Интегралы от регулярных ветвей

Для всех регулярных в области $G$ ветвей $h_{k}(z)$ или $g_{k}(z)$ указанных многозначных функций вычислить интегралы по положительно ориентированной границе $\partial G$ области $G$:

Проверить, что многозначные функции допускают выделение в области $G$ регулярной ветви, удовлетворяющей заданным условиям, и вычислить интеграл от этой ветви по положительно ориентированной границе $\partial G$ области $G$:

Вычислить интеграл от регулярных в области $G$ ветвей многозначных функций по границе $\partial G$ области $G$:

где $G = \left\{ z \in \mathbb {C}: z \notin (-\infty , 0]\right\} , \quad g(z) \in \left\{ \sqrt{z}\right\} , \quad g(1) = 1, \quad h(z) \in \operatorname {Ln} z$, $h(1) = 0$.

Вычислить интегралы от регулярных в области $G$ ветвей многозначных функций по границе $\partial G$ области $G$:

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt[3]{z+9}\right\}$ в комплексной плоскости с разрезом по кривой $\left\{ z: z = 9 e^{i t},-\pi \leqslant t \leqslant \frac{\pi }{2}\right\}$, и лучу $\left\{ z: z = 9 i+t i, t \geqslant 0\right\}$, такая, что $\arg f(10) = \frac{2 \pi }{3}$. Вычислить интеграл

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln}(z+3)$ в комплексной плоскости с разрезом по кривой $\left\{ z: z = 3 e^{i t},-\pi \leqslant t \leqslant \frac{\pi }{2}\right\}$ и лучу $\left\{ z: z = 3 i-t, t \geqslant 0\right\}$ такая, что $\operatorname {Im} f(4) = 2 \pi$. Вычислить интеграл

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt[4]{z+16}\right\}$ в комплексной плоскости с разрезом по кривой $\left\{ z: z = 16 e^{i t},-\frac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant \pi \right\}$, и лучу $\left\{ z: z = -16 i-t i, t \geqslant 0\right\}$, такая, что $\arg f(20) = -\frac{\pi }{2}$. Вычислить интеграл

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln}(z+5)$ в комплексной плоскости с разрезом по кривой $\left\{ z: z = 5 e^{i t},-\frac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant \pi \right\}$ и лучу $\left\{ z: z = -5 i-t, t \geqslant 0\right\}$, такая, что $\operatorname {Im} f(6) = -2 \pi$. Вычислить интеграл

Пусть $f(z), f(0) = \ln 2+i \pi ,$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln}(z-2)$ в плоскости с разрезом по отрезку $[1,2]$ и лучу $\left\{ z: z = 1+i y,-\infty < y \leqslant 0\right\}$. Вычислить интеграл

Пусть $f(z), \quad f(1-i) = i,$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt[3]{z-1}\right\}$ в плоскости с разрезом по отрезку $[1,2]$ и лучу $\left\{ z: z = 2-i y, 0 \leqslant y < +\infty \right\}$. Вычислить интеграл

Пусть $f(z), f(0) = \ln 4-i \pi ,$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln}(z-4)$ в плоскости с разрезом по отрезку $[3,4]$ и лучу $\left\{ z: z = 3+i y, 0 \leqslant y < +\infty \right\}$. Вычислить интеграл

Пусть $f(z), f(-2) = 1-i,$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt[4]{z-2}\right\}$ в плоскости с разрезом по отрезку $[1,2]$, и лучу $\left\{ z: z = 1+i y, 0 \leqslant y < +\infty \right\}$. Вычислить интеграл

Пусть $f(z), f(2) = 0$,- регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln}(z-1)$ в плоскости с разрезом по отрезкам $[0,1],[0, i]$, и лучу $\left\{ z: \operatorname {Im} z = 1, \operatorname {Re} z \geqslant 0\right\}$. Вычислить интеграл

Пусть $f(z), \quad f(9) = 2$, — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt[3]{z-1}\right\}$ в плоскости с разрезом по отрезкам $[0,1],[0,-i]$, и лучу $\left\{ z: \operatorname {Im} z = -1, \operatorname {Re} z \geqslant 0\right\}$. Вычислить интеграл

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt[3]{2 z-8}\right\}$ в комплексной плоскости с разрезом по лучу $\left\{ z: z = 4-i t, t \in [0,+\infty )\right\}$, причем $f(8) = -1-i \sqrt{3}$. Вычислить интеграл

где $\partial D$ — граница круга $D = \left\{ z:\left|z-2\right| < \frac{3}{2}\right\}$.

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln} \frac{z^{2}+2 z}{4}$ в плоскости с разрезом по лучу $[-2,+\infty )$ действительной оси, причем $\operatorname {Im} f(-4) = 0$. Вычислить интеграл

где область $D$ состоит из точек круга $\left|z+2\right| < 4$, расстояние от которых до разреза больше 1.

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt{z^{2}-4}\right\}$ в плоскости с разрезом по полуокружности $\left\{ z:\left|z\right| = 2\text{, Re }z \geqslant 0\right\}$, причем главная часть ряда Лорана функции $f(z)$ в окрестности $z = \infty$ равна $z$. Вычислить интеграл

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln}\left(z^{2}-z\right)$ в плоскости с разрезом по положительной действительной полуоси, причем $\operatorname {Im} f(-2) = 0$. Вычислить интеграл

где $D$ — область, состоящая из точек круга $\left|z\right| < 2$, расстояние от которых до разреза больше $1 / 2$.

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln} \frac{z+1}{3-z}$ в плоскости с разрезом по отрезку $[-1,3]$ такая, что $f(1+0 i) = 0$. Вычислить интеграл

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt[4]{z^{3}(6-z)}\right\}$ в плоскости с разрезом по отрезку $[0,6]$ такая, что $f(3+0 i) = 3$. Вычислить интеграл

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln} \frac{5-z}{3+z}$ в плоскости с разрезом по отрезку $[-3,5]$ такая, что $f(1+0 i) = 0$. Вычислить интеграл

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt[3]{z^{2}(4-z)}\right\}$ в плоскости с разрезом по отрезку $[0,4]$ такая, что $f(2+0 i) = 2$. Вычислить интеграл

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln} \frac{1-z}{1+z}$ в плоскости с разрезом по дуге: $\left\{ z:\left|z\right| = 1, \operatorname {Im} z \leqslant 0\right\}$ такая, что $f\left(\frac{i}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi i}{3}$. Вычислить интеграл

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt{2 z^{2}+1}\right\}$ в плоскости с разрезом по дуге: $\left\{ z:\left|z\right| = \frac{1}{\sqrt{2}}, \operatorname {Re} z \geqslant 0\right\}$ такая, что $f(0) = 1$.

Вычислить интеграл

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln} \frac{2 i-z}{2 i+z}$ в плоскости с разрезом по дуге: $\left\{ z:\left|z\right| = 2, \operatorname {Re} z \leqslant 0\right\}$, такая, что $f(2) = \frac{\pi }{2} i$. Вычислить интеграл

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt{z^{2}+3}\right\}$ в плоскости с разрезом по дуге: $\left\{ z:\left|z\right| = \sqrt{3}, \operatorname {Re} z \leqslant 0\right\}$ такая, что $f(1) = 2$. Вычислить интеграл

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt[4]{z^{2}-1}\right\}$ в плоскости с разрезом по кривой

такая, что $f(0) = e^{\pi i / 4}$. Пусть $S(z) = \sum_{k = 0}^{+\infty } A_{k}(z-2 i)^{k}$ — регулярная в круге сходимости функция, совпадающая с $f(z)$ в окрестности точки $z = 2 i$. Найти радиус сходимости ряда $S(z)$ и вычислить интеграл

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt[3]{z(z-1)}\right\}$ в плоскости с разрезами по кривым $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$, где

такая, что $f\left(\frac{1}{2}\right) = -\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$. Пусть $S(z) = \sum_{k = 0}^{+\infty } A_{k}(z+3 i)^{k}$ — регулярная в круге сходимости функция, совпадающая с $f(z)$ в окрестности точки $z = -3 i$. Найти радиус сходимости ряда $S(z)$ и вычислить интеграл

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt[4]{1-z^{2}}\right\}$ в плоскости с разрезом по кривой

такая, что $f(0) = 1$. Пусть $S(z) = \sum_{k = 0}^{+\infty } A_{k}(z-3 i)^{k}$ — регулярная в круге сходимости функция, совпадающая с $f(z)$ в окрестности точки $z = 3 i$. Найти радиус сходимости ряда $S(z)$ и вычислить интеграл

В комплексной плоскости с разрезами по кривым $\gamma_{1}$ и $\gamma_{2}$, где

рассматривается регулярная ветвь $f(z)$ многозначной функции $\left\{ \sqrt[3]{z(z+2)}\right\}$, такая, что

Пусть $S(z) = \sum_{k = 0}^{+\infty } A_{k}(z-3 i)^{k}$ — регулярная в круге сходимости функция, совпадающая с $f(z)$ в окрестности точки $z = 3 i$. Найти радиус сходимости ряда $S(z)$ и вычислить интеграл

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln} \frac{3+i z}{z-1}$ в плоскости с разрезом по отрезку $[1,3 i]$ такая, что $f(0) = \ln 3-\pi i$. Вычислить $f(\infty )$ и интеграл

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt[4]{z^{3}(2 i-z)}\right\}$ в плоскости с разрезом по отрезку $[0,2 i]$ такая, что

Вычислить $f(i+0)$ и интеграл

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln} \frac{z+i}{2-z}$ в плоскости с разрезом по отрезку $[-i, 2]$ такая, что $f(0) = \ln \frac{1}{2}+\frac{5}{2} \pi i$. Вычислить $f(\infty )$ и интеграл

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt[3]{z^{2}(i-z)}\right\}$ в плоскости с разрезом по отрезку $[0, i]$ такая, что $f(1) = \sqrt[6]{2} e^{i \pi / 4}$. Вычислить $f\left(\frac{i}{2}+0\right)$ и интеграл

Пусть $g(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln} \frac{2 i-z}{z+1}$ в плоскости с разрезом по кривой $\gamma = \gamma_{1} \cup \gamma_{2}$, где

такая, что $g(0) = \ln 2-\frac{3 \pi i}{2}$. Вычислить интеграл

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt[3]{z^{2}(i-z)}\right\}$ в плоскости с разрезом по кривой $\gamma = \gamma_{1} \cup \gamma_{2}$, где

такая, что $f(-i) = \sqrt[3]{2} e^{i 7 \pi / 6}$. Вычислить интеграл

Пусть $g(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln} \frac{1-z}{i z+1}$ в плоскости с разрезом по кривой

такая, что $g(0) = -4 \pi i$. Вычислить интеграл

Пусть $f(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt[4]{z^{2}(2 i+z)^{2}}\right\}$ в плоскости с разрезом по кривой $\gamma = \gamma_{1} \cup \gamma_{2}$, где

такая, что $f(-3 i) = \sqrt{3} e^{\pi i}$. Вычислить интеграл

Пусть $h(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln} \frac{2+i z}{2+z}$ в плоскости с разрезом по кривой

такая, что $h(\infty ) = \frac{1}{2} \pi i$. Вычислить и интеграл

Пусть $g(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt{2 z^{2}+1}\right\}$ в плоскости с разрезом по кривой $\gamma = \left\{ z:\left|z\right| = \frac{1}{\sqrt{2}}, \operatorname {Re} z \geqslant 0\right\}$, где $g(0) = 1$. Вычислить интеграл

Пусть $g(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt[3]{(z-2)^{2}(2 i-z)}\right\}$ в плоскости с разрезом по отрезку $[2 i, 2]$ такая, что главная часть ее ряда Лорана в $\infty$ равна $e^{-i \pi / 3} z$. Вычислить интеграл

Пусть $h(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln} \frac{3+z}{i z-3}$ в плоскости с разрезом по кривой

такая, что $h(\infty ) = -\frac{5}{2} \pi i$. Вычислить интеграл

Пусть $h(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\operatorname {Ln} \frac{2+z}{i z-1}$ в плоскости с разрезом по кривой

такая, что $\operatorname {Im} h(\infty ) = \frac{3 \pi }{2}$. Найти $h(0)$ и вычислить интеграл

Пусть $g(z)$ — регулярная ветвь многозначной функции $\left\{ \sqrt{1+2 z^{2}}\right\}$ в плоскости с разрезом по кривой

такая, что $g(0) = 1$. Пусть $f(z) = \frac{z}{(g(z)+3)^{2}}$. Найти $\underset {z = \infty }{\operatorname {res}} f$ и вычислить интеграл