Касательные к линии второго порядка

Найти необходимое и достаточное условие того, что прямая $A x+B y+C = 0$ :

Составить уравнение касательной к квадрике

в начале координат.

Составить уравнения касательных к эллипсу

проведенных из точки $(12,-3)$.

Составить уравнения касательных к эллипсу

проходящих через точку:

Составить уравнение касательной к гиперболе $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{36} = 1$ :

Составить уравнения касательных к гиперболе

проходящих через точку:

Составить уравнение касательных к параболе $y^{2} = 16 x$, проходящих через точку:

Провести касательные к квадрике $2 x^{2}+7 x y+6 y^{2}+3 x + 5 y-26 = 0$ через точки:

Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы из точки $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ к гиперболе:

Найти необходимое и достаточное условие касания прямой $A x+B y+C = 0$ и эллипса

Доказать, что при любом значении $\theta$ прямая

касается одного и того же эллипса. Составить его уравнение.

Найти необходимое и достаточное условие касания прямой $A x+B y+C = 0$ с гиперболой

Доказать, что при любом значении $\theta$ прямая

касается одной и той же гиперболы, заданной каноническим уравнением. Составить уравнение этой гиперболы.

Найти необходимое и достаточное условие касания прямой $A x+B y+C = 0$ и параболы $y^{2} = 2 p x$.

(Двойственная квадрика). Доказать, что прямая $\alpha x+\beta y + 1 = 0$ касается невырожденной действительной квадрики (6.1) или является ее асимптотой тогда и только тогда, когда $\alpha$ и $\beta$ удовлетворяют уравнению

Пусть $\Gamma$-кривая второго порядка, для которой $I_{2} \neq 0$ или $I_{3} \neq 0$. Доказать, что прямая $A x+B y+C = 0$ касается кривой $\Gamma$, проходит через ее особую точку или является асимптотой тогда и только тогда, когда выполнено следующее равенство:

Доказать, что при любом значении $k$ прямая $y = k x+1 / k$ касается одной и той же параболы, заданной каноническим уравнением. Найти уравнение этой параболы.

Составить уравнение общих касательных к эллипсам

Эллипс, имеющий фокусы в точках $F_{1}(-3,0)$ и $F_{2}(3,0)$, касается прямой $x+y-5 = 0$. Составить уравнение эллипса.

Составить уравнение такой линии второго порядка, которая касается прямых $x = 0, y = 0$ в точках $P(0,3), Q(4,0)$ и прямой $x+y-1 = 0$. Найти точку касания с последней прямой.

Написать уравнение гиперболы, имеющей асимптотами прямые $x-1 = 0,2 x-y+1 = 0$ и касающейся прямой $4 x+y+5 = 0$.

Составить уравнение параболы, касающейся осей $O x$ и $O y$ в точках $P(3,0)$ и $Q(0,5)$ соответственно.

Составить уравнение линии второго порядка, касающейся сторон треугольника $P Q R$ и имеющей центр в точке $S(2,1)$, если известны координаты вершин $P(0,0), Q(5,0), R(0,4)$.

Доказать, что произведение расстояний от фокусов эллипса до любой его касательной равно квадрату малой полуоси.

Доказать, что произведение расстояний от фокусов гиперболы до любой касательной к ней равно квадрату мнимой полуоси.

Даны фокусы гиперболы $F_{1}(4,2), F_{2}(-1,-10)$ и уравнение касательной $3 x+4 y-5 = 0$. Найти полуоси гиперболы.

Найти геометрическое место точек пересечения взаимно перпендикулярных касательных к данному эллипсу с полуосями $a, b$.

Эллипс с полуосями $a$ и $b$, где $a < b$, при движении по плоскости касается осей координат, оставаясь в первой четверти. Какую линию описывает центр эллипса?

Найти геометрическое место вершин прямых углов, стороны которых касаются данной гиперболы с полуосями $a$ и $b$.

Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из фокуса параболы на касательные к ней.