Групповые семейства

Если распределения положительной случайной величины $X$ образуют семейство масштаба, покажите, что распределения $\log X$ образуют семейство сдвига.

Если $X$ распределена согласно равномерному распределению $U(0, \theta )$, покажите, что распределение $-\log X$ является показательным.

Пусть $U$ равномерно распределена на $(0,1)$, и рассмотрим переменные $X=U^{\alpha }, 0<\alpha$. Покажите, что это определяет групповое семейство, и найдите плотность $X$.

Покажите, что группа преобразований является группой.

Если $g_{0}$ — произвольный элемент группы $G$, покажите, что когда $g$ пробегает $G$, то и $g g_{0}$ пробегает $G$.

Покажите, что при $p=2$ плотность (4.15) переходит в (4.16).

Покажите, что семейство преобразований (4.12) с невырожденной нижнетреугольной матрицей $B$ образует группу $G$.

Покажите, что совокупность всех невырожденных многомерных нормальных распределений может быть получена с помощью подгруппы $G$ из (4.12), описанной в Задаче 4.7.

В предыдущей задаче покажите, что $G$ можно заменить подгруппой $G_{0}$ нижнетреугольных матриц $B=\left(b_{i j}\right)$, в которых диагональные элементы $b_{11}, \ldots , b_{p p}$ все положительны, но никакая собственная подгруппа $G_{0}$ для этого не подойдёт.

Покажите, что семейство всех непрерывных распределений, носитель которых представляет собой интервал с положительной нижней границей, является групповым семейством. [Указание: Пусть $U$ равномерно распределена на интервале $(2,3)$, и пусть $X=b[g(U)]^{a}$, где $\alpha , b>0$, а $g$ непрерывна и взаимно однозначна из $(2,3)$ в $(2,3)$.]

Найдите модификацию группы преобразований (4.22), порождающую случайную выборку из генеральной совокупности $\left\{ y_{1}, \ldots , y_{N}\right\}$, в которой значения $y$, вместо того чтобы быть произвольными, ограничены условием

Обобщите группу преобразований из Примера 4.10 на случай $s$ генеральных совокупностей $\left\{ y_{i j}, j=1, \ldots , N_{i}\right\} , i=1, \ldots , s$, когда из $i$-й совокупности берётся случайная выборка объёма $n_{i}$.

Пусть $U$ — положительная случайная величина, и пусть

Если $F$ и $F_{0}$ — две непрерывные строго возрастающие функции распределения на вещественной прямой, и если функция распределения $U$ равна $F_{0}$, а $g$ строго возрастает, покажите, что функция распределения $g(U)$ равна $F$ тогда и только тогда, когда $g=F^{-1}\left(F_{0}\right)$.

Следующие два семейства распределений не являются групповыми семействами:

Пусть $X_{1}, \ldots , X_{r}$ имеют многомерное нормальное распределение с $E\left(X_{i}\right)=\xi_{i}$ и ковариационной матрицей $\Sigma$. Если $X$ — вектор-столбец с элементами $X_{i}$, а $B$ — матрица констант размера $r \times r$, то $B X$ имеет многомерное нормальное распределение со средним $B \xi$ и ковариационной матрицей $B \Sigma B^{\prime }$.