Экспоненциальные линейные модели

В Примере 6.1 покажите, что $\gamma_{i j}=0$ для всех $i, j$ эквивалентно $p_{i j}=p_{i+} p_{+j}$. [Указание: $\gamma_{i j}=\xi_{i j}-\xi_{i.}-\xi_{. j}+\xi_{. .}=0$ влечёт $p_{i j}=a_{i} b_{j}$ и, следовательно, $p_{i+}=c a_{i}$ и $p_{+j}=b_{j} / c$ для подходящих $a_{i}, b_{j}$ и $c>0$.]

В Примере 6.2 покажите, что условная независимость $A, B$ при заданном $C$ эквивалентна $\alpha_{i j k}^{A B C}=\alpha_{i j}^{A B}=0$ для всех $i, j$ и $k$.

В Примере 6.1 покажите, что условное распределение векторов $(n_{i 1}, \ldots , n_{i J})$ при заданных значениях $n_{i^{+}}(i=1, \ldots , I)$ является распределением $I$ независимых векторов с полиномиальным распределением $M\left(p_{1 \mid i}, \ldots , p_{J \mid i} ; n_{i+}\right)$, где $p_{j \mid i}=p_{i j} / p_{i+}$.

Покажите, что распределение из предыдущей задачи также возникает в Примере 6.1, когда $n$ субъектов вместо того, чтобы быть выбранными из генеральной совокупности в целом, случайно отбираются следующим образом: $n_{1+}$ из Категории $A_{1}, \ldots , n_{I^{+}}$ из Категории $A_{I}$.

Одно из применений логлинейных моделей в генетике связано с моделью скрещивания Харди—Вайнберга. Если родительская популяция содержит аллели $A, a$ с частотами $p$ и $1-p$, то стандартные предположения случайного скрещивания приводят к потомству с генотипами $A A$, $A a$ и $a a$ с частотами $\theta_{1}=p^{2}, \theta_{2}=2 p(1-p)$ и $\theta_{3}=(1-p)^{2}$.

Город разделён на $I$ крупных районов, а $i$-й район — на $J_{i}$ подрайонов, каждый из которых имеет население примерно одинаковой численности. Из полицейских отчётов за данный год получена случайная выборка из $n$ ограблений. Запишите совместное полиномиальное распределение чисел $n_{i j}$ ограблений в подрайоне $(i, j)$ для этой вложенной двухфакторной схемы в виде $e^{\Sigma \Sigma n_{i j} \xi_{i j}}$ с $\xi_{i j}=\mu +\alpha_{i}+\beta_{i j}$, где $\Sigma_{i} \alpha_{i}=\Sigma_{j} \beta_{i j}=0$, и покажите, что предположение $\beta_{i j}=0$ для всех $i, j$ эквивалентно предположению, что $p_{i j}=p_{i+} / J_{i}$ для всех $i, j$.

Вместо выборки фиксированного размера $n$ из предыдущей задачи предположим, что наблюдения состоят из всех ограблений, произошедших за данный период времени, так что $n$ — значение, принимаемое случайной величиной $N$. Предположим, что $N$ имеет распределение Пуассона с неизвестным математическим ожиданием $\lambda$, и что условное распределение $n_{i j}$ при заданном $N=n$ является распределением, предполагавшимся для $n_{i j}$ в предыдущей задаче. Найдите UMVU-оценку $\lambda p_{i j}$ и покажите, что не существует несмещённой оценки $p_{i j}$. [Указание: См. следующую задачу.]

Пусть $N$ — целочисленная случайная величина с распределением $P_{\theta }(N=n)=P_{\theta }(n)$, $n=0, \ldots$, для которой $N$ полна. При заданном $N=n$ пусть $X$ имеет биномиальное распределение $b(p, n)$ при $n>0$, с неизвестным $p$, и пусть $X=0$, когда $n=0$. Для наблюдений $(N, X)$: