Дискретные распределения

Если $T$ имеет распределение $b(p, n)$, найдите несмещённую оценку $\delta (T)$ величины $p^{m}(m \leq n)$ с помощью Метода 1, то есть используя (1.10). [Указание: Пример 1.13.]

Если $Y$ имеет распределение (3.3), используйте Метод 1 из Раздела 2.1,

Рассмотрим схему, в которой биномиальное выборочное наблюдение продолжается до тех пор, пока не будет получено по меньшей мере $a$ успехов и $b$ неудач. Покажите, как вычислить разумную оценку $\log (p / q)$. [Указание: Чтобы получить несмещённую оценку $\log p$, модифицируйте UMVU-оценку $\delta$ из Задачи 3.4(c).]

Если биномиальное выборочное наблюдение продолжается до тех пор, пока не будет получено $m$ успехов, пусть $X_{i}$ ( $i= 1, \ldots , m$ ) — число неудач между $(i-1)$-м и $i$-м успехом.

Предположим, что биномиальное выборочное наблюдение продолжается до тех пор, пока число успехов не сравняется с числом неудач.

Проверьте формулу (3.7) с соответствующим определением $N^{\prime }(x, y)$

Рассмотрим последовательное биномиальное выборочное наблюдение с точками остановки $(0,1)$ и $(2, y)$, $y=0,1, \ldots$.

В Примере 3.4(ii)

Усечённое однократное выборочное наблюдение. Пусть $a, b<n$ — три неотрицательных целых числа. Продолжайте наблюдение до тех пор, пока не будет получено либо $a$ успехов, либо $b$ неудач, либо $n$ наблюдений. Найдите UMVU-оценку $p$.

Для любого плана последовательного биномиального выборочного наблюдения координаты $(X, Y)$ конечной точки траектории выборки являются минимальными достаточными.

Рассмотрим произвольный замкнутый план последовательного биномиального выборочного наблюдения с множеством точек остановки $B$, и пусть $B^{\prime }$ — множество $B \cup \left\{ \left(x_{0}, y_{0}\right)\right\}$, где $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ — точка, не принадлежащая $B$, которая достигается с положительной вероятностью при плане $B$. Покажите, что достаточная статистика $T=(X, Y)$ не полна для плана выборочного наблюдения, у которого множеством точек остановки служит $B^{\prime }$. [Указание: Для произвольной точки $(x, y) \in B$ пусть $N(x, y)$ и $N^{\prime }(x, y)$ обозначают число путей к $(x, y)$, когда множеством точек остановки является $B$ и $B^{\prime }$ соответственно, и пусть $N\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, N^{\prime }\left(x_{0}, y_{0}\right)=1$. Тогда статистика $1-\left[N(X, Y) / N^{\prime }(X, Y)\right]$ имеет математическое ожидание 0 при $B^{\prime }$ для всех значений $p$.]

Для произвольного плана последовательного биномиального выборочного наблюдения, при котором точка $(1,1)$ достигается с положительной вероятностью, но не является точкой остановки, найдите несмещённую оценку $p q$, зависящую только от $(X, Y)$. Вычислите эту оценку для

Используя (3.3), найдите $A(t, n)$ в (3.11) для отрицательного биномиального распределения с $m=n$, и вычислите оценки (3.13) величины $q^{r}$ и (3.14).

Рассмотрим $n$ биномиальных испытаний с вероятностью успеха $p$, и пусть $r$ и $s$ — два положительных целых числа с $r+s<n$. К границе $x+y=n$ добавим граничную точку $(r, s)$, то есть, если число успехов в первых $r+s$ испытаниях равно ровно $r$, процесс останавливается, и оставшиеся $n-(r+s)$ испытаний не проводятся.

Обобщите предыдущую задачу на случай, когда к границе добавляются две точки $\left(r_{1}, s_{1}\right)$ и $\left(r_{2}, s_{2}\right)$ с $r_{i}+s_{i}<n$. Предположим, что эти две точки таковы, что все $n+1$ точек $x+y=n$ остаются граничными точками.

Если $X$ имеет распределение Пуассона $P(\theta )$, покажите, что $1 / \theta$ не имеет несмещённой оценки.

Если $X_{1}, \ldots , X_{n}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, имеющие распределение (3.18) — распределение Пуассона, усечённое слева в 0, найдите UMVU-оценку $\theta$, когда

Пусть $X_{1}, \ldots , X_{n}$ — выборка из распределения Пуассона, усечённого слева в 0, то есть с выборочным пространством $\mathcal{X}=\left\{ 1,2,3, \ldots \right\}$.

Предположим, что $X$ имеет распределение Пуассона, усечённое справа в $a$, то есть имеет условное распределение $Y$ при $Y \leq a$, где $Y$ имеет распределение $P(\lambda )$. Покажите, что $\lambda$ не имеет несмещённой оценки.

Для отрицательного биномиального распределения, усечённого в нуле, вычислите оценки (3.13) и (3.14) при $m=1,2$ и 3.

Если $X_{1}, \ldots , X_{n}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с распределением $P(\lambda )$, рассмотрим оценивание $e^{-b \lambda }$, где $b$ известно.

Если $X_{1}, \ldots , X_{n}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, имеющие логарифмическое распределение из Задачи 1.5.14, вычислите оценки (3.13) и (3.14) при $n=1,2$ и 3.

Для полиномиального распределения из Примера 3.8

В Примере 3.9, когда $p_{i j}=p_{i+} p_{+j}$, найдите дисперсии двух несмещённых оценок $\delta_{0}=n_{i j} / n$ и $\delta_{1}=n_{i+} n_{+j} / n^{2}$ величины $p_{i j}$, и покажите непосредственно, что $\operatorname {var}\left(\delta_{0}\right)>\operatorname {var}\left(\delta_{1}\right)$ для всех $n>1$.

В Примере 3.9 покажите, что независимость $A$ и $B$ влечёт, что $(n_{1+}, \ldots , n_{I^{+}})$ и $\left(n_{+1}, \ldots , n_{+J}\right)$ независимы и имеют указанные полиномиальные распределения.

Проверьте (3.20).

Пусть $X, Y$ и $g$ таковы, что $E[g(X, Y) \mid y]$ не зависит от $y$. Тогда $E[f(Y) g(X, Y)]= E[f(Y)] E[g(X, Y)]$, и, следовательно, $f(Y)$ и $g(X, Y)$ некоррелированы для всех $f$.

В Примере 3.10 покажите, что оценка $\delta_{1}$ величины $p_{i j k}$ несмещённа для модели (3.20). [Указание: Задача 3.29.]