Принцип эквивариантности

Покажите, что класс $G(\mathcal{C})$ является группой.

В Примере 2.2(ii) покажите, что преобразования $\mathbf{x}^{\prime }=-\mathbf{x}$ вместе с тождественным преобразованием образуют группу.

Пусть $\left\{ g X, g \in G\right\}$ — группа преобразований, оставляющих модель (2.1) инвариантной. Если распределения $P_{\theta }, \theta \in \Omega$ различны, покажите, что индуцированные преобразования $\bar{g}$ являются взаимно однозначными преобразованиями $\Omega$. [Указание: Чтобы показать, что из $\bar{g} \theta_{1}=\bar{g} \theta_{2}$ следует $\theta_{1}=\theta_{2}$, используйте тот факт, что из $P_{\theta_{1}}(A)=P_{\theta_{2}}(A)$ для всех $A$ следует $\theta_{1}=\theta_{2}$.]

${ }^{2}$ Сообщено P. Bickel.

При условиях Задачи 2.3 покажите, что

Покажите, что функция потерь удовлетворяет (2.9) тогда и только тогда, когда она имеет вид (2.10).

Пусть $X$ имеет распределение $N\left(\xi , \sigma^{2}\right),-\infty <\xi <\infty , 0<\sigma$, и пусть $h(\xi , \sigma )=\sigma^{2}$. Задача инвариантна относительно преобразований $x^{\prime }=a x+c ; 0<a,-\infty <c<\infty$. Покажите, что единственной эквивариантной оценкой является $\delta (X) \equiv 0$.

Покажите, что:

Если $\theta$ — истинная температура в градусах Цельсия, то $\theta^{\prime }=\bar{g} \theta =\theta +273$ — истинная температура в градусах Кельвина. Пусть дано наблюдение $X$ в градусах Цельсия:

Чтобы проиллюстрировать различие между функциональной эквивариантностью и формальной инвариантностью, рассмотрим следующий пример. Для оценки количества электроэнергии, которое можно получить от реки, можно использовать оценку

где $x=$ расход воды в потоке в $\mathrm{m}^{3} / \mathrm{sec}, 100 \mathrm{~ m}^{3} / \mathrm{sec}$ — пропускная способность трубы, ведущей к турбине, а $20 \mathrm{~ m}^{3} / \mathrm{sec}$ — уменьшение расхода, необходимое, чтобы не нанести вред форели. Константа $c$, измеряемая в киловаттах $/ \mathrm{m}^{3} / \mathrm{sec}$, переводит расход в оценку мощности в киловаттах.

В инвариантной вероятностной модели запишем $X=(T, W)$, где $T$ достаточна для $\theta$, а $W$ — вспомогательная статистика.

В инвариантной задаче оценивания запишем $X=(T, W)$, где $T$ достаточна для $\theta$, а $W$ — вспомогательная статистика. Если группа преобразований транзитивна, покажите:

Для ситуации из Примера 2.11:

Для ситуации из Примера 2.12:

Теорема 2.7 утверждает: если $\delta$ — эквивариантная оценка в задаче, инвариантной относительно группы преобразований $G$, то функция риска $\delta$ удовлетворяет $R(\bar{g}\theta ,\delta )=R(\theta ,\delta )$ для всех $\theta$ и всех $g\in G$.

Следствие 2.13 утверждает: при условиях Теоремы 2.7 функция риска любой эквивариантной оценки постоянна на орбитах $G$.

Докажите Следствие 2.13.

Если $\delta (X)$ — эквивариантная оценка $h(\theta )$ относительно группы $G$, то таковой же является и $g^{*} \delta (X)$, где $g^{*}$ определено формулами (2.12) и (2.13), при условии, что $G^{*}$ коммутативна.

Покажите, что:

В Примере 2.14 найдите совокупность всех эквивариантных оценок $\Delta$ относительно наименьшей группы $G$, содержащей $G_{1}$ и $G_{2}$.

Пусть $\theta$ вещественнозначен, а $h$ строго возрастает, так что (2.11) выполняется тривиально. Пусть $L(\theta , d)$ — потери от оценивания $\theta$ величиной $d$, и предположим, что потери от оценивания $\theta^{\prime }=h(\theta )$ величиной $d^{\prime }=h(d)$ равны $M\left(\theta^{\prime }, d^{\prime }\right)=L\left[\theta , h^{-1}\left(d^{\prime }\right)\right]$. Покажите, что:

Если $\delta (\mathbf{X})$ является MRE для оценивания $\xi$ в Примере 2.2(i) с функцией потерь $\rho (d-\xi )$, сформулируйте свойство оптимальности $e^{\delta (\mathbf{X})}$ как оценки $e^{\xi }$.

Пусть $X_{i j}, j=1, \ldots , n_{i}, i=1, \ldots , s$, и $W$ распределены с плотностью вида

где $\mathbf{x}_{i}-\xi_{i}=\left(x_{i 1}-\xi_{i}, \ldots , x_{i n_{i}}-\xi_{i}\right)$, и рассмотрим задачу оценивания $\theta =\Sigma c_{i} \xi_{i}$ с функцией потерь $L\left(\xi_{i}, \ldots , \xi_{s} ; d\right)=\rho (d-\theta )$. Покажите, что:

Теорема 1.4 утверждает: пусть $X$ имеет распределение с плотностью (1.9), и пусть $\delta$ — эквивариантная оценка $\xi$ относительно функции потерь (1.15). Тогда смещение, риск и дисперсия $\delta$ являются постоянными (т.е. не зависят от $\xi$).

Обобщите Теорему 1.4 на ситуацию Задачи 2.23.

Если $\delta_{0}$ — произвольная эквивариантная оценка $\theta$ в Задаче 2.23, и если $\mathbf{y}_{i}=\left(x_{i 1}-x_{i n_{i}}, x_{i 2}-x_{i n_{i}}, \ldots , x_{i n_{i}-1}-x_{i n_{i}}\right)$, покажите, что наиболее общая эквивариантная оценка $\theta$ имеет вид

Теорема 1.10 утверждает: пусть $X=(X_{1}, \ldots , X_{n})$ имеет распределение согласно (1.9), пусть $Y_{i}=X_{i}-X_{n}$ $(i=1, \ldots , n-1)$ и $Y=(Y_{1}, \ldots , Y_{n-1})$. Предположим, что функция потерь задаётся (1.15) и что существует эквивариантная оценка $\delta_{0}$ параметра $\xi$ с конечным риском. Предположим, что для каждого $y$ существует число $v(y)=v^{*}(y)$, минимизирующее $E_{0}\left\{ \rho [\delta_{0}(X)-v(y)] \mid y\right\}$. Тогда существует эквивариантная относительно сдвига оценка $\delta$ параметра $\xi$ с минимальным риском, задаваемая формулой $\delta^{*}(X)=\delta_{0}(X)-v^{*}(Y)$.

Следствие 1.12 утверждает: в условиях Теоремы 1.10: (i) если $\rho (d-\xi )=(d-\xi )^{2}$, то $v^{*}(y)=E_{0}[\delta_{0}(X) \mid y]$; (ii) если $\rho (d-\xi )=\left|d-\xi \right|$, то $v^{*}(y)$ — произвольная медиана $\delta_{0}(X)$ относительно условного распределения $X$ при заданном $y$.

Предположим, что переменные $X_{i j}$ в Задаче 2.23 независимо распределены как $N\left(\xi_{i}, \sigma^{2}\right)$, $\sigma$ известно. Покажите, что:

Покажите, что преобразование из Примера 2.11 и тождественное преобразование являются единственными преобразованиями, оставляющими семейство биномиальных распределений инвариантным.