6.5

Многопараметрический случай

[6/0%]
Показать
LaTeX
Задача 6.5.1
?
(a)

Если вектор Yn\mathbf{Y}_{n} в EsE_{s} сходится по вероятности к постоянному вектору a\mathbf{a}, а hh — непрерывная функция, определённая на EsE_{s}, покажите, что h(Yn)→h(a)h\left(\mathbf{Y}_{n}\right) \rightarrow h(\mathbf{a}) по вероятности.

(b)

Используя (a), покажите, что элементы ∥Ajkn∥−1\left\| A_{j k n}\right\|^{-1} сходятся по вероятности к элементам BB, как утверждается в доказательстве Леммы 5.2.

Задача 6.5.2
?
(a)

Покажите, что (5.26) без учёта остаточного члена имеет тот же вид, что и (5.15), и определите AjknA_{j k n}.

(b)

Покажите, что получаемые ajka_{j k} из Леммы 5.2 совпадают с теми, что в (5.23).

(c)

Покажите, что остаточным членом в (5.26) можно пренебречь в доказательстве Теоремы 5.3.

Задача 6.5.3

Пусть X1,…,XnX_{1}, \ldots , X_{n} — независимые одинаково распределённые случайные величины с распределением N(ξ,σ2)N\left(\xi , \sigma^{2}\right).

?
(a)

Покажите, что уравнения правдоподобия имеют единственный корень.

(b)

Покажите непосредственно (т.е. не прибегая к Теореме 5.1), что MLE ξ^\hat{\xi } и σ^\hat{\sigma } асимптотически эффективны.

Задача 6.5.4

Пусть (X0,…,Xs)\left(X_{0}, \ldots , X_{s}\right) имеет полиномиальное распределение M(p0,…,ps;n)M\left(p_{0}, \ldots , p_{s} ; n\right).

?
(a)

Покажите, что уравнения правдоподобия имеют единственный корень.

(b)

Покажите непосредственно, что MLE p^i\hat{p}_{i} асимптотически эффективны.

Задача 6.5.5

Теорема 5.3 утверждает: предположим, что выполнены предположения Теоремы 5.1 (стандартные условия многопараметрической регулярности правдоподобия и состоятельности для независимой одинаково распределённой выборки из регулярного параметрического семейства с параметром θ=(θ1,…,θs)\theta =(\theta_1,\ldots ,\theta_s)), и что θ~jn\tilde\theta_{jn} — n\sqrt{n}-состоятельная оценка θj\theta_j при j=1,…,sj=1,\ldots ,s. Пусть {δkn,k=1,…,s}\left\{ \delta_{kn}, k=1,\ldots ,s\right\} — решение уравнений

∑k=1s(δkn−θ~kn)ljk′′(θ~n)=−lj′(θ~n),j=1,…,s, \sum _{k=1}^{s}\left(\delta _{k n}-\tilde{\theta }_{k n}\right) l_{j k}''\left(\tilde{\theta }_{n}\right)=-l_{j}'\left(\tilde{\theta }_{n}\right), \qquad j=1,\ldots ,s,

где l(θ)l(\theta ) — логарифм правдоподобия, lj′=∂l/∂θjl_j' = \partial l/\partial \theta_j, а ljk′′=∂2l/∂θj∂θkl_{jk}'' = \partial^2 l /\partial \theta_j\partial \theta_k. Тогда δn=(δ1n,…,δsn)\delta_n=(\delta_{1n},\ldots ,\delta_{sn}) асимптотически эффективна.

Следствие 5.4 утверждает: предположим, что выполнены предположения Теоремы 5.3 и что элементы Ijk(θ)I_{jk}(\theta ) информационной матрицы величин XX непрерывны. Тогда решения δkn′\delta_{kn}' уравнений

n(δkn′−θ~kn)Ijk(θ~n)=lj′(θ~n) n\left(\delta _{k n}'-\tilde{\theta }_{k n}\right) I_{j k}\left(\tilde{\theta }_{n}\right)=l_{j}'\left(\tilde{\theta }_{n}\right)

асимптотически эффективны.

Докажите Следствие 5.4.

?
Задача 6.5.6

Покажите, что существует функция ff двух переменных, для которой уравнения ∂f(x,y)/∂x=\partial f(x, y) / \partial x= 0 и ∂f(x,y)/∂y=0\partial f(x, y) / \partial y=0 имеют единственное решение, причём это решение является локальным, но не глобальным максимумом ff.

?