Банк задач по математике

Задача 17.1

Доказать, что существует единственная функция $h(z)$ , непрерывная на всей комплексной плоскости с разрезом по положительной части действительной оси и удовлетворяющая условиям:

h(z) \in \operatorname {Ln} z, \quad h(-1) = \pi i.

Доказать, что эта функция регулярна в области ее определения.

?

Задача 17.2

Пусть функция $f: G \rightarrow \mathbb {C}$ регулярна в области $G$ и $f(z) \neq 0 \quad \forall z \in G$ . Пусть функция $h: G \rightarrow \mathbb {C}$ есть непрерывная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln} f(z)$ . Доказать, что $h$ является регулярной функцией.

?

Задача 17.3

Существуют ли регулярные ветви в области $\mathbb {C} \backslash [-1,1]$ у многозначной функции $\operatorname {Ln}\left(z^{2}+z\right)$ ?

?

Задача 17.4

Существуют ли регулярные ветви в области $\mathbb {C} \backslash [-1,1]$ у многозначной функции $\left\{ \sqrt{z^{2}-z}\right\}$ ?

?

Задача 17.5

Существуют ли регулярные ветви в области $G = \left\{ z:\left|z\right| > 2\right\}$ у многозначной функции $\left\{ \sqrt{z-1}\right\}$ ?

?

Задача 17.6

Существуют ли регулярные ветви в области $G = \left\{ z:\left|z\right| > 2\right\}$ у многозначной функции $\operatorname {Ln} \frac{z^{2}-1}{z^{2}+1}$ ?

?

Задача 17.7

Существуют ли регулярные ветви в области $G = \mathbb {C} \backslash [-i, i]$ у многозначной функции $\left\{ \sqrt[3]{1+z^{2}}\right\}$ ?

?

Задача 17.8

Существуют ли регулярные ветви в области $G = \mathbb {C} \backslash [0,+\infty )$ у многозначной функции $\left\{ z^{z}\right\}$ ?

?

Задача 17.9

(1)(2)(3)(4)

Доказать, что следующие многозначные функции допускают выделение регулярных ветвей в областях $G$ , указанных в скобках:

?

(1)

$\left\{ \sqrt{1-z^{2}} \operatorname {Ln} z\right\} , G = \mathbb {C} \backslash ([-\infty ,-1] \cup [0,+\infty ))$ ;

(2)

$\left\{ \left(z^{2}+1\right)^{z}\right\} , G = \mathbb {C} \backslash ((-i \infty ,-i) \cup [i,+i \infty ))$ ;

(3)

$\operatorname {Ln}\left(z^{2}-1\right) \operatorname {Ln} z, \quad G = \mathbb {C} \backslash [-1,+\infty )$ ;

(4)

$\left\{ \left(z^{2}-1\right)^{\sqrt{z}}\right\} , G = \left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\}$ .

Задача 17.10

(1)(2)

Пусть функция $f(z)$ регулярна в области $G$ и удовлетворяет там условию $\operatorname {Re} f(z) > 0$ . Доказать, что следующие многозначные функции допускают выделение регулярных ветвей в области $G$ :

?

(1)

$\left\{ \sqrt[3]{f(z)+i}\right\}$ ;

(2)

$\operatorname {Ln} \frac{1+i f(z)}{1-i f(z)}$ .

Задача 17.11

Пусть функция $f(z)$ регулярна в области $G$ и не принимает там значений, лежащих на луче $[a,+\infty ]$ , где $a \in \mathbb {R}$ . Доказать, что многозначная функция $\left\{ \sqrt{a-f(z)}\right\}$ допускает выделение регулярных ветвей в области $G$ , причем существует единственная ветвь $\varphi (z)$ , удовлетворяющая условию $\operatorname {Re} \varphi (z) > 0 \quad (z \in G)$ .

?

Задача 17.12

Пусть функция $f(z)$ регулярна в области $G$ и не принимает значений, лежащих на кривой $\gamma$ , идущей из точки $z = 0$ в точку $z = \infty$ , оставаясь в левой полуплоскости. Доказать, что многозначная функция $\operatorname {Ln} f(z)$ допускает выделение регулярных ветвей в области $G$ , и существует такая ветвь $\varphi (z)$ , для которой справедливо неравенство

\left|\operatorname {Im} \varphi (z)\right| < \frac{3 \pi }{2} \quad (z \in G).

?

Задача 17.13

Доказать, что следующие многозначные функции допускают выделение регулярных ветвей в областях $G$ , указываемых в скобках:

?

(1)

$\left\{ \operatorname {Ln}\left(z+\sqrt{1+z^{2}}\right)\right\} (G = \left\{ z: \operatorname {Re} z > 0\right\} )$ ;

(2)

$\left\{ \sqrt{z+\sqrt{z}}\right\} \quad (G = \left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} )$ ;

(3)

$\left\{ \operatorname {Ln}\left(i z+\sqrt{1-z^{2}}\right)\right\} (G = \mathbb {C} \backslash ((-\infty ,-1] \cup [1,+\infty )))$ ;

(4)

$\left\{ \operatorname {Ln}(\sqrt{z}+\sqrt{z-1})\right\} (G = \mathbb {C} \backslash ((-\infty , 0] \cup [1,+\infty )))$ ;

(5)

$\left\{ \sqrt{\operatorname {Ln} z}\right\} (G = \left\{ z: \operatorname {Im} z > 0\right\} )$ .

Задача 17.14

Доказать, что многозначная функция

\left\{ \sqrt{\left(z-a_{1}\right)\left(z-b_{1}\right) \cdots \left(z-a_{n}\right)\left(z-b_{n}\right)}\right\}

допускает выделение регулярных ветвей во всей комплексной плоскости с разрезами по непересекающимся прямолинейным отрезкам $\left[a_{k}, b_{k}\right]$ , $k = 1,2, \ldots , n$ .

?

Задача 17.15

Доказать, что следующие многозначные функции допускают выделение регулярных ветвей в указываемых областях:

?

(1)

$\operatorname {Ln} \frac{z^{2}+2 z+2}{z^{2}-2 z+2}$ (плоскость $\mathbb {C}$ с разрезами по отрезкам, изображенным на рис. 17.1);

Рис. 17.1

(2)

$\left\{ \sqrt[4]{1-z^{4}}\right\}$ (плоскость $\mathbb {C}$ с разрезами по отрезкам, изображенным на рис. 17.2);

Рис. 17.2

(3)

$\left\{ \sqrt[3]{4 z+z^{5}}\right\}$ (плоскость $\mathbb {C}$ с разрезами по отрезкам, изображенным на рис. 17.3);

Рис. 17.3

(4)

$\left\{ \sqrt{\sin z}\right\} \quad (G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \notin [2 \pi k ; \pi (2 k+1)], \forall k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \right\} )$ ;

(5)

$\left\{ \operatorname {Ln} \operatorname {tg} z\right\} \left(G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \notin \left[\pi k ; \pi k+\frac{\pi }{2}\right], \forall k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \right\} \right)$ ;

(6)

$\left\{ \sqrt{z(1-z)} \operatorname {Ln} \frac{z}{1-z}\right\} \quad (G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \notin [0,1]\right\} )$ .

Выделение регулярных ветвей