Эллипс, гипербола, парабола и их простейшие свойства

Определить эксцентриситет эллипса, если расстояние между фокусами есть среднее арифметическое длин осей.

Вычислить эксцентриситет равносторонней гиперболы.

Вычислить длину отрезка асимптоты гиперболы

заключенного между ее центром и директрисой.

Доказать, что, если длины полуосей эллипса не совпадают, то прямоугольная система координат, в которой он записывается уравнением вида (2.1), определена однозначно с точностью до направления осей координат. Сформулировать и доказать аналогичные утверждения для гиперболы и параболы.

(Фокальное свойство эллипса). Даны две точки $F_{1}$ и $F_{2}$, pacстояние между которыми $2 c$. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до точек $F_{1}$ и $F_{2}$ равна $2 a$ при условии $a > c$.

(Фокальное свойство гиперболы). Даны две точки $F_{1}$ и $F_{2}$ на расстоянии $2 c$ друг от друга. Найти геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до точек $F_{1}$ и $F_{2}$ равна $2 a$, при условии $c > a$.

Найти геометрическое место точек — центров окружностей, касающихся двух фиксированных окружностей с центрами $O_{1}, O_{2}$ и радиусами $r_{1}$ и $r_{2}$ соответственно, где $r_{2} > r_{1}$. Рассмотреть следующие случаи:

(Директориальное свойство параболы). Найти геометрическое место точек, равноудаленных от точки $F$ и прямой $d$, отстоящей от точки $F$ на расстоянии $p$.

Найти геометрическое место точек- центров окружностей, касающихся данных прямой $\ell$ и окружности радиусом $r$ с центром $O$.

(Директориальное свойство эллипса и гиперболы). Даны точка $F$, прямая $d$ и положительное число $e \neq 1$. Найти геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до точки $F$ к расстоянию до прямой $d$ равно $e$.

Найти геометрическое место точек, делящих в отношении $\lambda \neq 1$ хорды окружности $x^{2}+y^{2} = a^{2}$, параллельные оси $О y$.

Дана окружность $x^{2}+y^{2} = a^{2}$. Во что превратится эта окружность, если, не меняя абсцисс ее точек, уменьшить их ординаты в $k$ раз?

Даны две точки: $A_{1} = (-a, 0), A_{2} = (a, 0)$. Найти геометрическое место точек пересечения прямых, проходящих через точки $A_{1}$ и $A_{2}$ и отсекающих на оси ординат отрезки, произведение которых равно:

(Оптическое свойство эллипса). Доказать, что касательная к эллипсу в произвольной его точке делит пополам угол между одним фокальным радиусом и продолжением другого.

(Оптическое свойство гиперболы). Доказать, что касательная к гиперболе в произвольной ее точке делит пополам угол между фокальными радиусами.

(Оптическое свойство параболы). Доказать, что касательная к параболе в произвольной ее точке делит пополам угол между фокальным радиусом и перпендикуляром, опущенным из этой точки на директрису.

Доказать, что гиперболы, имеющие общие фокусы с данным эллипсом, пересекают последний под прямым углом.

Определить наибольшее и наименьшее значения отношения $\left|\mathbf{r}_{1}\right| /\left|\mathbf{r}_{2}\right|$ для эллипса $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,(a > b)$, где $\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}_{2}$ — фокальные радиусы точки эллипса для левого и правого фокусов.

Найти геометрическое место точек, симметричных фокусу невырожденной линии второго порядка относительно касательных к этой линии.

Найти геометрическое место проекций фокуса линии второго порядка на всевозможные касательные к ней.

Пусть траектория $P_{0} P_{1} P_{2} P_{3} \ldots$ луча света внутри зеркального эллипса не проходит через фокусы $F_{1}$ и $F_{2}$. Доказать, что:

(Шары Данделена). Дан прямой круговой конус с углом $\alpha$ между осью конуса и его образующими. Плоскость $\Gamma$, не содержащая вершины конуса, составляет с осью конуса угол $\beta$, причем $\beta > \alpha$. Впишем в конус два шара, касающихся плоскости Г в точках $F_{1}$ и $F_{2}$. Доказать, что линия пересечения плоскости $\Gamma$ с конусом есть эллипс с фокусами в точках $F_{1}$ и $F_{2}$.

(Шары Данделена). Дан прямой круговой конус с углом $\alpha$ между осью конуса и его образующими. Плоскость $\Gamma$, не содержащая вершины конуса, составляет с осью конуса угол $\beta$, причем $\beta < \alpha$. Впишем в конус два шара, касающихся плоскости $\Gamma$ в точках $F_{1}$ и $F_{2}$. Доказать, что линия пересечения плоскости $\Gamma$ с конусом есть гипербола с фокусами в точках $F_{1}$ и $F_{2}$.

В условиях двух предыдущих задач показать, что две плоскости, проходящие через окружности, состоящие из точек касания шаров Данделена и конуса, пересекают плоскость Г по директрисам соответствующего эллипса (гиперболы).

Задачи 207–208: дан прямой круговой конус с углом $\alpha$ между осью конуса и его образующими. Плоскость $\Gamma$, не содержащая вершины конуса, составляет с осью конуса угол $\beta$, причем $\beta > \alpha$ (соответственно $\beta < \alpha$). Впишем в конус два шара, касающихся плоскости $\Gamma$ в точках $F_{1}$ и $F_{2}$; тогда линия пересечения плоскости $\Gamma$ с конусом есть эллипс (соответственно гипербола) с фокусами в точках $F_{1}$ и $F_{2}$.

Дан прямой круговой конус. Плоскость $Г$, не содержащая вершины конуса, составляет с осью конуса угол, равный углу между осью конуса и его образующими. Доказать, что линия пересечения плоскости Г и конуса является параболой.

Отрезок постоянной длины скользит своими концами по двум взаимно перпендикулярным прямым. Точка $M$ делит его на две части, длины которых $a$ и $b$. Найти линию, описываемую точкой $M$ при движении отрезка.

Даны две окружности с центром в начале координат $O$ и радиусами $a$ и $b$, причем $a > b$. Вокруг точки $O$ вращается луч, пересекающий первую окружность в точке $A$, а вторую — в точке $B$. Через точки $A$ и $B$ проводятся прямые, перпендикулярные соответственно осям $O x$ и $O y$. Найти линию, описываемую точкой пересечения этих прямых при вращении луча.

Дан эллипс $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16} = 1$. Составить его уравнение в полярной системе координат, принимая за полюс:

Составить уравнение гиперболы $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16} = 1$ в (обобщенной) полярной системе координат, принимая за полюс:

Составить уравнение параболы $y^{2} = 2 x$ в полярной системе координат, принимая за полюс фокус параболы, а за направление полярной оси — положительное направление оси $O x$.

Какие кривые задаются следующими уравнениями в обобщенной полярной системе координат:

Пусть $M_{1}$ и $M_{2}$ — точки пересечения конического сечения с прямой, проходящей через фокус $F$. Доказать, что $\frac{1}{M_{1} F}+\frac{1}{M_{2} F} = \frac{2}{p}$, где $p$ — фокальный параметр.

Через центр эллипса $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ проведены два взаимно перпендикулярных диаметра. Доказать, что сумма квадратов обратных величин их длин равна $\frac{1}{4 a^{2}}+\frac{1}{4 b^{2}}$.

Найти отношение, в котором центр эллипса или гиперболы делит отрезок ее фокальной оси, заключенный между фокусом и соответствующей директрисой.