Аффинные преобразования пространства

Найти аффинное преобразование, переводящее вершины тетраэдра $A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0), D(0,0,1)$ :

Найти множество, заметаемое прямыми, которые проходят через начало координат и изометрически отображаются на свои образы при аффинном преобразовании $x^{\prime } = k_{1} x, y^{\prime } = k_{2} y, z^{\prime } = k_{3} z$, где не все $k_{i}$ равны единице.

Выяснить геометрический смысл следующего аффинного преобразования (система координат прямоугольная, $a^{2}+b^{2} \neq 0$):

Доказать, что если аффинное преобразование обладает единственной неподвижной точкой, то все инвариантные прямые и плоскости проходят через эту точку.

Найти неподвижные точки, инвариантные прямые и инвариантные плоскости аффинного преобразования:

Найти аффинное преобразование, при котором координатные плоскости $x = 0, y = 0$ и $z = 0$ переходят в плоскости $x-y+z-1 = 0$, $x+y+1 = 0$ и $2 x-z+1 = 0$ соответственно, а точка $(1,1,1)$ — в точку $(1,1,0)$.

Написать формулы ортогонального проектирования на плоскость $x+y+z = 1$. Система координат прямоугольная.

Существует ли аффинное преобразование, не имеющее инвариантных прямых и неподвижных точек, но имеющее инвариантную плоскость?

Найти аффинное преобразование сжатия по нормали к плоскости $x+2 y+2 z+2 = 0$ с коэффициентом сжатия 4. Система координат прямоугольная.

Найти формулы аффинного преобразования, являющегося композицией симметрии относительно прямой $x = 1+2 t, y = 2-t$, $z = 5 t$ и последующего сжатия пространства в два раза к этой прямой. Система координат прямоугольная.

Пусть $\ell_{1}, \ell_{2}, \ell_{3}$ — три попарно скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости, $\ell_{1}^{\prime }, \ell_{2}^{\prime }, \ell_{3}^{\prime }$ — другие три попарно скрещивающиеся прямые, также не параллельные одной плоскости. Доказать, что существует единственное аффинное преобразование пространства, переводящее первую тройку прямых во вторую.

Пусть $\ell_{1}, \ell_{2}, \ell_{3}$ — три попарно скрещивающиеся прямые, параллельные одной плоскости, $\ell_{1}^{\prime }, \ell_{2}^{\prime }, \ell_{3}^{\prime }$ — другие три попарно скрещивающиеся прямые, также параллельные некоторой плоскости. Существует ли аффинное преобразование пространства, переводящее первую тройку прямых во вторую.

Доказать, что любая плоскость, проходящая через середины скрещивающихся ребер произвольного тетраэдра, делит его на две одинаковые по объему части.