Пучки и связки линий второго порядка

Не находя точки пересечения окружностей

составить уравнение их общей хорды.

Две линии второго порядка пересекаются по четырем точкам $P, Q, R, S$. Известно, что оси канонической системы координат для первой линии параллельны каноническим осям второй. Доказать, что точки $P, Q, R, S$ лежат на одной окружности.

Доказать, что для того, чтобы четыре точки параболы $y = k x^{2}$ лежали на одной окружности, необходимо и достаточно, чтобы сумма абсцисс этих точек была равна нулю.

Даны два эллипса, уравнения которых отличаются только свободными членами. Доказать, что они гомотетичны.

Известно, что уравнения двух гипербол отличаются только свободными членами. Доказать, что у них общие асимптоты.

Уравнения двух парабол отличаются только свободными членами. Доказать, что эти параболы отличаются сдвигом вдоль их общей оси.

Дана линия второго порядка $3 x^{2}-2 x y+y^{2}+6 x-9 = 0$. Найти кривую второго порядка, оси симметрии которой совпадают с осями указанной кривой, а полуоси в два раза больше.

Найти гиперболу, симметричную равносторонней гиперболе $x^{2}-6 x y-y^{2}+12 x-6 y+5 = 0$ относительно ее асимптот.

Какие из следующих условий на кривую второго порядка Г записываются как линейные однородные соотношения на коэффициенты ее уравнения? В каждом случае, когда это так, найти количество линейно независимых соотношений, соответствующих указанному условию:

Доказать, что если невырожденная линия второго порядка проходит через вершины треугольника, не являющегося прямоугольным, и точку пересечения его высот, то эта линия есть равносторонняя гипербола.

Доказать, что если две равносторонние гиперболы пересекаются в четырех точках, то каждая из этих точек есть точка пересечения высот треугольника, образованного тремя другими точками.

Доказать, что всякая линия второго порядка, проходящая через четыре точки пересечения двух равносторонних гипербол, есть равносторонняя гипербола или пара взаимно перпендикулярных прямых.

(Окружность девяти точек). Доказать, что центры равносторонних гипербол, описанных около данного треугольника, вместе с основаниями его высот образуют окружность, проходящую через середины сторон треугольника и середины отрезков, соединяющих его вершины с точкой пересечения высот.

Найти геометрическое место центров гипербол, проходящих через две фиксированные точки $P, Q$ и имеющих одни и те же асимптотические направления.

Написать уравнение гиперболы, которая касается оси $O x$ в точке $P(3,0)$, имеет ось $О у$ своей асимптотой и проходит через точку $Q(1,1)$.

Составить уравнение линии второго порядка, которая касается прямых $x-1 = 0$ и $x+y-2 = 0$ в точках $(1,0)$ и $(0,2)$ и проходит через точку $(0,0)$.

Составить уравнение линии второго порядка, проходящей через начало координат и касающейся прямой $4 x+3 y+2 = 0$ в точке $O_{1}(1,-2)$, а прямой $x-y-1 = 0$ — в точке $O_{2}(0,-1)$.

Дан треугольник $M O N: O(0,0), M(8,0), N(0,6)$. Написать уравнение линии второго порядка, проходящей через вершину $O$ этого треугольника, пересекающей стороны $O M$ и $O N$ в их серединах и касающейся стороны $M N$ в ее середине.

Пусть $N_{1}, N_{2}, N_{3}, N_{4}$ — четыре точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой, $f_{i j}(x, y) = 0$ — уравнение прямой, соединяющей точки $N_{i}$ и $N_{j}$. Показать, что любая кривая второго порядка, проходящая через точки $N_{1}, \ldots , N_{4}$, задается уравнением вида $\lambda f_{12}(x, y) f_{34}(x, y)+\mu f_{14}(x, y) f_{23}(x, y) = 0$.

Показать, что если две кривые второго порядка имеют пять общих точек, никакие четыре из которых не лежат на одной прямой, то они совпадают.

Составить уравнение линии второго порядка, проходящей через точки пересечения прямых $x+y-4 = 0,16 x+31 y-48 = 0$ с прямыми $y-2 = 0, y+2 = 0$ и касающейся оси $O x$.

Написать уравнение линии второго порядка, проходящей через пять точек $(0,0),(0,1),(1,0),(2,-5),(-5,2)$.

Доказать, что если кривая третьего порядка $f(x, y) = 0$ имеет с нераспадающейся кривой второго порядка $g(x, y) = 0$ семь общих точек, то она распадается на кривую $g(x, y) = 0$ и прямую.

Пусть $\Gamma$ — невырожденная кривая второго порядка, $P_{1}, P_{2}, \ldots$..., $P_{6}$ — вершины вписанного в нее шестиугольника, $f_{i j}(x, y) = 0$ уравнение прямой $P_{i} P_{j}$. Найти $\lambda$, при котором кривая

распадается на кривую $\Gamma$ и прямую.

Пусть $f_{i j}(x, y) = 0$ — уравнения прямых из предыдущей задачи Доказать теорему Паскаля: три точки пересечения прямых

лежат на одной прямой.

Составить уравнение параболы, касающейся всех сторон четырехугольника с вершинами $M_{1}(0,0), M_{2}(6,0), M_{3}(5,3), M_{4}(0,2)$.

Определить геометрическое место центров линий второго порядка, касающихся сторон четырехугольника $N_{1} N_{2} N_{3} N_{4}$, если даны координаты вершин $N_{1}(4,0), N_{2}(0,2), N_{3}(-3,0), N_{4}(0,-1)$.