Изолированные особые точки однозначного характера

Доказать, что точка $z = a$ является устранимой особой точкой для следующих функций:

Доказать, что точка $z = a$ является полюсом следующих функций:

Пусть функции $f(z)$ и $g(z)$ регулярны в точке $z = a$ и $f(a) = g(a) = 0$. Доказать, что:

Пусть функции $f(z)$ и $g(z)$ регулярны в точке $z = a$ и $f(a) = g(a) = 0$. Доказать, что точка $z = a$ является изолированной особой точкой однозначного характера для функции $F(z) = f(z) / g(z)$ и что она не может быть существенно особой точкой.

Пусть $z = a$ — изолированная особая точка однозначного характера для функции $f(z)$. Доказать, что точка $z = a$ является существенно особой точкой функции $f(z)$ в том и только в том случае, если существуют такие две последовательности $z_{1}^{\prime }, z_{2}^{\prime }, \ldots$ и $z_{1}^{\prime \prime }, z_{2}^{\prime \prime }, \ldots$, что $\lim_{n \rightarrow \infty } z_{n}^{\prime } = \lim_{n \rightarrow \infty } z_{n}^{\prime \prime } = a$, a $\lim_{n \rightarrow \infty } f\left(z_{n}^{\prime }\right) = A, \lim_{n \rightarrow \infty } f\left(z_{n}^{\prime \prime }\right) = B, \quad A \neq B$.

Доказать, что точка $z = \infty$ является существенно особой точкой для функции $\sin z$.

Доказать, что точка $z = a$ является существенно особой точкой функций:

Найти все изолированные особые точки однозначного характера для следующих функций и определить их вид:

Доказать, что изолированная особая точка однозначного характера $z = a$ является для функции $f(z)$ устранимой особой точкой, если выполняется одно из следующих условий (расположенных в порядке ослабления ограничений):

Пусть $z = a$ — изолированная особая точка однозначного характера для функции $f(z)$, удовлетворяющей в некоторой окрестности этой точки неравенству $\left|f(z)\right| < M|z-a|^{-m}$, где $M$ и $m$ — некоторые положительные постоянные. Доказать, что точка $z = a$ не может быть существенно особой точкой функции $f(z)$.

Пусть функция $f(z)$ имеет в конечной точке $z = a$ полюс порядка $m$. Определить порядок полюса в точке $z = a$ функции $f^{(n)}(z)$.

Пусть $P_{m}(z)$ и $Q_{n}(z)$ — многочлены степеней $m$ и $n$ соответственно. Найти порядок полюса в бесконечности для следующих функций:

Пусть функции $f(z)$ и $g(z)$ имеют в точке $z = \infty$ полюсы порядков $m$ и $n$ соответственно. Доказать, что функция $F(z) = f(g(z))$ имеет в точке $z = \infty$ полюс порядка $m n$.

Пусть функция $g(z)$ регулярна в точке $z = a$ и $g(a) = b$, а функция $f(\zeta )$ имеет в точке $\zeta = b$ полюс порядка $m$. Доказать, что функция $F(z) = f(g(z))$ имеет в точке $z = a$ полюс порядка $m n$, где $n$ — кратность нуля функции $g(z)-b$ в точке $z = a$.

Найти все особые точки функции $f(z)$ и определить их вид, если:

Пусть последовательность функций $\left\{ f_{n}(z)\right\}$, регулярных в кольце $0 < \left|z-a\right| < r$, равномерно сходится в каждой замкнутой части этого кольца. Доказать, что если каждая функция $f_{n}(z)$ имеет в точке $z = a$ полюс порядка $m$, то предельная функция $f(z)$ регулярна в кольце $0 < \left|z-a\right| < r$ и имеет в точке $z = a$ полюс порядка не выше $m$, или устранимую особую точку.

Найти все особые точки функции $f(z)$ и определить их вид, если:

Пусть $z = a$ — полюс функции $f(z)$. Доказать, что для функции $e^{f(z)}$ точка $z = a$ является существенно особой.

Пусть $f(z)$ — функция, регулярная на множестве $\overline{\mathbb {C}}$, за исключением единственного полюса $z = a$ первого порядка. Доказать, что если $a = \infty$, то $f(z)$ — линейная функция, т. е. $f(z) = A z+B$, где $A \neq 0$, а если $a \neq \infty$, то $f(z)$ — дробно-линейная функция, т. е. $f(z) = \frac{a z+b}{c z+d}$, где $a d-b c \neq 0$, $c \neq 0$.

Найти все особые точки функции $f(z)$ и определить их вид, если:

Пусть $f(z)$ — целая функция, принимающая каждое конечное значение только один раз. Доказать, что $f(z)$ — линейная функция, т. е. $f(z) = a z+b$, $a \neq 0$.

Пусть $z = a$ — существенно особая точка функции $f(z)$. Можно ли утверждать, что и для функции $\frac{1}{f(z)}$ точка $z = a$ является существенно особой?

Пусть точка $z = a$ является существенно особой точкой функции $f(z)$. Обозначим $M(\rho ) = \max_{\left|z-a\right| = \rho }\left|f(z)\right|$. Доказать, что при любом $k > 0$

Пусть функция $g(z)$ регулярна в точке $z = a$ и $g(a) = b$, а $\zeta = b$-существенно особая точка функции $f(\zeta )$. Доказать, что $z = a$ — существенно особая точка функции $F(z) = f(g(z))$.

Пусть функции $a_{1}(z), \ldots , a_{n}(z)$ регулярны в точке $a$ или имеют там полюс, $z = a$-существенно особая точка функции $f(z)$. Доказать, что $z = a$ — существенно особая точка функции

Найти все особые точки функции $f(z)$ и определить их вид, если:

Пусть $P_{m}(z)$ и $Q_{n}(z)$ — многочлены степени $m$ и $n$ соответственно, не имеющие общих нулей. Доказать, что нули многочлена $Q_{n}(z)$ и только эти точки являются полюсами функции $f(z) = \frac{P_{m}(z)}{Q_{n}(z)}$, а других особых точек в конечной плоскости у функции $f(z)$ нет. Показать, что точка $z = \infty$ является полюсом порядка $m-n$ функции $f(z)$, если $m > n$ и точкой регулярности, если $m \leqslant n$.

Пусть мероморфная функция $f(z)$ имеет в $\overline{\mathbb {C}}$ лишь конечное число полюсов $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{m}$ (точка $z = \infty$ также может быть полюсом). Доказать, что $f(z)$ — рациональная функция (отношение двух многочленов) и представляется в виде

где $f_{k}(z)$ и $f_{0}(z)$ — соответственно главные части ряда Лорана функции $f(z)$ в окрестностях точек $a_{k}$ и $z = \infty , A = \lim_{z \rightarrow \infty }\left(f(z)-f_{0}(z)\right)$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в области $D = \left\{ z: 0 < \left|z\right| < \rho \right\}$ и $f(z) \not\equiv 0$. Каким условиям должна удовлетворять функция $f(z)$ в точке $z = 0$, чтобы можно было указать регулярную в круге $B_{\rho }(0) = \left\{ z:\left|z\right| < \rho \right\}$ функцию $g(z)$, где $g(z) \not\equiv 0$, такую, что $\lim_{z \rightarrow 0}[f(z) g(z)] = 0$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в проколотой окрестности точки $z = 0$, т. е. в области $D = \left\{ z: 0 < \left|z\right| < \rho \right\}$ и для всех $z \in D$ справедливо неравенство

Доказать, что $z = 0$ — устранимая особая точка функции $f(z)$.

Пусть целая функция $f(z)$ в некоторой области $\left|z\right| > R$ удовлетворяет условию $\left|f(z)\right| \geqslant A|z|^{m}$, где $A > 0, \quad m \geqslant 0$ — целое число. Доказать, что $f(z)$ — многочлен.