Теория вероятностей

Пусть $X$ имеет стандартное нормальное распределение, и пусть $Y=2 X$. Определите, является ли

Покажите, что любая функция $f$, удовлетворяющая (3.7), непрерывна.

Пусть $X$ — измеримое преобразование из $(\mathcal{E}, \mathcal{B})$ в $(\mathcal{X}, \mathcal{A})$ (то есть такое, что для любого $A \in \mathcal{A}$ множество $\left\{ e: X(e) \in A\right\}$ принадлежит $\mathcal{B}$), и пусть $Y$ — измеримое преобразование из $(\mathcal{X}, \mathcal{A})$ в $(\mathcal{Y}, \mathcal{C})$. Тогда $Y[X(e)]$ является измеримым преобразованием из $(\mathcal{E}, \mathcal{B})$ в $(\mathcal{Y}, \mathcal{C})$.

В Примере 3.1 покажите, что носитель $P$ равен $[a, b]$ тогда и только тогда, когда $F$ строго возрастает на $[a, b]$.

Пусть $S$ — носитель распределения на евклидовом пространстве $(\mathcal{X}, \mathcal{A})$. Тогда,

1. $S$ замкнуто;

2. $P(S)=1$;

3. $S$ является пересечением всех замкнутых множеств $C$ с $P(C)=1$.

Если $P$ и $Q$ — две эквивалентные вероятностные меры на одном и том же евклидовом пространстве, то они имеют один и тот же носитель.

Пусть $P$ и $Q$ задают вероятности

Тогда покажите, что $P$ и $Q$ имеют один и тот же носитель, но не являются эквивалентными.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с $X \sim E(\lambda , 1)$ и $Y \sim E(\mu , 1)$. Непосредственные наблюдения $X$ и $Y$ получить невозможно. Вместо этого мы наблюдаем случайные величины $Z$ и $W$, где

Найдите совместное распределение $Z$ и $W$ и покажите, что они независимы. (Переменные $X$ и $Y$ цензурированы — ситуация, часто встречающаяся в медицинских экспериментах. Предположим, что $X$ измеряет время выживания при некотором лечении, а пациент выбывает из исследования по причине, не связанной с этим. Мы не получаем измерения $X$, а только нижнюю границу.)