Некоторые приложения

Определим меры $\mu_{1}, \mu_{2}$ на единичной окружности формулами

и найдите область значений меры $\mu = \left(\mu_{1}, \mu_{2}\right)$.

Постройте две функции $f$ и $g$ на $[0,1]$ со следующим свойством: если

то область значений $\mu$ — квадрат с вершинами в $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$.

Пусть выполнены условия теоремы 5.9, $\phi \in C(S), \phi > 0$, $g \in C(K)$, и $\left|g\right| < \left.\phi \right|_{K}$. Докажите, что существует $f \in Y$, такая что $\left.f\right|_{K} = g$ и $\left|f\right| < \phi$ на S. Указание: примените теорему 5.9 к пространству всех функций $f / \phi$, где $f \in Y$.

Приведите детали доказательства того, что каждая крайняя точка $P$ имеет носитель в одной точке. (Это относится к концу доказательства теоремы 5.10).

Докажите аналоги теорем 1.10–1.12, упомянутые в разделе 5.12. (Не предполагайте, что $G$ коммутативна).

Пусть $G$ — топологическая группа, и $H$ — наибольшее связное подмножество $G$, содержащее единичный элемент $e$. Докажите, что $H$ — нормальная подгруппа $G$, то есть подгруппа, удовлетворяющая $x^{-1} H x = H$ для каждого $x \in G$. Указание: если $A$ и $B$ — связные подмножества $G$, то и $A B$, и $A^{-1}$ связны.

Докажите, что каждая открытая подгруппа топологической группы замкнута. (Обратное, очевидно, неверно).

Пусть $m$ — мера Хаара компактной группы $G$, и $V$ — непустое открытое множество в $G$. Докажите, что $m(V) > 0$.

Положим $e_{n}(\theta ) = e^{\text{ine }}$. Пусть $L^{2}$ относится к мере Хаара единичной окружности. Пусть $A$ — наименьшее замкнутое подпространство $L^{2}$, содержащее $e_{n}$ при $n = 0,1,2, \ldots$, пусть $B$ — наименьшее замкнутое подпространство $L^{2}$, содержащее $e_{-n}+n e_{n}$ при $n = 1,2,3, \ldots$ Докажите следующее:

Пусть $X$ — банахово пространство, $P \in \mathscr {B}(X), Q \in \mathscr {B}(X)$, и $P$ и $Q$ — проекции.

Пусть $P$ и $Q$ — проекции в векторном пространстве $X$.

Докажите, что операторы сдвига $\tau_{s}$, использованные в примере 5.19, удовлетворяют свойству непрерывности, описанному в разделе 5.17. Точнее, докажите, что

если $r \rightarrow s$ и $g \rightarrow f$ в $L^{1}$.

Используйте следующий пример, чтобы показать, что компактность $G$ нельзя опустить в условиях теоремы 5.18. Возьмём $X = L^{1}$ на действительной прямой $R$, относительно меры Лебега; $f \in Y$ тогда и только тогда, когда $\int_{R} f = 0 ; G = R$ с обычной топологией; $G$ действует на $L^{1}$ сдвигом: $\left(\tau_{s} f\right)(x) = f(s+x)$. Свойство совместной непрерывности выполнено (см. упражнение 12), $\tau_{s} Y = Y$ для каждого $s$, и $Y$ дополняемо в $X$. Тем не менее, не существует проекции $X$ на $Y$ (непрерывной или нет), коммутирующей с каждым $\tau_{s}$.

Пусть $S$ и $T$ — непрерывные линейные операторы в топологическом векторном пространстве, и

Докажите, что $T$ имеет замкнутую область значений. (См. теорему 5.16 для случая $S = I$).

Пусть $A$ — замкнутое подпространство $C(S)$, где $S$ — компактное хаусдорфово пространство; пусть $\mu$ — крайняя точка единичного шара $A^{\perp }$; и пусть $f \in C(S)$ — действительная функция, такая что

для каждой $g \in A$. Докажите, что тогда $f$ постоянна на носителе $\mu$. (Сравните с теоремой 5.7). Приведите пример, показывающий, что вывод неверен, если слово "действительная" опустить из условий.

Пусть $X$ — векторное пространство, $E \subset X, T: \operatorname {co}(E) \rightarrow X$ аффинно, и $T(E) \subset E$. Докажите, что $T(\operatorname {co}(E)) \subset \operatorname {co}(E)$. (Это неявно использовалось в доказательстве теоремы 5.11).

Если $X$ и $Y$ — векторные пространства, и $T: X \rightarrow Y$ аффинно, докажите, что $T-T(0)$ линейно.

Пусть $K$ — компактное множество в пространстве Фреше $X$, и $f: X \rightarrow K$ непрерывна. Докажите, что $f$ оставляет неподвижной некоторую точку $K$.

Сделайте то же самое, если $\Omega$ — выпуклое открытое множество в $X, \Omega \supset K$, и $f: \Omega \rightarrow K$ непрерывна.

Докажите существование непрерывной функции $f$ на $I = [0,1]$, удовлетворяющей уравнению

для всех $x \in I$. Указание: обозначив правую часть через $(T f)(x)$, покажите, что множество $\left\{ T f: f \in C(I)\right\}$ равномерно ограничено и равностепенно непрерывно, и что его замыкание, следовательно, компактно в $C(I)$. Примените теорему Шаудера о неподвижной точке (через упражнение 18).