Полярные, сферические и цилиндрические системы координат

Дан правильный шестиугольник $A B C D E F$, длина стороны которого равна 1. Приняв за полюс вершину $A$, за положительное направление полярной оси направление вектора $\overrightarrow {A B}$, а за положительное направление отсчета углов — направление кратчайшего поворота от $\overrightarrow {A B}$ к $\overrightarrow {A C}$, найти полярные координаты вершин шестиугольника в этой системе.

Вычислить расстояние между двумя точками, заданными своими полярными координатами:

Даны полярные координаты точек $A\left(8,-\frac{2 \pi }{3}\right)$ и $B\left(6, \frac{\pi }{3}\right)$. Вычислить полярные координаты середины отрезка $A B$.

Дана точка $A\left(5, \frac{2 \pi }{3}\right)$ относительно полярной системы координат. Найти:

В полярной системе координат найти точку, симметричную точке $(\rho_{0}, \varphi_{0})$ относительно прямой, содержащей луч $\varphi = \varphi_{1}$.

Относительно полярной системы координат даны точки $A\left(2, \frac{\pi }{6}\right), B\left(3, \frac{4 \pi }{3}\right), C\left(1, \frac{3 \pi }{2}\right), D(5, \pi ), E(5,0)$. Какие координаты будут иметь эти точки, если повернуть полярную ось вокруг полюса в положительном направлении на угол $3 \pi / 4$?

Вычислить площадь $S$ треугольника, одна из вершин которого помещается в полюсе, а две другие имеют полярные координаты $\left(4, \frac{\pi }{9}\right),\left(1, \frac{5 \pi }{18}\right)$.

Относительно полярной системы координат даны точки $A\left(2, \frac{\pi }{3}\right), B\left(\sqrt{2}, \frac{3 \pi }{4}\right), C\left(5, \frac{\pi }{2}\right), D\left(3,-\frac{\pi }{6}\right)$. Найти координаты этих точек в соответствующей прямоугольной системе координат.

Зная прямоугольные координаты точек $A(-1,1), B(0,2)$, $C(5,0), D(-8,-6)$, найти их координаты в полярной системе координат, соответствующей данной прямоугольной.

Зная полярные координаты точки: $\rho = 10, \varphi = \pi / 6$, найти ее прямоугольные координаты, если полюс полярной системы координат находится в точке (2,3), а полярная ось параллельна оси $O x$.

Полюс полярной системы координат находится в точке $(3,5)$, а положительное направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси $O y$. Найти в этой системе полярные координаты точек $M_{1}(9,-1)$ и $M_{2}(5,5-2 \sqrt{3})$.

Написать выражение прямоугольных координат через полярные, если полюс полярной системы находится в точке $(x_{0}, y_{0})$, а ее ось направлена под углом $\varphi_{0}$ к оси $O x$.

С помощью перехода к полярной системе координат доказать, что при повороте в положительном направлении на угол $\varphi$ вектор с координатами $(x, y)$ переходит в вектор с координатами $(x \cos \varphi -y \sin \varphi , x \sin \varphi +y \cos \varphi )$.

Одна из вершин правильного треугольника находится в точке $(0,0)$, а центр — в точке $(2,4)$. Найти координаты остальных вершин.

Даны две противоположные вершины квадрата $(1,1)$ и $(3,5)$. Найти две другие вершины.

Даны координаты двух соседних вершин квадрата $A B C D$ : $A(1,-1)$ и $B(3,1)$. Найти координаты остальных вершин.

Найти уравнение прямой, полученной из прямой $x+3 y = 2$ поворотом в положительном направлении на угол $\pi / 4$ вокруг точки пересечения с осью абсцисс.

Вершины $A$ и $B$ треугольника $A B C$ имеют координаты $(0,0)$ и $(28,21)$ соответственно. Найти координаты вершины $C$, зная углы: $\angle A = \frac{\pi }{4}$ и $\angle B = \arccos \frac{4}{5}$.

Вершина $A$ равностороннего треугольника $A B C$ находится в точке $(0,1)$. Найти вершины $B$ и $C$, если известно, что они лежат на прямых $y = 3$ и $y = 4$ соответственно.

Доказать, что в полярной системе координат уравнение

при любых $\varphi_{0}$, а задает прямую. Каков геометрический смысл величин $\varphi_{0}, a$?

В полярной системе координат прямая задана уравнением

Найти уравнение этой прямой в прямоугольных координатах. Найти полярные координаты точки, симметричной полюсу относительно этой прямой.

Составить уравнение прямой $A B$ в полярной системе координат, если точки $A$ и $B$ имеют полярные координаты:

Центр равностороннего треугольника находится в начале координат, а одна из его сторон задана в полярной системе координат уравнением $\rho = a / \cos \varphi$. Найти уравнения остальных сторон треугольника.

В полярных координатах написать уравнение окружности радиусом $r_{0}$ с центром в точке $(\rho_{0}, \varphi_{0})$.

Найти сферические координаты точек по их прямоугольным координатам:

Найти сферические координаты точки $M$, зная, что луч $O M$ образует с осями $O x$ и Оу углы, соответственно равные $\pi / 4$ и $\pi / 3$, и что координата $z$ точки $M$ равна -1.

Найти прямоугольные координаты точки, лежащей на сфере радиусом 1, зная ее долготу $\varphi = 330^{\circ }$ и широту $\theta = 45^{\circ }$.

Найти длину меньшей из двух дуг большого круга, соединяющих две точки $A$ и $B$, лежащие на сфере радиусом $\rho$, зная долготу и широту этих точек: $A\left(\varphi_{1}, \theta_{1}\right), B\left(\varphi_{2}, \theta_{2}\right)$.

Найти цилиндрические координаты точек по их прямоугольным координатам: $A(3,-4,5), B(1,-1,-1), C(-6,0,8)$.

Найти цилиндрические координаты точки $M$, зная, что луч $O M$ составляет с осями координат $O x$ и $О у$ углы $\pi / 3, \pi / 3$, его угол с осью $O z$ острый, а длина отрезка $O M$ равна 1. Найти угол между лучом $O M$ и осью $O z$.

Найти угол $\alpha$ вектора $\overrightarrow {O M}$ с осью $O x$, зная цилиндрические координаты $\rho , \varphi , z$ точки $M$.