Допустимость и минимаксность в групповых семействах

Покажите, что Теорема 3.2.7 остаётся верной для почти эквивариантных оценок.

Проверьте плотность (3.1).

В Примере 3.3 покажите, что функция потерь остаётся инвариантной относительно $G$ тогда и только тогда, когда она является функцией от $(d-\theta )^{*}$.

В Примере 3.3 покажите, что ни одна из функций потерь $\left[(d-\theta )^{* *}\right]^{2}$ и $\left|(d-\theta )^{* *}\right|$ не является выпуклой.

Пусть $Y$ распределена как $G(y-\eta )$. Если $T=[Y]$ и $X=Y-T$, найдите распределение $X$ и покажите, что оно зависит от $\eta$ только через $\eta -[\eta ]$.

Докажите формулу (3.9).

Докажите (3.11).

В Примере 3.8 пусть $h(\theta )$ — длина пути $\theta$ после сокращения. Покажите, что $h$ не удовлетворяет условиям (3.2.11).

Обсудите Пример 3.8 для случая, когда случайное блуждание происходит не на плоскости, а

Покажите, что риск $R(\theta , \delta )$ из (3.18) конечен.

Покажите, что обе оценки $\delta^{*}$ и $\delta^{* *}$, определённые формулами (3.20) и (3.21) соответственно, являются эквивариантными.

Докажите соотношения (3.22) и (3.23).

Пусть распределение $X$ зависит от параметров $\theta$ и $\vartheta$, пусть функция риска оценки $\delta =\delta (x)$ параметра $\theta$ равна $R(\theta , \vartheta ; \delta )$, и пусть $r(\theta , \delta )=\int R(\theta , \vartheta ; \delta ) d P(\vartheta )$ для некоторого распределения $P$. Если $\delta_{0}$ минимизирует $\sup_{\theta } r(\theta , \delta )$ и удовлетворяет $\sup_{\theta } r\left(\theta , \delta_{0}\right)=\sup_{\theta , \vartheta } R\left(\theta , \vartheta ; \delta_{0}\right)$, покажите, что $\delta_{0}$ минимизирует $\sup_{\theta , \vartheta } R(\theta , \vartheta ; \delta )$.