Банк задач по математике

Задача 16.1

Найти приращение аргумента функции $z(\cdot ) \in C^{1}[0,1]$ на отрезке $[0,1]$ , заданной в виде $z(t) = x(t)+i y(t)$ , где

x(t) = 4 \cos \left(\frac{\pi }{2} t\right)-3, \quad y(t) = 3 \sin \left(\frac{\pi }{2} t\right)

?

Задача 16.2

Найти приращение аргумента функции $z(\cdot ) \in C^{1}[0,1]$ на отрезке $[0,1]$ , заданной в виде $z(t) = x(t)+i y(t)$ , где

x(t) = (2+t) \sin 4 \pi t, \quad y(t) = (1+t) \cos 4 \pi t+\frac{3}{2}

?

Задача 16.3

Вычислить приращение аргумента функции $z^{2}+1$ вдоль ориентированной кривой $\gamma$ , заданной в виде $z(t) = x(t)+i y(t)$ , где

x(t) = 5 \cos t, \quad y(t) = 2 \sin t, \quad t \in \left[0, \frac{\pi }{2}\right].

?

Задача 16.4

Вычислить приращение аргумента функции $\frac{1}{z^{2}+2 z}$ вдоль ориентированной кривой $\gamma$ , заданной в виде $z(t) = x(t)+i y(t)$ , где

x(t) = 3 \sin t, \quad y(t) = 2 \cos t, \quad t \in \left[0, \frac{\pi }{2}\right]

?

Задача 16.5

Вычислить приращение аргумента функции $\frac{z^{2}+1}{z^{2}-4}$ вдоль ориентированной кривой $\gamma$ , заданной в виде $z(t) = x(t)+i y(t)$ , где

x(t) = \cos t, \quad y(t) = 2 \sin t, \quad t \in \left[\frac{\pi }{2}, \frac{3}{2} \pi \right].

?

Задача 16.6

Вычислить приращение аргумента функции $\frac{\operatorname {tg} z}{z}$ вдоль ориентированной замкнутой кривой, задаваемой уравнением

|x|^{1 / 2}+|y|^{1 / 2} = 2^{1 / 2},

при однократном ее обходе против часовой стрелки.

?

Задача 16.7

Вычислить приращение аргумента функции $\frac{\mathrm{ch}^{2} z}{z}$ вдоль ориентированной замкнутой кривой, задаваемой уравнением $\left|x\right|+\left|y\right| = 3$ , при однократном ее обходе по часовой стрелке.

?

Задача 16.8

Доказать равенство

\Delta _{\gamma } \arg z = \Delta _{\gamma } \arg (z-1)

для любой простой кусочно-гладкой замкнутой кривой $\gamma$ , содержащей в области, ограниченной кривой $\gamma$ , отрезок $[0,1]$ .

?

Приращение аргумента функции вдоль кривой