Общая теория

Пусть $X$ — векторное пространство. Все множества, упомянутые ниже, понимаются как подмножества $X$. Докажите следующие утверждения, исходя из аксиом, приведённых в разделе 1.4. (Некоторые из них неявно используются в тексте).

Выпуклой оболочкой множества $A$ в векторном пространстве $X$ называется множество всех выпуклых комбинаций элементов $A$, то есть множество всех сумм

в которых $x_{i} \in A, t_{i} \geq 0, \sum t_{i} = 1 ; n$ произвольно. Докажите, что выпуклая оболочка $A$ выпукла и что она является пересечением всех выпуклых множеств, содержащих $A$.

Пусть $X$ — топологическое векторное пространство. Все множества, упомянутые ниже, понимаются как подмножества $X$. Докажите следующие утверждения.

Пусть $B = \left\{ \left(z_{1}, z_{2}\right) \in \mathbb {C}^{2}:\left|z_{1}\right| \leq \left|z_{2}\right|\right\}$. Покажите, что $B$ уравновешено, но его внутренность — нет.

Рассмотрим определение "ограниченного множества", данное в разделе 1.6. Изменилось бы содержание этого определения, если бы требовалось лишь, чтобы для каждой окрестности $V$ точки 0 нашлось такое $t > 0$, что $E \subset t V$?

Докажите, что множество $E$ в топологическом векторном пространстве ограничено тогда и только тогда, когда каждое его счётное подмножество ограничено.

Пусть $X$ — векторное пространство всех комплексных функций на единичном интервале $[0,1]$, топологизованное семейством полунорм

Эта топология называется топологией поточечной сходимости. Обоснуйте эту терминологию.

Покажите, что существует последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ в $X$, такая что

Пусть

Пусть $X$ и $Y$ — топологические векторные пространства, $\operatorname {dim} Y < \infty , \Lambda : X \rightarrow Y$ линейно, и $\Lambda (X) = Y$.

Если $N$ — подпространство векторного пространства $X$, коразмерностью $N$ в $X$ по определению называется размерность фактор-пространства $X / N$.

Пусть $0 < p < 1$, и докажите, что каждое подпространство конечной коразмерности плотно в $L^{p}$. (См. раздел 1.47).

Пусть $d_{1}(x, y) = \left|x-y\right|, d_{2}(x, y) = \left|\phi (x)-\phi (y)\right|$, где $\phi (x) = x /(1+\left|x\right|)$. Докажите, что $d_{1}$ и $d_{2}$ — метрики на $R$, порождающие одну и ту же топологию, хотя $d_{1}$ полна, а $d_{2}$ — нет.

Пусть $C$ — векторное пространство всех комплексных непрерывных функций на [0,1]. Определим

Пусть $(C, \sigma )$ — $C$ с топологией, порождённой этой метрикой. Пусть $(C, \tau )$ — топологическое векторное пространство, определённое полунормами

в соответствии с теоремой 1.37.

Положим $K = [0,1]$ и определим $\mathscr {D}_{K}$, как в разделе 1.46. Покажите, что следующие три семейства полунорм (где $n = 0,1,2, \ldots$) задают одну и ту же топологию на $\mathscr {D}_{K}$, если $D = d / d x$:

Докажите, что пространства $C(\Omega )$ (раздел 1.44) не обладают свойством Гейне–Бореля.

Докажите, что топология $C(\Omega )$ не зависит от конкретного выбора $\left\{ K_{n}\right\}$, если только эта последовательность удовлетворяет условиям, указанным в разделе 1.44. Сделайте то же самое для $C^{\infty }(\Omega )$ (раздел 1.46).

В условиях раздела 1.46 докажите, что $f \rightarrow D^{\alpha } f$ является непрерывным отображением $C^{\infty }(\Omega )$ в $C^{\infty }(\Omega )$, а также $\mathscr {D}_{K}$ в $\mathscr {D}_{K}$, для каждого мультииндекса $\alpha$.

Докажите утверждение о сложении в двоичной системе, использованное в конце доказательства теоремы 1.24.

Пусть $M$ — плотное подпространство топологического векторного пространства $X, Y$ — $F$-пространство, и $\Lambda : M \rightarrow Y$ непрерывно (относительно топологии, которую $M$ наследует от $X$) и линейно. Докажите, что $\Lambda$ имеет непрерывное линейное продолжение $X: X \rightarrow Y$.

Указание: пусть $V_{n}$ — уравновешенные окрестности 0 в $X$, такие что $V_{n}+V_{n} \subset V_{n-1}$ и такие что $d(0, \Lambda x) < 2^{-n}$, если $x \in M \cap V_{n}$. Если $x \in X$ и $x_{n} \in \left(x+V_{n}\right) \cap M$, покажите, что $\left\{ \Lambda x_{n}\right\}$ — последовательность Коши в $Y$, и определите $\lambda x$ как её предел. Покажите, что $X$ определено корректно, что $\chi x = \Lambda x$, если $x \in M$, и что $X$ линейно и непрерывно.

Для каждого действительного числа $t$ и каждого целого числа $n$ определим $e_{n}(t) = e^{i n t}$, и определим

Будем рассматривать эти функции как элементы $L^{2}(-\pi , \pi )$. Пусть $X_{1}$ — наименьшее замкнутое подпространство $L^{2}$, содержащее $e_{0}, e_{1}, e_{2}, \ldots$, и пусть $X_{2}$ — наименьшее замкнутое подпространство $L^{2}$, содержащее $f_{1}, f_{2}, f_{3}, \ldots$ Покажите, что $X_{1}+X_{2}$ плотно в $L^{2}$, но не замкнуто. Например, вектор

принадлежит $L^{2}$, но не принадлежит $X_{1}+X_{2}$. (Сравните с теоремой 1.42).

Пусть $V$ — окрестность 0 в топологическом векторном пространстве $X$. Докажите, что существует действительная непрерывная функция $f$ на $X$, такая что $f(0) = 0$ и $f(x) = 1$ вне $V$. (Таким образом, $X$ является вполне регулярным топологическим пространством). Указание: пусть $V_{n}$ — уравновешенные окрестности 0, такие что $V_{1}+V_{1} \subset V$ и $V_{n+1}+V_{n+1} \subsetneq V_{n}$. Постройте $f$, как в доказательстве теоремы 1.24. Покажите, что $f$ непрерывна в 0 и что

Если $f$ — комплексная функция, определённая на компактном интервале $I = [0,1] \subset R$, определим

Если $0 < \alpha \leq 1$, соответствующее липшицево пространство Lip $\alpha$ состоит из всех $f$, для которых

конечно. Определим

Докажите, что $\operatorname {Lip} \alpha$ — банахово пространство и что $\operatorname {lip} \alpha$ — замкнутое подпространство $\operatorname {Lip} \alpha$.

Пусть $X$ — векторное пространство всех непрерывных функций на открытом отрезке $(0,1)$. Для $f \in X$ и $r > 0$ пусть $V(f, r)$ состоит из всех $g \in X$, таких что $\left|g(x)-f(x)\right| < r$ для всех $x \in (0,1)$. Пусть $\tau$ — топология на $X$, порождаемая этими множествами $V(f, r)$. Покажите, что сложение $\tau$-непрерывно, а умножение на скаляр — нет.

Покажите, что множество $W$, фигурирующее в доказательстве теоремы 1.14, не обязано быть выпуклым, и что $A$ не обязано быть уравновешенным, если только $U$ не выпукло.

Если $X$ — бесконечномерное топологическое векторное пространство, являющееся объединением счётного числа конечномерных подпространств, докажите, что $X$ имеет первую категорию в себе. Докажите, что, следовательно, ни одно бесконечномерное $F$-пространство не имеет счётного базиса Гамеля. (Множество $\beta$ называется базисом Гамеля векторного пространства $X$, если $\beta$ — максимальное линейно независимое подмножество $X$. Иными словами, $\beta$ — базис Гамеля, если каждый $x \in X$ имеет единственное представление в виде конечной линейной комбинации элементов $\beta$).

Множества первой и второй категории являются "малыми" и "большими" в топологическом смысле. Эти понятия различаются, когда "малое" и "большое" понимаются в смысле меры, даже если мера тесно связана с топологией. Чтобы убедиться в этом, постройте подмножество единичного интервала, имеющее первую категорию, но мера Лебега которого равна 1.

Положим $K = [-1,1]$; определим $\mathscr {D}_{K}$, как в разделе 1.46 (с $R$ вместо $R^{n}$). Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность интегрируемых по Лебегу функций, такая что

существует для каждой $\phi \in \mathscr {D}_{\vect {K}}$. Покажите, что $\Lambda$ — непрерывный линейный функционал на $\mathscr {D}_{\vect {K}}$. Покажите, что существует положительное целое число $p$ и число $M < \infty$, такие что

для всех $n$. Например, если $f_{n}(t) = n^{3} t$ на $[-1 / n, 1 / n]$ и 0 в остальных точках, покажите, что это можно сделать с $p = 1$. Постройте пример, где это можно сделать с $p = 2$, но не с $p = 1$.

Пусть $L^{1}$ и $L^{2}$ — обычные пространства Лебега на единичном интервале. Докажите, что $L^{2}$ имеет первую категорию в $L^{1}$, тремя способами:

Докажите результаты, аналогичные результатам упражнения 4, для пространств $\ell^{p}$, где $\ell^{p}$ — банахово пространство всех комплексных функций $x$ на $\left\{ 0,1,2, \ldots \right\}$, у которых норма

конечна.

Определим коэффициенты Фурье $\hat{f}(n)$ функции $f \in L^{2}(T)(T$ — единичная окружность) формулой

для всех $n \in Z$ (целые числа). Положим

Докажите, что $\left\{ f \in L^{2}(T): \lim_{n \rightarrow \infty } \Lambda_{n} f \text{ существует }\right\}$ является плотным подпространством $L^{2}(T)$ первой категории.

Пусть $C(T)$ — множество всех непрерывных комплексных функций на единичной окружности $T$. Пусть $\left\{ \gamma_{n}\right\} (n \in Z)$ — комплексная последовательность, сопоставляющая каждой $f \in C(T)$ функцию $\Lambda f \in C(T)$, коэффициенты Фурье которой равны

(Обозначения такие же, как в упражнении 6). Докажите, что $\left\{ \gamma_{n}\right\}$ обладает этим свойством мультипликатора тогда и только тогда, когда существует комплексная борелевская мера $\mu$ на $T$, такая что

Указание: с нормой супремума $C(T)$ — банахово пространство. Примените теорему о замкнутом графике. Затем рассмотрите функционал

и примените теорему Рисса о представлении ([23], теор. 6.19). (Указанный выше ряд может не сходиться; используйте его только для тригонометрических многочленов).

Определим функционалы $\Lambda_{m}$ на $\ell^{2}$ (см. упражнение 5) формулой

Определим $x_{n} \in \ell^{2}$ равенствами $x_{n}(n) = 1 / n, x_{n}(i) = 0$ если $i \neq n$. Пусть $K \subset \ell^{2}$ состоит из $0, x_{1}, x_{2}$, $x_{3}, \ldots$ Докажите, что $K$ компактно. Вычислите $\Lambda_{m} x_{n}$. Покажите, что $\left\{ \Lambda_{m} x\right\}$ ограничена для каждого $x \in K$, но $\left\{ \Lambda_{m} x_{m}\right\}$ — нет. Таким образом, выпуклость нельзя опустить в условиях теоремы 2.9.

Выберите $c_{n} > 0$ так, чтобы $\sum c_{n} = 1, \sum n c_{n} = \infty$. Возьмите $x = \sum c_{n} x_{n}$. Покажите, что $x$ лежит в замкнутой выпуклой оболочке $K$ (по определению это замыкание выпуклой оболочки) и что $\left\{ \Lambda_{m} x\right\}$ не ограничена.

Покажите, что выпуклая оболочка $K$ не замкнута.

Пусть $X, Y, Z$ — банаховы пространства, и

билинейно и непрерывно. Докажите, что существует $M < \infty$, такое что

Нужна ли здесь полнота?

Докажите, что билинейное отображение непрерывно, если оно непрерывно в начале координат $(0,0)$.

Определим $B\left(x_{1}, x_{2} ; y\right) = \left(x_{1} y, x_{2} y\right)$. Покажите, что $B$ — билинейное непрерывное отображение $R^{2} \times R$ на $R^{2}$, не являющееся открытым в точке $(1,1 ; 0)$. Найдите все точки, в которых это $B$ открыто.

Пусть $X$ — нормированное пространство всех действительных многочленов от одной переменной, с

Положим $B(f, g) = \int_{0}^{1} f(t) g(t) d t$, и покажите, что $B$ — билинейный функционал на $X \times X$, который раздельно непрерывен, но не непрерывен.

Пусть $X$ — топологическое векторное пространство второй категории в себе. Пусть $K$ — замкнутое, выпуклое, поглощающее подмножество $X$. Докажите, что $K$ содержит некоторую окрестность 0. Указание: сначала покажите, что $H = K \cap (-K)$ поглощающее. По категорийному рассуждению, $H$ имеет непустую внутренность. Затем используйте

Покажите, что результат неверен без выпуклости $K$, даже если $X = R^{2}$. Покажите, что результат неверен, если $X$ есть $L^{2}$, топологизованное $L^{1}$-нормой (как в упражнении 4).

Пусть $X$ — $F$-пространство, и $Y$ — подпространство $X$, дополнение которого имеет первую категорию. Докажите, что $Y = X$. Указание: $Y$ должно пересекаться с $x+Y$ для каждого $x \in X$.

Пусть $X$ и $K$ — метрические пространства, $K$ компактно, и график $f: X \rightarrow K$ является замкнутым подмножеством $X \times K$. Докажите, что $f$ непрерывна. (Это аналог теоремы 2.15, но гораздо проще). Покажите, что компактность $K$ нельзя опустить в условиях, даже когда $X$ компактно.

Назовём множество $H \subset R^{n}$ гиперплоскостью, если существуют действительные числа $a_{1}, \ldots , a_{n}, c$ (с $a_{i} \neq 0$ хотя бы для одного $i$), такие что $H$ состоит из всех точек $x = \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)$, удовлетворяющих $\sum a_{i} x_{i} = c$.

Пусть $E$ — выпуклое множество в $R^{n}$ с непустой внутренностью, и $y$ — граничная точка $E$. Докажите, что существует гиперплоскость $H$, такая что $y \in H$ и $E$ целиком лежит по одну сторону от $H$. (Сформулируйте вывод более точно). Указание: предположим, что 0 — внутренняя точка $E$, пусть $M$ — одномерное подпространство, содержащее $y$, и примените теорему 3.2.

Пусть $L^{2} = L^{2}([-1,1])$ относительно меры Лебега. Для каждого скаляра $\alpha$ пусть $E_{\alpha }$ — множество всех непрерывных функций $f$ на $[-1,1]$, таких что $f(0) = \alpha$. Покажите, что каждое $E_{\alpha }$ выпукло и плотно в $L^{2}$. Таким образом, $E_{\alpha }$ и $E_{\beta }$ — непересекающиеся выпуклые множества (если $\alpha \neq \beta$), которые нельзя разделить никаким непрерывным линейным функционалом $\Lambda$ на $L^{2}$. Указание: чему равно $\Lambda \left(E_{\alpha }\right)$?

Пусть $X$ — действительное векторное пространство (без топологии). Назовём точку $x_{0} \in A \subset X$ внутренней точкой $A$, если $A-x_{0}$ — поглощающее множество.

Пусть $\ell^{\infty }$ — пространство всех действительных ограниченных функций $x$ на положительных целых числах. Пусть $\tau$ — оператор сдвига, определённый на $\ell^{\infty }$ уравнением

Докажите, что существует линейный функционал $\Lambda$ на $\ell^{\infty }$ (называемый банаховым пределом), такой что

Для $0 < p < \infty$ пусть $\ell^{p}$ — пространство всех функций $x$ (действительных или комплексных, в зависимости от случая) на положительных целых числах, таких что

Для $1 \leq p < \infty$ определим $\left\| x\right\|_{p} = \left\{ \sum |x(n)|^{p}\right\}^{1 / p}$, и определим $\left\| x\right\|_{\infty } = \sup_{n}\left|x(n)\right|$.

Положим $f_{n}(t) = e^{i n t}(-\pi \leq t \leq \pi )$; пусть $L^{p} = L^{p}(-\pi , \pi )$ относительно меры Лебега. Если $1 \leq p < \infty$, докажите, что $f_{n} \rightarrow 0$ слабо в $L^{p}$, но не сильно.

$L^{\infty }([0,1])$ обладает своей топологией нормы ($\left\| f\right\|_{\infty }$ — существенный супремум $\left|f\right|$) и своей слабой*-топологией как сопряжённое к $L^{1}$. Покажите, что $C$, пространство всех непрерывных функций на $[0,1]$, плотно в $L^{\infty }$ в одной из этих топологий, но не в другой. (Сравните со следствиями теоремы 3.12). Покажите то же самое со словом "замкнуто" вместо "плотно".

Пусть $C$ — банахово пространство всех комплексных непрерывных функций на [0,1], с нормой супремума. Пусть $B$ — замкнутый единичный шар $C$. Покажите, что существуют непрерывные линейные функционалы $\Lambda$ на $C$, для которых $\Lambda (B)$ — открытое подмножество комплексной плоскости; в частности, $\left|\Lambda \right|$ не достигает максимума на $B$.

Пусть $E \subset L^{2}(-\pi , \pi )$ — множество всех функций

где $m, n$ — целые числа и $0 \leq m < n$. Пусть $E_{1}$ — множество всех $g \in L^{2}$, таких что некоторая последовательность в $E$ слабо сходится к $g$. ($E_{1}$ называется слабым секвенциальным замыканием E).

Представим $\ell^{1}$ как пространство всех действительных функций $x$ на $S = \left\{ (m, n): m \geq 1, n \geq 1\right\}$, таких что

Пусть $c_{0}$ — пространство всех действительных функций $\gamma$ на $S$, таких что $y(m, n) \rightarrow 0$ при $m+n \rightarrow \infty$, с нормой $\left\| y\right\|_{\infty } = \sup \left|y(m, n)\right|$.

Пусть $M$ — подпространство $\ell^{1}$, состоящее из всех $x \in \ell^{1}$, удовлетворяющих уравнениям