Вычисление значений регулярных ветвей многозначных функций. Ряды Лорана для регулярных ветвей.

Пусть $G$-односвязная область, не содержащая точек $z = 0$ и $z = \infty$, но содержащая точку $z = 1$. Выяснить, сколько различных регулярных ветвей $\varphi (z)$ в области $G$, удовлетворяющих указываемому условию, допускают следующие многозначные функции:

Пусть $\varphi (z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln}(z+i)$ в области $G$, удовлетворяющая условию $\varphi (1-i) = 0$. Найти значение $\varphi (-1-i)$ в случаях, когда область $G$:

Пусть $G$ — вся комплексная плоскость с разрезами по лучам $[-\infty ,-1]$ и $[1,+\infty ]$, а $\varphi (z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln}\left(1-z^{2}\right)$ в области $G$, удовлетворяющая условию $\varphi (0) = 0$. Найти:

Пусть $G$ — вся расширенная комплексная плоскость с разрезом по отрезку $[-1,1]$. Через $\varphi_{1}(z)$ обозначим регулярную ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt{\frac{1+z}{1-z}}\right\}$ в области $G$, удовлетворяющую условию $\varphi_{1}(+i 0) = 1$, а через $\varphi_{2}(z)$ — регулярную ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln} \frac{1+z}{1-z}$ в области $G$, удовлетворяющую условию $\varphi_{2}(-i 0) = 0$. Найти величины:

Пусть $G$ — вся расширенная комплексная плоскость с разрезом по прямолинейному отрезку $[-i, i]$, а $\varphi (z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln} \frac{1+i z}{1-i z}$ в области $G$, удовлетворяющая условию $\varphi (1) = \pi i / 2$. Найти значения:

Пусть $G$-вся комплексная плоскость с разрезами по отрезкам $[-2,-1]$ и $[1,2]$, а $\varphi (z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt{\left(z^{2}-1\right)\left(z^{2}-4\right)}\right\}$ в области $G$, положительная на интервале $(-1,1)$. Найти значения:

Пусть $G$ — вся комплексная плоскость с разрезами по отрезкам $[-1, i]$ и $[-i, 1]$, а $\varphi (z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt{1-z^{4}}\right\}$, положительная на интервале $(-1,1)$. Найти значения:

Пусть $a$ и $b$ — две различные конечные точки комплексной плоскости, а $\gamma$ — некоторая простая непрерывная кривая, идущая из точки $a$ в точку $b$. Через $G$ обозначим всю комплексную плоскость с разрезом по кривой $\gamma$, а через $\varphi (z)$ — произвольную регулярную ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln} \frac{z-a}{b-z}$ в области $G$. Доказать, что для каждой точки $z_{0}$ кривой $\gamma$, отличной от точек $a$ и $b$, имеет место равенство $\varphi \left(z_{0}^{+}\right)-\varphi \left(z_{0}^{-}\right) = 2 \pi i$, где символ $\varphi \left(z_{0}^{ \pm }\right)$означает предел функции $\varphi (z)$ при стремлении точки $z$ к точке $z_{0}$ справа (слева для знака «-») от кривой $\gamma$.

Пусть $\varphi (z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt[3]{1-z^{2}}\right\}$ в области $G$, удовлетворяющая условию $\varphi (0) = 1$. Найти значение $\varphi (-3)$ в случаях, когда область $G$:

Пусть $P(z)$ — многочлен. Доказать, что любая функция $f(z)$, регулярная во всей комплексной плоскости с разрезом по положительной части действительной оси, непрерывная вплоть до границы этой области и при всех действительных $x > 0$ удовлетворяющая условию

имеет вид

где $g(z)$ — функция, регулярная во всей комплексной плоскости, а $h(z)$ регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln} z$ в плоскости с разрезом по положительной части действительной оси.

Найти общий вид функции $f(z)$, регулярной во всей комплексной плоскости с разрезом по положительной части действительной оси, непрерывной вплоть до границы этой области, за исключением точки $z = 0$, и удовлетворяющей одному из условий $(x > 0)$:

Пусть $G$ — вся комплексная плоскость с разрезом по положительной части действительной оси, а $\varphi (z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln}(1+\sqrt{z})$, удовлетворяющая условию $\varphi (-1) = \frac{1}{2} \ln 2+\frac{\pi i}{4}$. Найти значение $\varphi (4-i 0)$.

Пусть $G$ — вся комплексная плоскость с разрезами по лучам $[-i \infty ,-i]$ и $[i,+i \infty ]$, а регулярная функция $\varphi (z)$ определена условиями

Найти значения:

Пусть $\varphi (z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln}(\sqrt{z}+2 \sqrt{1-z})$, удовлетворяющая условию

Найти значение $\varphi (4)$ в случаях, когда область $G$:

Пусть $G$ — вся комплексная плоскость с разрезами по лучам $[-i \infty , 0]$ и $[1,1+i \infty ]$, а регулярная функция $\varphi (z)$ определена условиями

Найти значение $\varphi \left(-e^{\pi }\right)$.

Пусть $G$ — вся комплексная плоскость с разрезом, изображенным на рис. 18.1, а регулярная функция $\varphi (z)$ определена условиями

Рис. 18.1

Найти значения:

Пусть $G$-вся комплексная плоскость с разрезом, изображенным на рис. 18.2, а регулярная функция $\varphi (z)$ определена условиями

Рис. 18.2

Найти значения:

Пусть $G$-вся комплексная плоскость с разрезом, изображенным на рис. 18.3, а регулярная функция $\varphi (z)$ определена условиями

Рис. 18.3

Найти значения:

Доказать, что многозначная функция $\left\{ \sqrt[3]{1-z^{2}}\right\}$ не допускает выделения регулярной ветви в области $G = \left\{ z: 1 < \left|z\right| < \infty \right\}$.

Выяснить, допускают ли приводимые ниже многозначные функции выделение регулярных ветвей в областях $G$, указываемых в скобках:

Выяснить, при каком соотношении между числами $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ многозначная функция

допускает выделение регулярной ветви в области $1 < \left|z\right| < \infty$.

Выяснить, при каком соотношении между числами $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ и $\alpha_{3}$ многозначная функция

допускает выделение регулярной ветви в области $1 < \left|z\right| < \infty$.

Доказать, что в плоскости с разрезом по отрицательной части действительной оси существует регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln}(1-\sqrt{z})$, удовлетворяющая условию $\varphi (2 i) = -\pi i / 2$.

Пусть $\varphi (z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln} z$ в области, изображенной на рис. 18.4, удовлетворяющая условию $\varphi (1) = 0$. Найти $\varphi^{\prime }(2)$. Разложить функцию $\varphi (z)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $z = -3$ по степеням $z+3$.

Рис. 18.4

Пусть $g(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt[3]{z}\right\}$ в области, изображенной на рис. 18.4, такая, что $g(-1) = -1$. Найти $g(-2), g^{\prime }(-3)$. Разложить $g(z)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $z = 2$ по степеням $z-2$.

Пусть $\varphi_{1}(z), \varphi_{2}(z)$ — функции из задачи 4. Найти $\varphi_{1}^{\prime }(-2), \varphi_{2}^{\prime }(2)$. Разложить функцию $\varphi_{2}(z)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $z = 4$ по степеням $(z-4)$. Разложить $\varphi_{1}(z)$ и $\varphi_{2}(z)$ в ряды Лорана в окрестности точки $z = \infty$.

Пусть $g(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt[4]{z}\right\}$ в плоскости с разрезом по лучу $[0,+\infty )$ такая, что $g(1+i 0) = 1$. Найти $g(1-i 0)$, $g(16-i 0), g(-16), g^{\prime }(-16), g^{\prime \prime }(-16)$.

Опираясь на разложение регулярных ветвей многозначной функции $\left\{ (1+z)^{a}\right\}$ в ряд Тейлора (см. пример 2 в справочных сведениях), доказать формулы для всех получаемых регулярных ветвей $g(z), w(z), h(z)$ в круге $\left|z\right| < 1$:

Для всех регулярных ветвей $h(z), w(z)$ многозначных функций в круге $\left|z\right| < 1$ доказать формулы:

Найти разложение в ряд Тейлора по степеням $z$ в окрестности точки $z = 0$ следующих функций, содержащих регулярные ветви $g(z), h(z)$ многозначных функций:

Используя тот факт, что регулярная функция $f(z) \in \left\{ \frac{\operatorname {Arcsin} z}{\sqrt{1-z^{2}}}\right\}$ удовлетворяет дифференциальному уравнению

доказать формулу

Для регулярной ветви

доказать формулу

Используя биномиальный ряд, доказать справедливость формул разложения в ряд Лорана регулярных ветвей $f(z)$ многозначных функций:

Убедиться, что следующие многозначные функции допускают выделение регулярных ветвей в кольце $G$, и разложить все регулярные ветви в ряд Лорана по степеням $z-a$ в кольце $G$ (точка $a$ и кольцо $G$ указаны в скобках):

Пусть $g(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt[3]{z+9}\right\}$ в плоскости с разрезом по кривой $z = 9 e^{i t}, \quad -\pi \leqslant t \leqslant \frac{\pi }{2}$ и лучу $z = 9 i+t i$, $t \geqslant 0$, такая, что $\arg g(10) = \frac{2 \pi }{3}$. Вычислить $g(-8), g(-1), g(-9+8 i), g^{\prime }(0)$. Разложить $g(z)$ в ряд Тейлора в окрестности точки $z = 3$ по степеням $z-3$ и нарисовать наибольшую область, в которой этот ряд сходится к функции $g(z)$.

Пусть $h(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln}(2-z)$ в плоскости с разрезом по кривой $z = 2 e^{i t}, 0 \leqslant t \leqslant \frac{3}{2} \pi$, и лучу $z = -2 i+t, t \geqslant 0$, такая, что $\operatorname {Im} h(-3) = 0$. Вычислить $h(-2-0), \quad h(-2+0), \quad h(2+i)$, $h^{\prime }(0)$. Разложить функцию $h(z)$ в ряд Тейлора с центром в точке $z = -1$. Найти радиус сходимости этого ряда. Нарисовать наибольшую область, в которой ряд сходится к функции $h(z)$.

Пусть $g(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt[3]{z(2-z)^{2}}\right\}$ в плоскости с разрезом по отрезку $[0,2]$, такая, что $g(1+i 0) = 1$. Найти $g(1-i 0), \quad g(-3), \quad g^{\prime }(3)$. Разложить $g(z)$ в ряд Лорана по степеням $z$ в окрестности точки $z = \infty$.

Пусть $h(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln} \frac{z+1}{3-z}$ в плоскости с разрезом по отрезку $[-1,3]$, такая, что $h(1+i 0) = 0$. Найти $h(1-i 0)$, $g(-2), g^{\prime }(-3)$ Разложить $h(z)$ в ряд Тейлора с центром в точке $z = 5$ и в ряд Лорана по степеням $z$ в окрестности точки $z = \infty$. Найти области сходимости этих рядов.

Пусть $h(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln} \frac{z+i}{z+1}$ в плоскости с разрезом по линии

такая, что $h(0) = i \frac{\pi }{2}$. Разложить $h(z)$ в ряд Лорана по степеням $z$ в окрестности точки $z = \infty$.

Пусть $h(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции

в плоскости с выколотой точкой $z = 2$ и разрезом по полуокружности $\left\{ z:\left|z\right| = 1, \operatorname {Re} z \geqslant 0\right\}$, такая, что $h(0) = -i \pi +\frac{1}{2}$. Разложить $h(z)$ в ряд Лорана по степеням $z$ в кольце $1 < \left|z\right| < 2$.

Пусть $g(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции

в плоскости с выколотой точкой $z = 3 i$ и разрезом по отрезку $[0,1]$, такая, что $g(-1) = \sqrt[3]{2}-\frac{1}{1+3 i}$. Разложить $g(z)$ в ряд Лорана по степеням $z$ в кольце $1 < \left|z\right| < 3$.

Пусть $h(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln}\left(z^{2}-z-6\right)$ в плоскости с разрезом по линиям $\left\{ \operatorname {Re} z = -2, \operatorname {Im} z \leqslant 0\right\}$ и $\left\{ \operatorname {Re} z = 3, \operatorname {Im} z \leqslant 0\right\}$, такая, что $h(4) = \ln 6$. Разложить $h(z)$ в ряд Тейлора с центром в точке $z = 1$ и найти радиус сходимости этого ряда.

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln}\left(z^{2}-2 z\right)$ в плоскости с разрезами по положительной части мнимой оси и по отрезку $[0,2]$ действительной оси, выделяемая условием

Вычислить $f(1+2 i)$. Разложить $f(z)$ в ряд Тейлора с центром в точке $z = 1+2 i$. Найти радиус сходимости. Вычислить сумму ряда при $z = -1+\sqrt{3} i$.

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt[3]{z^{4}+64}\right\}$ в плоскости с разрезами по лучам

выделяемая условием $f(2 \sqrt{2}) = 4 \sqrt[3]{2}$. Вычислить $f(0)$. Разложить $f(z)$ в ряд Тейлора с центром в точке $z = 0$. Найти радиус сходимости. Вычислить отношение суммы ряда к $f(z)$ при $z = -\frac{5}{2}$.

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln}\left(z+i z^{2}\right)$ в плоскости с разрезами по положительной части действительной оси и по отрезку $[0, i]$ мнимой оси, выделяемая условием

Вычислить $f\left(1+\frac{i}{2}\right)$. Разложить $f(z)$ в ряд Тейлора с центром в точке $z = 1+\frac{i}{2}$. Найти радиус сходимости. Вычислить сумму ряда при $z = e^{-i \pi / 6}$.

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt[6]{z^{4}+4}\right\}$ в плоскости с разрезами по лучам $\left\{ z: z = i+t ; t \geqslant -1\right\}$ и $\left\{ z: z = -i+t ; t \leqslant 1\right\}$, выделяемая условием $f(\sqrt{2} i) = -\sqrt{2}$. Вычислить $f(0)$. Разложить $f(z)$ в ряд Тейлора с центром в точке $z = 0$. Найти радиус сходимости. Вычислить отношение суммы ряда к $f(z)$ при $z = -\frac{6}{5} i$.

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln}\left(1+z^{2}\right)$ в плоскости с разрезом по лучу мнимой оси $[-i,+i \infty )$, причем $\operatorname {Im} f\left(-\frac{1}{5}\right) = 0$. Разложить $f(z)$ в ряд Тейлора с центром в точке $z = 1$ и найти радиус сходимости. Вычислить сумму ряда при $z = -\frac{1}{5}$.

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt{9-z^{2}}\right\}$ в плоскости с разрезом по дуге окружности $\left\{ z:\left|z-4 i\right| = 5, \operatorname {Im} z \geqslant 0\right\}$, причем $f(4 i) = 5$. Разложить $f(z)$ в ряд Лорана по степеням $z$ в окрестности $z = \infty$ и найти область сходимости. Вычислить сумму ряда при $z = 4 i$.