Непараметрические семейства

Пусть $X_{1}, \ldots , X_{n}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с распределением $F$.

Пусть $\mathcal{F}$ — класс всех одномерных функций распределения $F$, имеющих плотность вероятности $f$ и конечный $m$-й момент.

В предыдущей задаче покажите, что $1 / \operatorname {var}_{F} X_{i}$ не имеет несмещённой оценки ни при каком $n$.

Пусть $X_{1}, \ldots , X_{n}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с распределением $F \in \mathcal{F}$, где $\mathcal{F}$ — класс всех симметричных распределений, имеющих плотность вероятности. UMVU-оценки центра симметрии $\theta$ распределения $F$ не существует (если несмещённость требуется только для тех распределений $F$, для которых существует математическое ожидание оценки). [Указание: UMVU-оценка $\theta$ для случая, когда $F$ есть $U(\theta -1 / 2, \theta +1 / 2)$, полученная в Задаче 2.24, несмещённа для всех $F \in \mathcal{F}$; таковой же является и $\bar{X}$.]

Если $X_{1}, \ldots , X_{m}$ и $Y_{1}, \ldots , Y_{n}$ независимо распределены согласно $F$ и $G \in \mathcal{F}_{0}$, определённому в Задаче 4.1, то порядковые статистики $X_{(1)}<\cdots <X_{(m)}$ и $Y_{(1)}<\cdots < Y_{(n)}$ достаточны и полны. [Указание: Для доказательства полноты обобщите второе доказательство, предложенное в Задаче 6.33.]

При условиях предыдущей задачи найдите UMVU-оценку $P\left(X_{i}<Y_{j}\right)$.

При условиях Задачи 4.5 пусть $\xi =E X_{i}$ и $\eta =E Y_{j}$. Покажите, что $\xi^{2} \eta^{2}$ обладает несмещённой оценкой тогда и только тогда, когда $m \geq 2$ и $n \geq 2$.

Пусть $\left(X_{1}, Y_{1}\right), \ldots ,\left(X_{n}, Y_{n}\right)$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с распределением $F \in \mathcal{F}$, где $\mathcal{F}$ — семейство всех распределений, имеющих плотность вероятности и конечные вторые моменты. Покажите, что $\delta (X, Y)=\sum \left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right) /(n-1)$ является UMVU-оценкой для $\operatorname {cov}(X, Y)$.

При условиях предыдущей задачи найдите UMVU-оценку

Пусть $\left(X_{1}, Y_{1}\right), \ldots ,\left(X_{n}, Y_{n}\right)$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с распределением $F \in \mathcal{F}$, где $\mathcal{F}$ — семейство всех двумерных плотностей. Покажите, что достаточная статистика $T$, обобщающая порядковые статистики на двумерный случай, полна. [Указание: Обобщите второе доказательство, предложенное в Задаче 6.33. В качестве экспоненциального семейства для $(X, Y)$ возьмите плотности, пропорциональные $e^{Q(x, y)}$, где