

(1)(2)(3)

Вычислить интегралы по пирамиде $\Pi_{n} = \left\{ 0 \leqslant x_{n} \leqslant x_{n-1} \leqslant \ldots \leqslant x_{2} \leqslant x_{1} \leqslant a\right\}$ :

?

(1)

$\int_{\Pi_{n}} d x$ ;

(2)

$\int_{\Pi_{n}} x_{1} x_{2} \ldots x_{n} d x$ ;

(3)

$\int_{\Pi_{n}} \sum_{k = 1}^{n} x_{k} d x$ .

Задача 3.8.177

Вычислить интегралы по пирамиде $S_{n} = \left\{ \sum_{k = 1}^{n} x_{k} \leqslant a, x_{k} \geqslant 0, k = 1, \ldots , n\right\}$ :

?

(1)

$\int_{S_{n}} d x$ ;

(2)

$\int_{S_{n}} \sum_{k = 1}^{n} x_{k} d x$ ;

(3)

$\int_{S_{n}} \sum_{k = 1}^{n} x_{k}^{2} d x$ ;

(4)

$\int_{S_{n}}\left(\sum_{k = 1}^{n} x_{k}\right)^{1 / 2} d x$ ;

(5)

$\int_{S_{n}}\left(\sum_{k = 1}^{n} x_{k}\right)^{p} d x, p \geqslant 0$ .

Задача 3.8.178

Найти объем $n$ -мерного параллелепипеда, ограниченного плоскостями

\sum _{j = 1}^{n} a_{i j} x_{j} = \pm h_{i}, \quad h_{i} > 0, \quad i = 1, \ldots , n

при условии $\operatorname {det}\left(a_{i j}\right) \neq 0$ .

?

Задача 3.8.179

Найти объем $n$ -мерной пирамиды

\sum _{i = 1}^{n} \frac{x_{i}}{a_{i}} \leqslant 1, \quad x_{i} \geqslant 0, \quad a_{i} > 0, \quad i = 1, \ldots , n

?

Задача 3.8.180

(1)(2)

Сферические координаты в $R^{n}$ можно получить индуктивно следующим образом. Пусть

x = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n-1} ; x_{n}\right) \in R^{n}

$x^{\prime } = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n-1}\right)$ — проекция $x$ на $R^{n-1}$ . Пусть $r^{\prime } = \left|x^{\prime }\right|, \psi_{1}, \ldots , \psi_{n-2}$ — сферические координаты в $R^{n-1}$ .

Набор $\left(r^{\prime } ; \psi_{1} ; \ldots ; \psi_{n-2} ; x_{n}\right)$ называют цилиндрическими координатами точки $x$ в $R^{n}$ .

Совершим еще одну замену по формулам

r^{\prime } = r \cos \psi _{n-1}, \quad x_{n} = r \sin \psi _{n-1}

оставляя координаты $\psi_{1}, \ldots , \psi_{n-2}$ прежними. Здесь $r = \left|x\right|, \psi_{n-1} \in [-\pi / 2 ; \pi / 2]$ , якобиан замены, очевидно, равен $r$ . Тогда каждой точке $x$ сопоставлены сферические координаты $(r ; \psi_{1} ; \ldots ; \psi_{n-1})$ , а якобиан перехода от $\left(x_{1} ; \ldots ; x_{n}\right)$ к $\left(r ; \psi_{1} ; \ldots ; \psi_{n-1}\right)$ равен $J_{n} = r J_{n-1}$ , где $J_{n-1}$ — якобиан сферической замены в $R^{n-1}$ .

Вывести:

?

(1)

формулы перехода к сферическим координатам

\begin{aligned} & x_{n} = r \sin \psi _{n-1}, \\ & x_{n-1} = r \cos \psi _{n-1} \sin \psi _{n-2}, \\ & x_{n-2} = r \cos \psi _{n-1} \cos \psi _{n-2} \sin \psi _{n-3}, \\ & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ & x_{2} = r \cos \psi _{n-1} \ldots \cos \psi _{2} \sin \psi _{1}, \\ & x_{1} = r \cos \psi _{n-1} \ldots \cos \psi _{2} \cos \psi _{1}, \end{aligned}

где $\psi_{1} \in [0 ; 2 \pi ), \psi_{j} \in [-\pi / 2 ; \pi / 2], j = 2, \ldots , n-1$ ;

(2)

формулу для якобиана перехода к сферическим координатам B $R^{n}$

J_{n} = r^{n-1} \cos ^{n-2} \psi _{n-1} \cos ^{n-3} \psi _{n-2} \ldots \cos ^{2} \psi _{3} \cos \psi _{2}

Задача 3.8.181

Найти объем $n$ -мерного шара $\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} \leqslant R^{2}$ .

?

Задача 3.8.182

Найти объем $n$ -мерного цилиндра $\sum_{i = 1}^{n-1} x_{i}^{2} \leqslant R^{2}, 0 \leqslant x_{n} \leqslant H$ .

?

Задача 3.8.183

Найти объем $n$ -мерного конуса $\sum_{i = 1}^{n-1} x_{i}^{2} \leqslant x^{2} x_{n}^{2}, \quad 0 \leqslant x_{n} \leqslant H$ .

?

Задача 3.8.184

Вычислить интеграл $\int_{G} x_{n}^{2} d x, x = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n}\right)$ , где

G = \left\{ \sum _{i = 1}^{n-1} x_{i}^{2} \leqslant R^{2}, \quad 0 \leqslant x_{n} \leqslant H\right\}

?

Задача 3.8.185

Найти объем $n$ -мерного эллипсоида $\sum_{i = 1}^{n} \frac{x_{i}^{2}}{a_{i}^{2}} \leqslant 1$ .

?

Задача 3.8.186

Вычислить интеграл $\int_{\Omega }\left(R^{2}-x_{1}^{2}-\ldots -x_{n}^{2}\right)^{1 / 2} d x$ , где $\Omega$ — шар $\sum_{i = 1} x_{i}^{2} \leqslant R^{2}$ .

?

Задача 3.8.187

Пусть функция $f(r)$ непрерывна при $r \geqslant 0$ . Свести к однократному интеграл $\int_{\Omega } f\left(\sqrt{x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}\right) d x$ , где $\Omega$ — шар $\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} \leqslant R^{2}$ .

?

Задача 3.8.188

Пусть $Q = [0 ; a]^{n}, Q(x) = \left[0 ; x_{1}\right] \times \left[0 ; x_{2}\right] \times \ldots \times \left[0 ; x_{n}\right], x_{k} > 0$ , $k = 1, \ldots , n$ , и пусть функция $f(x)$ непрерывна на $Q, x = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n}\right)$ , $u = \left(u_{1} ; \ldots ; u_{n}\right)$ ,

Найти $\frac{\partial^{n} F}{\partial x_{1} \ldots \partial x_{n}}$ .

F(x) = \int _{Q(x)} f(u) d u, \quad x \in Q

?

Задача 3.8.189

Пусть функция $f$ непрерывна и положительна на $[0 ; a], Q = [0 ; a]^{n}, x = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n}\right)$ . Вычислить интеграл

I_{m} = \int _{Q}\left(\sum _{k = 1}^{m} f\left(x_{k}\right) / \sum _{k = 1}^{n} f\left(x_{k}\right)\right) d x, \quad 1 \leqslant m \leqslant n

?

Задача 3.8.190

Пусть функция $f$ непрерывна на $[0 ; 1], Q_{n} = [0 ; 1]^{n}$ . Доказать, что $\left(x = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n}\right)\right)$

\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{Q_{n}} f\left(x_{1} x_{2} \ldots x_{n}\right) d x = f(0)

?

Задача 3.8.191

Пусть $S_{n} = \left\{ \sum_{k = 1}^{n} x_{k} \leqslant 1, x_{k} \geqslant 0, k = 1, \ldots , n\right\}$ . Получить формулу Дирихле $\left(x = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n}\right)\right)$

\int _{S_{n}} x_{1}^{p_{1}-1} x_{2}^{p_{2}-1} \ldots x_{n}^{p_{n}-1} d x = \frac{\Gamma \left(p_{1}\right) \Gamma \left(p_{2}\right) \ldots \Gamma \left(p_{n}\right)}{\Gamma \left(p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{n}+1\right)}, \quad p_{k} > 0, \quad k = 1, \ldots , n

?

Задача 3.8.192

Пусть $S_{n}$ — та же пирамида, что и в задаче $191, f(t)$ — непрерывная при $t \geqslant 0$ функция. Получить формулу Лиувилля

\begin{array}{rl} \int _{S_{n}} & f\left(x_{1}+\ldots +x_{n}\right) x_{1}^{p_{1}-1} x_{x}^{p_{2}-1} \ldots x_{n}^{p_{n}-1} d x_{1} d x_{2} \ldots d x_{n} = \\ \quad & = \frac{\Gamma \left(p_{1}\right) \Gamma \left(p_{2}\right) \ldots \Gamma \left(p_{n}\right)}{\Gamma \left(p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{n}\right)} \int _{0}^{1} f(t) t^{p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{n}-1} d t, \quad p_{k} > 0, \quad k = 1, \ldots , n. \end{array}

?

Задача 3.8.193

Показать, что введенное ранее (см. [2, гл. III]) понятие несобственного интеграла в $R^{1}$ не равносильно данному здесь определению. А именно привести пример однократного интеграла, сходящегося в прежнем определении и расходящегося в данном здесь определении.

?

Задача 3.8.194

(1)(2)(3)

Доказать:

?

(1)

линейность несобственного интеграла;

(2)

аддитивность несобственного интеграла по множествам;

(3)

если $f \leqslant g$ на $G$ и обе функции интегрируемы на $G$ в несобственном смысле, то

\int _{G} f(x) d x \leqslant \int _{G} g(x) d x

Задача 3.8.195

Пусть функция $f$ интегрируема в несобственном смысле на $G, \Omega$ — открытое измеримое подмножество $G$ . Доказать, что

\int _{G} f(x) d x-\int _{\Omega } f(x) d x = \int _{G \backslash \Omega } f(x) d x

?

Задача 3.8.196

Доказать, что интеграл $\int_{G} f(x) d x$ сходится тогда и только тогда, когда для любой последовательности множеств $G_{k}, k = 1,2, \ldots$ , исчерпывающей $G$ , существуют интегралы

\int _{G \backslash \bar{G}_{k}} f(x) d x \quad \text{ и } \quad \lim _{k \rightarrow \infty } \int _{G \backslash \bar{G}_{k}} f(x) d x = 0.

?

Задача 3.8.197

Пусть $f_{+}(x) = f(x)$ , если $f(x) \geqslant 0$ , и $f_{+}(x) = 0$ , если $f(x) < 0$ , пусть $f_{-}(x) = f(x)$ , если $f(x) \leqslant 0$ , и $f_{-}(x) = 0$ , если $f(x) > 0$ . Доказать, что интеграл $\int_{G} f(x) d x$ абсолютно сходится тогда и только тогда, когда сходятся интегралы

\int _{G} f_{+}(x) d x \quad \text{ и } \quad \int _{G} f_{-}(x) d x

?

Задача 3.8.198

Пусть функции $f(x)$ и $g(y)$ абсолютно интегрируемы на $(a ; b)$ и $(c ; d)$ соответственно. Доказать, что интеграл от $f(x) g(y)$ на $(a ; b) \times (c ; d)$ сходится и

\iint _{(a ; b) \times (c ; d)} f(x) g(y) d x d y = \int _{a}^{b} f(x) d x \cdot \int _{c}^{d} g(y) d y

?

Задача 3.8.199

(1)(2)(3)

?

(1)

Исследовать на сходимость интеграл $\int_{0}^{\infty } \int_{0}^{\infty } e^{-x y} \sin x d x d y$ ;

(2)

доказать, что сходятся повторные интегралы

\int _{0}^{\infty } d y \int _{0}^{\infty } e^{-x y} \sin x d x \quad \text{ и } \quad \int _{0}^{\infty } d x \int _{0}^{\infty } e^{-x y} \sin x d y

и имеют одинаковое значение; найти это значение;

(3)

доказать, что существует предел $\lim_{\substack {a \rightarrow +\infty \\ b \rightarrow +\infty }} \int_{0}^{a} \int_{0}^{b} e^{-x y} \sin x d x d y$ , найти этот предел и сравнить его со значением повторных интегралов из 2).

Задача 3.8.200

(1)(2)(3)(4)

?

(1)

Исследовать на сходимость интеграл

\int _{0}^{\infty } \int _{0}^{\infty } \sin \left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y

(2)

доказать, что сходятся повторные интегралы

\int _{0}^{\infty } d x \int _{0}^{\infty } \sin \left(x^{2}+y^{2}\right) d y \quad \text{ и } \quad \int _{0}^{\infty } d y \int _{0}^{\infty } \sin \left(x^{2}+y^{2}\right) d x

и имеют одинаковое значение; найти это значение;

(3)

доказать, что существует предел $\lim_{\substack {a \rightarrow +\infty \\ b \rightarrow +\infty }} \int_{0}^{a} \int_{0}^{b} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y$ , найти этот предел и сравнить его со значением интегралов из 2);

(4)

найти предел $\lim_{n \rightarrow \infty } \int_{G_{n}} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y$ , где $G_{n} = \left\{ x^{2}+y^{2} < 2 \pi n, x > 0, y > 0\right\}$ , и сравнить его с пределом из 3 $)$ .

Задача 3.8.201

(1)(2)

Пусть $f(x ; y) = \left(x^{2}-y^{2}\right) /\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}, x \geqslant 1, y \geqslant 1$ . Доказать, что:

?

(1)

сходятся повторные интегралы

\int _{1}^{+\infty } d x \int _{1}^{+\infty } f(x ; y) d y \text{ и } \int _{1}^{+\infty } d y \int _{1}^{+\infty } f(x ; y) d x \text{; }

(2)

расходится двойной интеграл $\int_{1}^{+\infty } \int_{1}^{+\infty } f(x ; y) d x d y$ .

Задача 3.8.202

Указать такую неотрицательную функцию $f(x ; y)$ , определенную на $(a ; b) \times (a ; b)$ , что двойной интеграл

\iint _{(a ; b) \times (a ; b)} f(x ; y) d x d y

сходится, а один или оба из повторных интегралов не существуют.

?

Задача 3.8.203

(1)(2)(3)

Исследовать на сходимость интегралы.

?

(1)

$\iint_{G} \frac{d x d y}{\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)^{\alpha }}, \quad G = \left\{ x^{2}+y^{2} > 1\right\}$ ;

(2)

$\iint_{R^{2}} \frac{d x}{\left(1+x^{2}+\frac{d y}{x y}+y^{2}\right)^{\alpha }}$ ;

(3)

$\iint_{R^{2}} \frac{d x d y}{\left(1+x^{4}+y^{4}\right)^{\alpha }}$ .

Задача 3.8.204

Исследовать на сходимость интегралы.

?

(1)

$\iint_{R^{2}} \frac{d x d y}{\left(1+|x|^{\alpha }\right)\left(1+|y|^{\beta }\right)}$ ;

(2)

$\iint_{G} \frac{d x d y}{x^{\alpha }+y^{\beta }}, G = \left\{ x > 0, y > 0, x^{\alpha }+y^{\beta } > 1\right\} , \alpha > 0, \beta > 0$ ;

(3)

$\iint_{G} \frac{d x d y}{\left(|x|^{\alpha }+|y|^{\beta }\right)^{p}}, \quad G = \left\{ |x|+|y| > 1\right\} , \quad \alpha > 0, \quad \beta > 0$ ;

(4)

$\iint_{G} \frac{x^{2} d x d y}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{p}}, G = \left\{ \left|y\right| < 1\right\}$ ;

(5)

$\iint_{G} \frac{d x d y}{(x+y)^{p}}, G = \left\{ y > 1+x^{2}\right\}$ ;

(6)

$\iint_{G} \frac{d x d y}{(x+y)^{p}}, G = \left\{ y > 0, x-y > 1\right\}$ .

Задача 3.8.205

(1)(2)(3)

Исследовать на сходимость интегралы, считая, что функция $f$ непрерывна и $0 < m \leqslant \left|f(x ; y)\right| \leqslant M < +\infty$ :

?

(1)

$\iint_{R^{2}} \frac{f(x ; y) d x d y}{\left(x^{2}+y^{2}+1\right)^{\alpha }}$ ;

(2)

$\iint_{G} \frac{f(x ; y) d x d y}{\left(x^{4}+y^{4}\right)^{\alpha }}, G = \left\{ 1 < y < 2\right\} ;$

(3)

$\iint_{G} \frac{f(x ; y) d x d y}{(\left|x\right|+y)^{\alpha }}, G = \left\{ 1+x^{2} < y < 2+x^{2}\right\}$ .

Задача 3.8.206

Исследовать на сходимость интегралы. $\iint_{x-y > 1} \frac{\sin x \cos y}{(x-y)^{p}} d x d y$ .

?

Задача 3.8.207

Исследовать на сходимость интегралы. $\iint_{R^{2}} \sin \left(x^{4}+y^{4}\right) d x d y$ .

?

Задача 3.8.208

Исследовать на сходимость интегралы. $\iint_{x^{2}+y^{2} \geqslant 1} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right)^{\alpha } d x d y$ .

?

Задача 3.8.209

(1)(2)(3)(4)

Исследовать на сходимость интегралы.

?

(1)

$\iint_{x^{2}+y^{2} < 1} \frac{d x d y}{\left(\sqrt{ } x^{2}+\bar{y}^{2}\right)^{\alpha }}$ ;

(2)

$\iint_{\left|x\right|+\left|y\right| < 1} \frac{d x d y}{\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)^{\alpha }}$ ;

(3)

$\iint_{x^{2}+y^{2} < 1} \frac{d x d y}{\left(1-x^{2}-y^{2}\right)^{\alpha }}$ ;

(4)

$\left.\iint_{0 < y < x < a} \frac{d x}{(a-x}\right)^{\alpha }\left(x \overline{-y)^{\beta }}\right.$ .

Задача 3.8.210

(1)(2)(3)

Исследовать на сходимость интегралы.

?

(1)

$\iint_{G} \frac{d x d y}{x^{\alpha }+y^{\beta }}, G = \left\{ x > 0, y > 0, x^{\alpha }+y^{\beta } < 1\right\} , \alpha > 0, \beta > 0$ ;

(2)

$\iint_{G} \frac{d x d y}{\left(x^{\alpha }+y^{\beta }\right)^{p}}, G = \left\{ x > 0, y > 0, x+y < 1\right\} , \alpha > 0, \beta > 0, p > 0$ ;

(3)

$\iint_{G} \frac{d x d y}{\left(1-x^{\alpha }-x^{\beta }\right)^{p}}, G = \left\{ x > 0, y > 0, x^{\alpha }+y^{\beta } < 1\right\} , \alpha > 0$ , $\beta > 0, p > 0$ .

Задача 3.8.211

(1)(2)(3)

Исследовать на сходимость интегралы, считая, что функция $f$ непрерывна и $0 < m \leqslant \left|f(x ; y)\right| \leqslant M$ :

?

(1)

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{f(x ; y)}{|x-y|^{p}} d x d y$ ;

(2)

$\quad \iint_{\left|x\right|+\left|y\right| < 1} \frac{f(x ; y)}{(1-x-y)^{p}} d x d y$ ;

(3)

$\iint_{x^{2}+y^{2} < 1} \frac{f(x ; y)}{\left(1-x^{2}-y^{2}\right)^{p}} d x d y$ .

Задача 3.8.212

Пусть функция $f(x ; y)$ непрерывна на прямоугольнике $[a ; b] \times [c ; d]$ , а функция $g(x)$ непрерывна на отрезке $[a ; b]$ . Доказать, что для $p < 1$ сходится интеграл $\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} \frac{f(x ; y)}{\mid y-g(x)} \frac{d x}{\left.\right|^{p}}$ .

?

Задача 3.8.213

Исследовать на сходимость интегралы. $\iint_{G} \frac{d x d y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\alpha }}, G = \left\{ x^{2}+y^{2} < 1,0 < x, 0 < y < x^{2}\right\}$ .

?

Задача 3.8.214

Исследовать на сходимость интегралы. $\iint_{G} \frac{d xdy}{\left(1-x^{2} - y^2\right)^{\alpha }}, G = \left\{ x > 0, y > 0, x+y < 1\right\}$ .

?

Задача 3.8.215

Исследовать на сходимость интегралы. $\iint_{G} \frac{d xdy}{\left(1-x^{2} - y^2\right)^{\alpha }}, G = \left\{ \sqrt{x}+\sqrt{y} < 1\right\}$ .

?

Задача 3.8.216

(1)(2)(3)

Исследовать на сходимость интегралы. $\iint_{G} \frac{y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d x d y$ , если:

?

(1)

$G = \left\{ 0 < x < y < 1\right\}$ ;

(2)

$G = \left\{ 1 < x < y < +\infty \right\}$ ;

(3)

$G = \left\{ 0 < x < 1,1 < y < +\infty \right\}$ .

Задача 3.8.217

Исследовать на сходимость интегралы. $\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right)^{\alpha } d x d y$ .

?

Задача 3.8.218

Пусть функция $\mu$ непрерывна в замыкании $\bar{G}$ ограниченной измеримой области $G, N(\xi ; \eta ; \zeta ) \in G, M(x ; y ; z) \in R^{3}$ ,

\left|M N\right| = \sqrt{(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}, \quad r = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Доказать, что

\iiint _{G} \frac{\mu (\xi ; \eta ; \zeta )}{\mid M} \frac{d \xi }{N \mid } \frac{d \eta d \zeta }{} = \frac{1}{r} \iiint _{G} \mu (\xi ; \eta ; \zeta ) d \xi d \eta d \zeta +o(1 / r)

?

Задача 3.8.219

Вычислить интегралы. $\iint_{R^{2}} \frac{\left|x\right| d x d y}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{2}}$ .

?

Задача 3.8.220

Вычислить интегралы. $\iint_{x^{2}+y^{2} > 1} \frac{d x d y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p}}$ .

?

Задача 3.8.221

Вычислить интегралы. $\iint_{x y > 1, x > 0} \frac{d x d y}{x^{p} y^{q}}$

?

Задача 3.8.222

Вычислить интегралы. $\iint_{0 < y-x < 1, x > 1} \frac{d x d y}{(x+y)^{p}}$ .

?

Задача 3.8.223

Вычислить интегралы. $\iint_{y > x^{2}+1} \frac{d x d y}{x^{4}+y^{2}}$ .

?

Задача 3.8.224

Вычислить интегралы. $\iint_{0 < x < y} e^{-(x+y)} d x d y$ .

?

Задача 3.8.225

Вычислить интегралы. $\iint_{R^{2}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} \cos \left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y$ .

?

Задача 3.8.226

Вычислить интегралы. $\iint_{R^{2}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y$ .

?

Задача 3.8.227

Вычислить интегралы. $\iint_{x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2} > 1} e^{-\left(x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}\right)} d x d y$ .

?

Задача 3.8.228

Вычислить интегралы. $\iint_{R^{2}} e^{-\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)} d x d y$ .

?

Задача 3.8.229

Пусть $\varepsilon \in (-1 ; 1)$ . Вычислить интеграл

\iint _{R^{2}} x y e^{-\left(x^{2} / a^{2}+2 \varepsilon x y /(a b)+y^{2} / b^{2}\right)} d x d y

?

Задача 3.8.230

Пусть $a(x ; y) = A x^{2}+2 B x y+C y^{2}+2 D x+2 E y+F$ , где $A > 0, \Delta = A C-B^{2} > 0$ . Вычислить интеграл

\iint _{R^{2}} e^{-a(x ; y)} d x d y

?

Задача 3.8.231

Вычислить интегралы. $\iint_{x^{2}+y^{2} < 1} \frac{d x d y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p}}, p < 1$ .

?

Задача 3.8.232

Вычислить интегралы. $\iint_{x^{2}+y^{2} < 1} \ln \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d x d y$ .

?

Задача 3.8.233

Вычислить интегралы. $\iint_{x^{2}+y^{2} < 1} \frac{d x d y}{\left(1-x^{2}-y^{2}\right)^{\alpha }}, \alpha < 1$ .

?

Задача 3.8.234

Вычислить интегралы. $\iint_{G} \frac{d x d y}{\sqrt{1-x^{2} / a^{2}-y^{2} / b^{2}}}, \quad G = \left\{ x > 0, y > 0, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} < 1\right\}$ .

?

Задача 3.8.235

Вычислить интегралы. $\iint_{x^{2}+y^{2} < 2 y} \frac{d x d y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ .

?

Задача 3.8.236

Вычислить интегралы. $\iint_{\sqrt{\left|x\right|} < y < 1} \frac{y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d x d y$ .

?

Задача 3.8.237

Вычислить интегралы. $\int_{0}^{a} \int_{0}^{x} \frac{d x d y}{\sqrt{(a-x)(x-y)}}, a > 0$ .

?

Задача 3.8.238

Вычислить интегралы. $\iint_{G} \ln \sin (x+y) d x d y, G = \left\{ x > 0, y > 0, x+y < \pi \right\}$ .

?

Задача 3.8.239

Вычислить интегралы. $\iint_{|x|^{\alpha } < y} \frac{y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d x d y, \quad 0 < \alpha < 1$ .

?

Задача 3.8.240

(1)(2)

Множество $G$ ограничено отрезком $\left[\left(a^{2}+1\right)^{\alpha } ;\left(b^{2}+1\right)^{\alpha }\right]$ оси $O x$ и двумя спиралями, заданными в полярных координатах уравнениями $r = \left(e^{\varphi }+a^{2}\right)^{\alpha }$ и $r = \left(e^{\varphi }+b^{2}\right)^{\alpha }, \varphi \geqslant 0$ , где $0 < a^{2} < b^{2} < a^{2}+e^{2 \pi }-1, \alpha > 0$ :

?

(1)

найти все $\alpha$ и $\beta$ , при которых сходится интеграл

\iint _{G}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\beta } d x d y

(2)

вычислить интеграл из 1) при $\alpha = 1 / 6, \beta = 1 / 2$ .

Задача 3.8.241

Вычислить интеграл

I(\xi ; \eta ) = \iint _{R^{2}} e^{-a \sqrt{x^{2}+y^{2}}} \cos x \xi \cos y \eta d x d y

?

Задача 3.8.242

Пусть сходится интеграл

\Phi (\xi ; \eta ) = \iint _{R^{2}} \varphi \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \cos x \xi \cos y \eta d x d y

Доказать, что $\Phi (\xi ; \eta ) \equiv \Phi \left(\sqrt{\xi^{2}+\eta^{2}}\right)$ .

?

Задача 3.8.243

Пусть функция $f$ непрерывна на $[0 ; a]$ . Доказать, что

\int _{0}^{a} \int _{0}^{x} \frac{f(y) d x d y}{\sqrt{(a-x)(x-y)}} = \pi \int _{0}^{a} f(y) d y

используя сведение несобственного двойного интеграла к повторному.

?

Задача 3.8.244

Проверить, что функция $\varphi (y) = \frac{1}{\pi } \int_{0}^{y} \frac{f^{\prime }(t)}{\sqrt{y-t}} d t$ удовлетворяет уравнению Абеля

\int _{0}^{x} \varphi (y) d y = f(x)

где $f$ — заданная непрерывно дифференцируемая функция.

?

Задача 3.8.245

Для Г-функции и В-функции:

\Gamma (a) = \int _{0}^{\infty } e^{-x} x^{a-1} d x, \quad \mathrm{~ B}(a ; b) = \int _{0}^{1} x^{a-1}(1-x)^{b-1} d x

доказать закон умножения (Якоби)

\Gamma (a) \Gamma (b) = \Gamma (a+b) \mathrm{B}(a ; b)

используя утверждение из задачи 198 и подходящую замену переменных.

15 Под ред. Л.Д.Кудрявцева, т. 3

?

Задача 3.8.246

Доказать, что интеграл

\int _{\left|x\right| > 1} \frac{d x}{|x|^{\alpha }}, \quad \text{ где } x = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n}\right) \in R^{n}, \quad \left|x\right| = \sqrt{x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}},

сходится при $\alpha > n$ и расходится при $\alpha \leqslant n$ .

?

Задача 3.8.247

Доказать, что интеграл

\int _{\left|x\right| < 1} \frac{d x}{|x|^{\alpha }}, \text{ где } x = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n}\right) \in R^{n}, \quad \left|x\right| = \sqrt{x_{n}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}},

сходится при $\alpha < n$ и расходится при $\alpha \geqslant n$ .

?

Задача 3.8.248

(1)(2)

Исследовать на сходимость интегралы, считая, что функция $f$ непрерывна и $0 < m \leqslant \left|f\right| \leqslant M < +\infty$ .

?

(1)

$\iint_{G} \frac{f(x ; y ; z) d x d y d z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{p}}, G = \left\{ x^{2}+y^{2}+z^{2} > 1\right\}$ ;

(2)

$\iint_{G} \frac{d x d y d z}{|x|^{p}+|y|^{q}+|z|^{r}}, G = \left\{ |x|+|y|+|z| > 1\right\}$ .

Задача 3.8.249

(1)(2)(3)(4)

Исследовать на сходимость интегралы, считая, что функция $f$ непрерывна и $0 < m \leqslant \left|f\right| \leqslant M < +\infty$ .

?

(1)

$\iint_{G} \frac{f(x ; y ; z) d x d y d z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{p}}, G = \left\{ x^{2}+y^{2}+z^{2} < 1\right\}$ ;

(2)

$\iint_{G} \frac{f(x ; y ; z) d x d y d z}{\left(1-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)^{p}}, G = \left\{ x^{2}+y^{2}+z^{2} < 1\right\}$ ;

(3)

$\iint_{G} \frac{d x d y d z}{\left|x-y-z\right|^{p}}, G = \left\{ \left|x\right| < 1, \left|y\right| < 1, \left|z\right| < 1, x \neq y+z\right\}$ ;

(4)

$\iint_{G} \frac{d t d x d y d z}{\left|t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right|^{p}}, G = \left\{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} < t < T < +\infty \right\}$ .

Задача 3.8.250

Пусть функция $f(x ; y ; z)$ непрерывна на кубе $Q = [0 ; a] \times [0 ; a] \times [0 ; a]$ , функции $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ непрерывны на отрезке $[0 ; a]$ . Доказать, что при $p < 1$ сходится интеграл

\iiint _{Q} \frac{f(x ; y ; z) d x d y d z}{\left(|y-\varphi (x)|^{2}+|z-\psi (x)|^{2}\right)^{p}}

?

Задача 3.8.251

Вычислить интегралы. $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} d x d y d z$

?

Задача 3.8.252

Вычислить интегралы. $\iint_{G} \frac{d x d y d z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{p}}, G = \left\{ x^{2}+y^{2}+z^{2} > 1\right\}$ .

?

Задача 3.8.253

Вычислить интегралы. $\iint_{G} \frac{d x d y d z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{p}}, G = \left\{ x^{2}+y^{2}+z^{2} < 1\right\}$ .

?

Задача 3.8.254

Вычислить интегралы. $\iiint_{R^{3}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)} d x d y d z$ .

?

Задача 3.8.255

Вычислить интегралы. $\iint_{G} \int^{2} y e^{x y z} d x d y d z, \quad G = \left\{ x > 0, y > 1, z > 1, x y z < 1\right\}$ .

?

Задача 3.8.256

Пусть $x = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n}\right), A(x) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{x_{i}^{2}}{a_{i}^{2}}$ . Вычислить интеграл

\int _{R^{n}} e^{-A(x)} d x

?

Задача 3.8.257

Пусть $x = \left(x_{1} ; \ldots ; x_{n}\right), A(x) = \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}$ — положительно определенная квадратичная форма. Вычислить интеграл

\int _{R^{n}} e^{-A(x)} d x

?

Задача 3.8.258

Выразить через значения Г-функции и В-функции интегралы:

?

(1)

$\int_{0}^{\infty } \int_{0}^{\infty }(x+y)^{p} e^{-x-y} d x d y, p > 0$

(2)

$\int_{0}^{\infty } \int_{0}^{\infty }\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p} e^{-x^{2}-y^{2}} d x d y, p > -1$ ;

(3)

$\int_{0}^{\infty } \int_{0}^{\infty } \int_{0}^{\infty } e^{-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{p}} d x d y d z, p > 0$

(4)

$\iint_{G}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p}\left(1-x^{2}-y^{2}\right)^{q} d x d y, p > -1, q > -1, G = \left\{ x > 0, y > 0, x^{2}+y^{2} < 1\right\}$ ;

(5)

$\iiint_{G} \frac{d x d y d z}{\left(t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)^{p}}, p < 1, G = \left\{ x^{2}+y^{2}+z^{2} < t^{2}\right\}$ .

Кратный интеграл Римана и его свойства