Аффинные преобразования и линии второго порядка

Составить уравнения прообразов кривых

В условиях предыдущей задачи составить уравнения образов указанных кривых при данном аффинном преобразовании.

Задача 853: даны кривые

Доказать, что если $a$ и $b(a \geqslant b)$ — полуоси образа единичной окружности при аффинном преобразовании, $\mathbf{v}$ — произвольный вектор и $\mathbf{v}^{\prime }$ — его образ при том же преобразовании, то

Найти геометрическое место точек пересечения касательных к эллипсу, проходящих через концы двух его сопряженных диаметров.

Показать, что если линия второго порядка есть эллипс

то геометрическое место точек, из которых к этому эллипсу можно провести касательные, имеющие сопряженные направления, есть эллипс

Если же линия есть гипербола или парабола, то к ней нельзя провести касательные, имеющие сопряженные направления.

Найти геометрическое место середин хорд эллипса, соединяющих концы сопряженных диаметров.

Доказать, что центр тяжести треугольника, вписанного в один эллипс и описанного около другого гомотетичного первому с тем же центром, совпадает с центром эллипсов.

Определить геометрическое место середин хорд эллипса

отсекающих от него сегменты постоянной площади $S$.

Доказать, что прямые, соединяющие концы сопряженных диаметров эллипса, касаются эллипса, гомотетичного данному. Найти коэффициент гомотетии.

Доказать, что отрезки $M M_{1}$ и $M M_{2}$ касательных, проведенных из точки $M$ к эллипсу ($M_{1}$ и $M_{2}$-точки касания), относятся между собой как диаметры, которым они параллельны.

Доказать, что вершины любого ромба, описанного около эллипса, лежат на осях симметрии того же эллипса.

Доказать, что эллипс наибольшей площади, вписанный в данный параллелограмм, касается его сторон в их серединах.

Доказать, что длины хорд, стягивающих дуги, заключенные между двумя параллельными секущими к эллипсу, относятся друг к другу как диаметры эллипса, параллельные этим хордам.

Около эллипса описан четырехугольник. Доказать, что сумма площадей двух треугольников, имеющих общей вершиной центр эллипса, а основаниями соответственно две противоположные стороны четырехугольника, равна сумме площадей двух других таких же треугольников.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом с полуосями $a$ и $b$.

Через точку $A$ плоскости к эллипсу проведена секущая, пересекающая этот эллипс в точках $P$ и $Q$. Доказать, что $\frac{\left|A P\right| \cdot \left|A Q\right|}{d^{2}} =$ const, где $d$-диаметр эллипса, параллельный секущей.

Доказать, что два сопряженных диаметра эллипса делят его на четыре равновеликие части.

Найти эллипс наименьшей площади, проходящий через три точки $A, B, C$ плоскости, и вычислить его площадь.

Найти все аффинные преобразования, которые переводят в себя эллипс

и при этом:

Найти все аффинные преобразования, при которых гипербола $x y = c$ переходит в себя.

Найти все аффинные преобразования, которые переводят в себя гиперболу

и при этом:

При помощи гиперболических функций $\operatorname {sh} t, \operatorname {ch} t$ определить общее аффинное преобразование, которое переводит в себя гиперболу

Найти собственное аффинное преобразование, при котором гипербола $x^{2}-y^{2} = 4$ переходит в себя, а точка $(2,0)$ — в точку $(\sqrt{5}, 1)$. В какие точки это преобразование переводит фокусы гиперболы?

Рассмотрим два центральных радиус-вектора гиперболы, таких что площадь гиперболического сектора, образованного этими радиусами и дугой гиперболы, имеет данную величину. Доказать, что:

Найти аффинные преобразования, переводящие параболу $y^{2} = 2 p x$ в себя. Найти среди них унимодулярные преобразования, т. е. преобразования, определитель которых равен 1.

Найти аффинное преобразование, переводящее параболу $y^{2} = 2 x$ в себя, при котором точки $(0,0)$ и $(2,2)$ переходят в точки $(2,2)$ и $(2,-2)$ соответственно. В какие прямые переходят директриса и ось параболы при этом преобразовании?

Определить аффинное преобразование, переводящее в параболу $y^{2} = 2 p x$ параболу

Определить геометрическое место точек, соответствующих фокусу параболы $y^{2} = 2 p x$ при всех ее унимодулярных преобразованиях в ту же параболу.

Доказать, что существует и притом только одно аффинное преобразование, переводящее параболу в себя, при котором две данные точки параболы переходят в две другие данные точки параболы.

Доказать, что площадь сегмента параболы, отсекаемого хордой $A B$, составляет $2 / 3$ площади треугольника, сторонами которого служат хорда $A B$ и касательные к параболе в концах хорды.

Найти геометрическое место середин хорд параболы $y^{2} = 2 p x$, отсекающих сегменты параболы постоянной площади $S$.

Найти геометрическое место центров эллипсов, получающихся в пересечении эллипсоида $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$ плоскостями, проходящими через точку $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$.

Доказать, что плоскости, проходящие через концы трех взаимно сопряженных диаметров эллипсоида $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$, касаются эллипсоида $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = \frac{1}{3}$.