Аффинные и ортогональные замены координат

Написать формулы перехода от одной системы координат на плоскости к другой, если началом первой системы $(x, y)$ является вершина $A$ параллелограмма $A B C D$, а базисом — векторы $\overrightarrow {A D}, \overrightarrow {A B}$; началом второй системы $(x^{\prime }, y^{\prime })$ является вершина $C$, а базисом векторы $\overrightarrow {C B}, \overrightarrow {C D}$.

На плоскости даны две системы координат: Oxy и $O^{\prime } x^{\prime } y^{\prime }$. Координаты $x$ и $y$ произвольной точки относительно первой системы выражаются через ее координаты $x^{\prime }$ и $y^{\prime }$ относительно второй системы следующими формулами: $x = 2 x^{\prime }-5 y^{\prime }+3, y = -x^{\prime }+2 y^{\prime }-2$. Найти координаты начала первой системы и единичных векторов ее осей относительно второй системы.

На плоскости даны две системы координат: $O x y, O^{\prime } x^{\prime } y^{\prime }$. Координаты $(x, y)$ и $(x^{\prime }, y^{\prime })$ произвольной точки $M$ относительно этих двух систем связаны между собой следующими формулами перехода:

По отношению к аффинной системе координат даны три точки плоскости $A(2,1), B(3,0), C(1,4)$. В новой аффинной системе координат те же точки имеют координаты $A(1,6), B(1,9), C(3,1)$. Найти:

Написать формулы преобразования координат на плоскости, принимая за новые оси $O^{\prime } x^{\prime }$ и $O^{\prime } y^{\prime }$ прямые $x-3 y+2 = 0$, $3 x+2 y-1 = 0$ соответственно, а за единичную точку новой системы — точку $(2,3)$.

Написать уравнения прямой $x-y-5 = 0$ в системе координат на плоскости, осями $O^{\prime } x^{\prime }$ и $O^{\prime } y^{\prime }$ которой служат прямые $2 x+y-1 = 0$ и $x-3 y+6 = 0$ соответственно, а единичной точкой точка $(-1,0)$.

Через точку плоскости $N(2,-3)$ провести прямую, отрезок которой между прямыми $x+4 y+7 = 0,3 x-2 y-4 = 0$ в точке $N$ делится пополам.

Даны точка $(0,2)$ пересечения медиан треугольника и уравнения двух его сторон $5 x-4 y+15 = 0,4 x+y-9 = 0$. Найти уравнение третьей стороны треугольника.

Даны уравнения медиан треугольника $4 x+5 y = 0, x-3 y = 0$ и его вершина $(2,-5)$. Составить уравнения сторон треугольника.

Найти формулы перехода от косоугольной системы координат $O x y$ на плоскости с координатным углом $\omega$ к прямоугольной системе $O x^{\prime } y^{\prime }$, положительными направлениями осей которой являются биссектрисы первого и второго координатных углов косоугольной системы, при условии, что базисные векторы косоугольной системы имеют единичную длину.

Найти формулы перехода от одной косоугольной системы координат $O x y$ с координатным углом $\omega$ к другой косоугольной системе $O x^{\prime } y^{\prime }$, если одноименные оси этих систем взаимно перпендикулярны, а разноименные образуют острые углы и все базисные векторы обеих систем имеют длину 1.

Оси прямоугольной системы координат плоскости повернуты вокруг начала отсчета на угол $-\pi / 3$. Найти старые координаты точки $A$, зная ее координаты $(4,-2)$ в новой системе координат.

Задано преобразование прямоугольных координат на плоскости от $O x y$ к $O^{\prime } x^{\prime } y^{\prime }$ :

Найти формулы обратного перехода от системы $O^{\prime } x^{\prime } y^{\prime }$ к $O x y$.

Рассмотрим композицию двух преобразований прямоугольных координат на плоскости:

Новая прямоугольная система координат плоскости получена из старой переносом начала в точку $O^{\prime }(4,-3)$ и поворотом на такой угол $\alpha$, что $\cos \alpha = -4 / 5, \sin \alpha = 3 / 5$. Найти новые координаты точки $M$, зная ее старые координаты $(5,10)$.

Начало $O^{\prime }$ новой прямоугольной системы $O^{\prime } x^{\prime } y^{\prime }$ на плоскости имеет относительно прямоугольной системы $O x y$ координаты $(-3,-2)$. Известно также, что $\cos \left(\widehat{O x, O^{\prime } x^{\prime }}\right) = -\frac{4}{5}, \cos \left(\widehat{O x, O^{\prime } y^{\prime }}\right) = -\frac{3}{5}$ и что системы $O x y$ и $O^{\prime } x^{\prime } y^{\prime }$ разной ориентации. Найти выражения старых координат $x$ и $y$ через новые координаты $x^{\prime }$ и $y^{\prime }$.

За единичные векторы первой системы координат пространства приняты три ребра $\overrightarrow {O A}, \overrightarrow {O B}, \overrightarrow {O C}$ тетраэдра $O A B C$, выходящие из одной точки $O$, а за единичные векторы второй системы-медианы $\overrightarrow {O D}, \overrightarrow {O E}, \overrightarrow {O F}$ граней $B O C, C O A, A O B$ этого тетраэдра. Найти координаты вершин тетраэдра во второй системе.

В пространстве даны две системы координат $O x y z$ и $O^{\prime } x^{\prime } y^{\prime } z^{\prime }$. Как выражаются друг через друга координаты $(x, y, z)$ и $\left(x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime }\right)$ произвольной точки $M$, если начало и базисные векторы второй системы имеют следующие координаты в первой системе Oxyz: $O^{\prime }(-1,3,0), \mathbf{e}_{1}^{\prime } = (1,-1,0), \mathbf{e}_{2}^{\prime } = (2,2,-1), \mathbf{e}_{3}^{\prime } = (-1,1,1)$?

В пространстве даны две системы координат $O x y z$ и $O^{\prime } x^{\prime } y^{\prime } z^{\prime }$. Координаты $(x, y, z)$ и $\left(x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime }\right)$ произвольной точки $M$ относительно этих двух систем связаны между собой следующими формулами перехода:

В аффинной системе координат даны уравнения трех пересекающихся в одной точке и не лежащих в одном пучке плоскостей $A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1} = 0, A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2} = 0, A_{3} x+B_{3} y + C_{3} z+D_{3} = 0$ и точка $E(x_{0}, y_{0}, z_{0})$, не лежащая ни на одной из этих плоскостей. Принимая эти плоскости соответственно за координатные плоскости $O^{\prime } y^{\prime } z^{\prime }, O^{\prime } x^{\prime } z^{\prime }, O^{\prime } x^{\prime } y^{\prime }$, найти формулы, выражающие координаты $(x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime })$ произвольной точки $M$ через ее координаты $(x, y, z)$, если координаты точки $E$ в системе $O^{\prime } x^{\prime } y^{\prime } z^{\prime }$ равны $(1,1,1)$.

В пространстве заданы две прямоугольные системы координат с общим началом: ось $O^{\prime } x^{\prime }$ совпадает с осью $O z$, ось $O^{\prime } y^{\prime }$ с осью $O x$, но имеет противоположное с ней направление, а ось $O^{\prime } z^{\prime }$ совпадает с осью Оу и тоже имеет противоположное с ней направление. Найти формулы, выражающие координаты $(x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime })$ произвольной точки $M$ через координаты $(x, y, z)$.

Относительно исходной прямоугольной системы координат пространства направления координатных осей новой прямоугольной системы задаются векторами: ось $O^{\prime } x^{\prime }$ направлена вдоль вектора $(-2,-6,3)$, ось $O^{\prime } y^{\prime }$ — вдоль $(6,-3,-2)$, а ось $O^{\prime } z^{\prime }$ — вдоль $(-3,-2,-6)$. Начало $O^{\prime }$ новой системы координат находится в точке $(-2,4,1)$. Найти формулы, выражающие старые координаты $(x, y, z)$ произвольной точки $M$ через ее новые координаты $\left(x^{\prime }, y^{\prime }, z^{\prime }\right)$.

Даны две системы координат: Oxyz с углами между осями по $60^{\circ }$ и $O x^{\prime } y^{\prime } z^{\prime }$ с углами между осями по $90^{\circ }$, с общим началом $O$ и одинаковыми по длине базисными векторами. Написать формулы перехода от косоугольной системы координат $O x y z$ к прямоугольной $O x^{\prime } y^{\prime } z^{\prime }$, если оси $O x$ и $O x^{\prime }$ обеих систем совпадают, ось $O y^{\prime }$ лежит в плоскости $O x y$ и образует с осью Оу угол $30^{\circ }$, а лучи, определяющие положительные направления осей $O z$ и $O z^{\prime }$, лежат по одну сторону от плоскости Oxy.

Даны две системы координат $O x_{1} x_{2} x_{3}$ и $O x_{1}^{\prime } x_{2}^{\prime } x_{3}^{\prime }$ с общим началом $O$ и одинаковыми по длине базисными векторами по всем осям обеих систем. Косинусы углов между осями первой системы равны соответственно $\cos \left(x_{1} O x_{2}\right) = \omega_{12}, \cos \left(x_{2} O x_{3}\right) = \omega_{23}, \cos \left(x_{3} O x_{1}\right) = \omega_{31}$. Косинусы углов между осями первой и второй систем заданы таблицей

Написать формулы, связывающие координаты $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ и $x_{1}^{\prime }, x_{2}^{\prime }, x_{3}^{\prime }$ одной и той же точки $M$ в обеих системах.

Найти формулы перехода от одной прямоугольной системы координат $O x y z$ к другой $O^{\prime } x^{\prime } y^{\prime } z^{\prime }$, если начало второй системы находится в точке $O^{\prime }(1,2,3)$, системы имеют противоположную ориентацию и выполнено следующее:

Относительно прямоугольной системы координат даны уравнения координатных плоскостей новой системы:

Проверить, что эти плоскости попарно перпендикулярны, и выразить новые прямоугольные координаты произвольной точки $M$ через её старые координаты при условии, что старое начало $O$ имеет в новой системе положительные координаты.

Относительно прямоугольной системы координат даны координатные плоскости новой системы $O^{\prime } x^{\prime } y^{\prime } z^{\prime }$ :

Проверить, что эти плоскости попарно перпендикулярны, и выразить новые прямоугольные координаты произвольной точки $M$ через её старые координаты при условии, что точка, имеющая в старой системе координаты $(1,-1,-1$), в новой системе имеет положительные координаты.