Скалярное, векторное и смешанное произведения в аффинной системе координат

Выразить через метрические коэффициенты $g_{11} = \left(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{1}\right)$, $g_{12} = \left(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right), g_{22} = \left(\mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{2}\right)$ длины базисных векторов, угол $\omega$ между ними и площадь $S$ параллелограмма, построенного на векторах $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$.

Найти длину вектора $\mathbf{a} = (x, y)$, зная метрические коэффициенты $g_{11}, g_{12}, g_{22}$ базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$.

Найти косинус угла $\varphi$ между векторами $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ и $\left(x_{2}, y_{2}\right)$, зная метрические коэффициенты $g_{11}, g_{12}, g_{22}$ базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}$.

Выразить через метрические коэффициенты $g_{i j} = \left(\mathbf{e}_{i}, \mathbf{e}_{j}\right)$ объем $V$ параллелепипеда, построенного на векторах $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$.

Зная матрицу Грама $G = \left(g_{i j}\right)$ базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$, найти объем $V$ параллелепипеда, построенного на векторах $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right),\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)$, $\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}\right)$.

Вычислить объем призмы, построенной на векторах $(-1,0,2)$, $(1,1,3)$ и $(2,-1,1)$, заданных относительно базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$, если известно, что $\left|\mathbf{e}_{1}\right| = 1,\left|\mathbf{e}_{2}\right| = 2,\left|\mathbf{e}_{3}\right| = 3,\left(\widehat{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}}\right) = 2 \pi / 3$, $\left(\widehat{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{3}}\right) = \pi / 4$, $\left(\widehat{\mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}}\right) = 3 \pi / 4$.

Найти косинусы углов $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3}$, образованных вектором $\mathbf{a} = \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ с базисными векторами $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$, если $\left|\mathbf{e}_{1}\right| = \left|\mathbf{e}_{2}\right| = \left|\mathbf{e}_{3}\right| = 1$ и $\left(\widehat{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}}\right) = \omega_{12},\left(\widehat{\mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}}\right) = \omega_{23},\left(\widehat{\mathbf{e}_{3}, \mathbf{e}_{1}}\right) = \omega_{31}$.

Найти скалярное произведение векторов, один из которых задан своими координатами $(x^{1}, x^{2}, x^{3})$ в базисе $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$, а другой — координатами $(y_{1}, y_{2}, y_{3})$ в базисе $\mathbf{e}^{1}, \mathbf{e}^{2}, \mathbf{e}^{3}$, взаимном с базисом $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ (см. задачу 166).

Зная матрицу Грама $G = \left(g_{i j}\right)$ базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$, найти метрические коэффициенты $g^{i j}$ для взаимного базиса $\mathbf{e}^{1}, \mathbf{e}^{2}, \mathbf{e}^{3}$.

Относительно базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ с метрическими коэффициентами $g_{i j}$ дан вектор $\mathbf{x} = \left(x^{1}, x^{2}, x^{3}\right)$. Найти координаты $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ этого вектора в базисе, взаимном с данным.

Длины векторов базиса $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ равны 1, а углы между ними равны $\pi / 3$. Найти длины векторов взаимного базиса $\mathbf{e}^{1}, \mathbf{e}^{2}, \mathbf{e}^{3}$ и углы между ними.

Относительно положительно ориентированного базиса $\mathbf{e}_{1}$, $\mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$ даны координаты векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}: \mathbf{a} = \left(x^{1}, x^{2}, x^{3}\right), \mathbf{b} = \left(y^{1}, y^{2}, y^{3}\right)$. Найти координаты $\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}\right.$) векторного произведения $[\mathbf{a}, \mathbf{b}]$ в базисе $\mathbf{e}^{1}, \mathbf{e}^{2}, \mathbf{e}^{3}$, взаимном с базисом $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}$.

Даны метрические коэффициенты $g_{11} = 2, g_{12} = g_{22} = 1$ некоторого базиса на плоскости. В системе координат, связанной с этим базисом, даны уравнения двух прямых $x+y+1 = 0$ и $x-2 y+3 = 0$. Найти угол между этими прямыми.

Относительно аффинной системы координат в пространстве даны две плоскости $x+y = 0$ и $z = 1$. Вычислить угол между ними, если известно, что базисные векторы данной системы имеют длину 1, а угол между любыми двумя из них равен $\pi / 3$.

При каких условиях на числа $g_{11}, g_{12}, g_{21}, g_{21}$ матрица

может быть матрицей Грама какого-либо базиса на плоскости?