Введение

Проверьте выражения для $\pi (\lambda \mid \bar{x})$ и $\delta^{k}(\bar{x})$ в Примере 1.3.

Приведите примеры пар значений $(a, b)$, для которых бета-плотность $B(a, b)$ является

В Примере 1.5, если $p$ имеет несобственную априорную плотность $\frac{1}{p(1-p)}$, покажите, что апостериорная плотность $p$ при заданном $x$ является собственной, при условии $0<x<n$.

В Примере 1.5 найдите априорное распределение Джеффриса для $p$ и соответствующую байесовскую оценку $\delta_{\Lambda }$.

Для оценки $\delta_{\Lambda }$ из Задачи 1.4,

В Примере 1.5 найдите байесовскую оценку $\delta$ параметра $p(1-p)$, когда $p$ имеет априорное распределение $B(a, b)$.

Для ситуации Примера 1.5 UMVU-оценка $p(1-p)$ равна $\delta^{\prime }=[x(x- 1)] /[n(n-1)]$ (см. Пример 2.3.1 и Задачу 2.3.1).

По аналогии с Задачей 1.2 определите возможные формы гамма-плотности $\Gamma (g, 1 / \alpha ), \alpha , g>0$.

Пусть $X_{1}, \ldots , X_{n}$ — независимые одинаково распределённые согласно распределению Пуассона $P(\lambda )$, и пусть $\lambda$ имеет гамма-распределение $\Gamma (g, \alpha )$.

Для ситуации предыдущей задачи решите два пункта, соответствующие пунктам (a) и (b) Задачи 1.5.

В Задаче 1.9, если $\lambda$ имеет несобственную априорную плотность $d \lambda / \lambda$ (соответствующую $\alpha =g=$ 0), при каких условиях апостериорное распределение является собственным?

Решите задачи, аналогичные Задачам 1.9 и 1.10, когда наблюдения состоят из одной случайной величины $X$, имеющей отрицательное биномиальное распределение $N b(p, m)$, $p$ имеет бета-априорное распределение $B(a, b)$, а оцениваемым параметром является