Банк задач по математике

Задача 1033

Является ли линейным подпространством в пространстве Mat $_{n}$ матриц порядка $n$ подмножество, образованное всеми:

?

(1)

матрицами с нулевой последней строкой;

(2)

матрицами с нулевой диагональю;

(3)

диагональными матрицами;

(4)

верхнетреугольными матрицами;

(5)

симметричными матрицами;

(6)

кососимметричными матрицами;

(7)

вырожденными матрицами;

(8)

невырожденными матрицами?

Задача 1034

Найти какой-либо базис и размерность подпространства $L \subset \mathbb {R}^{n}$ , которое задается условием $x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n} = 0$ .

?

Задача 1035

В линейном пространстве $\mathbb {R}_{n}[t]$ многочленов степени не выше $n$ над полем $\mathbb {R}$ рассмотрим подмножество $V$ , состоящее из тех многочленов $P(t)$ , для которых:

?

(1)

$P(0) = 0$ ;

(2)

$P(0) = 1$ ;

(3)

$2 P(0) = 5 P(1)$

(4)

$P(t) \geqslant 0$ при $0 \leqslant t \leqslant 1$ ;

В каких случаях $V$ является линейным подпространством в $\mathbb {R}_{n}[t]$ ? Вычислить его размерность и найти какой-нибудь базис.

(5)

$P(t) = P(1-t)$ ;

(6)

$P(t) = P(-t)$

(7)

$P(t) = -P(-t)$ .

Задача 1036

Доказать, что пересечение $\bigcap_{\alpha } W_{\alpha }$ произвольного семейства линейных подпространств $W_{\alpha } \subset V$ векторного пространства $V$ также является линейным подпространством в $V$ . Верно ли то же самое для объединения?

?

Задача 1037

Доказать что линейная оболочка объединения двух линейных подпространств одного и того же векторного пространства совпадает с суммой этих подпространств:

\langle X \cup Y\rangle = X+Y

?

Задача 1038

Дано линейное пространство $V$ и некоторое его подмножество $X$ . Доказать, что линейная оболочка $\langle X\rangle$ совпадает с пересечением всех линейных подпространств, содержащих $X$ .

?

Задача 1039

(1)(2)

(Прямая сумма нескольких подпространств). Суммой подпространств $L_{1}, \ldots , L_{k}$ векторного пространства $V$ называется линейная оболочка их объединения:

L_{1}+\ldots +L_{k} = \left\langle L_{1} \cup \ldots \cup L_{k}\right\rangle

Говорят, что эти подпространства образуют прямую сумму (которая обозначается $L_{1} \oplus \ldots \oplus L_{k}$ ), если любой вектор $u \in L_{1}+\ldots +L_{k}$ представляется в виде

u = u_{1}+\ldots +u_{k}, \quad \text{ где } u_{i} \in L_{i}, i = 1, \ldots , k

единственным образом. Доказать, что это условие равносильно каждому из условий ниже:

?

(1)

$L_{i} \cap \left\langle \bigcup_{j \neq i} L_{j}\right\rangle = \left\{ 0\right\}$ для $i = 1, \ldots , k$ ;

(2)

$L_{i} \cap \left(L_{i+1}+\ldots +L_{k}\right) = \left\{ 0\right\}$ для $i = 1, \ldots , k-1$ .

Задача 1040

(1)(2)

Пусть $L, M, N$ — подпространства линейного пространства $V$ .

?

(1)

Показать, что равенство $L \cap (M+N) = (L \cap M)+(L \cap N)$ выполняется не всегда.

(2)

Доказать, что $L \cap (M+(L \cap N)) = (L \cap M)+(L \cap N)$ .

Задача 1041

Известно, что каждые два из трех данных подпространств $L, M$ и $N$ линейного пространства $V$ образуют прямую сумму. Следует ли отсюда, что и все три подпространства $L, M, N$ образуют прямую сумму?

?

Задача 1042

Может ли нетривиальное (т. е. ненулевое и отличное от всего пространства) подпространство линейного пространства иметь единственное дополнительное подпространство?

?

Задача 1043

Пусть $M$ — линейное подпространство конечномерного линейного пространства $V$ , а $N$ — некоторое его дополнительное подпространство. Доказать равенство $\operatorname {dim} M+\operatorname {dim} N = \operatorname {dim} V$ .

?

Задача 1044

Пусть $M$ и $N$ -конечномерные линейные подпространства линейного пространства $V$ . Доказать равенство

\operatorname {dim} M+\operatorname {dim} N = \operatorname {dim}(M+N)+\operatorname {dim}(M \cap N)

?

Задача 1045

Пусть конечномерное пространство $V$ является суммой своих подпространств $M$ и $N$ . Доказать, что всякое подпространство, дополнительное к $M \cap N$ в $V$ , является прямой суммой некоторых подпространств, дополнительных к $M \cap N$ в $M$ и в $N$ соответственно.

?

Задача 1046

Доказать, что пространство $\mathbb {R}^{t}$ многочленов с вещественными коэффициентами распадается в прямую сумму подпространства четных многочленов и подпространства нечетных многочленов. Верно ли это утверждение для многочленов над произвольным полем?

?

Задача 1047

(1)(2)(3)(4)

Найти размерность и базис линейной оболочки системы векторов:

?

(1)

$(1,-1),(-1,6),(-1,1)$ ;

(2)

$(-3,2,0),(0,-4,15),(-3,6,-15)$ ;

(3)

$(1,1,1,1),(1,2,1,3),(1,1,1,3),(1,1,2,2)$ ;

(4)

(1, 2, 1, 3), (1, 1, 1, 3), (1, 0, 1, 3).

Задача 1048

Найти размерность и базис векторного пространства решений системы однородных линейных уравнений:

?

(1)

$(-3+2 i) x^{1}-i x^{2} = 0$ ;

(2)

$\begin{cases} x^{1}-3 x^{2} = 0 \\ -2 x^{1}+6 x^{2} = 0 \end{cases}$

(3)

$\begin{cases} -3 x^{1}-10 x^{2}+10 x^{3} = 0 \\ -7 x^{1}+4 x^{2}-4 x^{3} = 0 \\ -2 x^{1}-3 x^{2}+3 x^{3} = 0 \end{cases}$

(4)

$\begin{cases} -3 x^{1}+x^{2}-2 x^{3} = 0 \\ 6 x^{1}-2 x^{2}+4 x^{3} = 0, \\ -15 x^{1}+5 x^{2}-10 x^{3} = 0 \end{cases}$

(5)

$\begin{cases} 6 x^{1}+9 x^{2}+8 x^{3} = 0 \\ x^{2}+6 x^{3} = 0 \end{cases}$

(6)

$\begin{cases} 3 x^{1}+x^{2} = 0 \\ 2 x^{1}+x^{2} = 0, \\ x^{1} = 0 ; \end{cases}$

(7)

$\left(\begin{array}{rrrr}3 & 3 & -4 & -3 \\ 0 & 6 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 3 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x^{1} \\ x^{2} \\ x^{3} \\ x^{4}\end{array}\right) = 0$ ;

(8)

$\left(\begin{array}{rrrrr}2 & -1 & 3 & -2 & 4 \\ 4 & -2 & 5 & 1 & 7 \\ 2 & -1 & 1 & 8 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x^{1} \\ x^{2} \\ x^{3} \\ x^{4} \\ x^{5}\end{array}\right) = 0$ .

Задача 1049

Составить систему линейных уравнений, задающую линейную оболочку системы векторов:

?

(1)

$(1,1,1),(1,2,3)$ ;

(2)

$(-1,1),(1,-1)$ ;

(3)

$(2,3),(1,1)$ ;

(4)

$(1,1,1,1),(1,2,1,3)$ ;

(5)

$(1,1,2,2)$ ;

(6)

$(1,1,1,1),(1,1,1,3),(3,-5,7,2),(1,-7,5,-2)$ ;

(7)

$(1,1,1,1),(1,2,1,3),(1,1,2,2),(1,1,1,3)$ ;

(8)

$(0,0,0,0)$ .

Задача 1050

Принадлежит ли число $\sqrt[6]{2}$ линейной оболочке чисел $1, \sqrt{2}$ и $\sqrt[4]{2}$ над полем рациональных чисел?

?

Задача 1051

В линейном пространстве $\mathbb {R}_{8}[t]$ многочленов степени не выше 8 заданы два подпространства

\begin{aligned} & L_{1} = \left\{ P \in \mathbb {R}_{8}[t] ; P(1) = P^{\prime }(1) = P^{\prime \prime }(1) = 0\right\} \quad \text{ и } \\ & L_{2} = \left\{ P \in \mathbb {R}_{8}[t] ; P(-1) = P^{\prime }(-1) = P^{\prime \prime }(-1) = 0\right\} \end{aligned}

соответственно. Найти базисы суммы и пересечения этих подпространств.

?

Задача 1052

В пространстве матриц $\mathrm{Mat}_{n}$ порядка $n$ заданы подпространство $S_{n}$ симметричных матриц и подпространство $T_{n}$ строго верхнетреугольных матриц. Доказать, что Mat $_{n} = S_{n} \oplus T_{n}$ . Найти проекцию произвольной матрицы $A$ на каждое из этих подпространств параллельно другому подпространству.

?

Задача 1053

В пространстве матриц Mat $_{n}$ заданы подпространства $S_{n}$ симметричных матриц и $V_{n, r}$ матриц, у которых последние $n-r$ строк нулевые. Найти размерности и базисы суммы и пересечения этих подпространств.

?

Задача 1054

Найти размерности и базисы суммы и пересечения подпространств $L_{1}$ и $L_{2}$ :

?

(1)

$L_{1} = \langle (4,2,1),(-3,2,0),(-1,4,0)\rangle$ , $L_{2} = \langle (-2,3,1),(5,3,13),(7,0,12)\rangle$

(2)

$L_{1} = \langle (1,2,3),(4,3,1),(2,-1,-5)\rangle$ , $L_{2} = \langle (1,1,1),(-3,2,0),(-2,3,1)\rangle$

(3)

$L_{1} = \langle (1,2,3)$ , $(0,1,1),(1,1,2)\rangle$ ,

$L_{2} = \langle (4,3,1),(1,1,0),(5,3,2)\rangle$

(4)

$L_{1} = \langle (1,1,1),(4,2,1),(2,0,-1)\rangle$ ,

$L_{2} = \langle (-2,3,1),(1,4,1),(5,-2,-1)\rangle$ ;

(5)

$L_{1} = \langle (1,2,3),(1,-2, i),(2,0,3+i)\rangle$ ,

$L_{2} = \langle (1,0,3 i),(1,4,3+2 i),(-1,4,3-4 i)\rangle$

(6)

$L_{1} = \langle (1,-i, 1+i),(1,0,3 i),(-1,2 i,-2+i)\rangle$ ,

$L_{2} = \langle (1,-2, i),(2,1+i,-i),(0,5+i,-3 i)\rangle$ ;

(7)

$L_{1} = \langle (1,1,1,1),(1,2,1,3-i),(2,3,2,4-i),(1,1,1,1-i)\rangle$ , $L_{2} = \langle (0,1,0,3-i),(0,2,0,5-2 i),(0,2+i, 0,6+i)$ ,

(1,4+i, 5-i,-2-i)\rangle

(8)

$L_{1} = \langle (1,2,3,1,1),(1,0,1,-2,-2),(2,0,1,-1,0),(0,1,1,0,0)\rangle$ , $L_{2} = \langle (1,2,0,0,2),(0,1,-2,3,-3),(-1,2,1,2,0)$ ,

$(1,1,-2,0,0)\rangle$

(9)

$L_{1}: x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}-x_{5} = 0$ ,

$L_{2} = \langle (1,1,1,1,1),(1,0,-1,1,-1),(0,1,-1,-1,1)$ ,

(-2,1,0,1,-1)\rangle

(10)

$L_{1}:\begin{cases} x_{1}+x_{3}+x_{4}-x_{5} = 0, \\ x_{2}-x_{4} = 0,\end{cases} L_{2}:\begin{cases} x_{3}+2 x_{4} = 0, \\ x_{1}-x_{2}-x_{5} = 0 \end{cases}$

(11)

$L_{1} = \langle (1,1,-1,1,1),(0,1,-1,1,0),(1,2,-3,2,0)\rangle$ , $L_{2} = \langle (1,0,-2,1,1),(1,1,-2,1,0),(2,1,0,0,1)\rangle ;$

(12)

$L_{1} = \langle (1,2,-2,2,1),(2,4,-5,4,1),(2,3,-3,3,2)\rangle$ , $L_{2}:\begin{cases} x_{3}+2 x_{4} = 0 \\ x_{1}-x_{2}+x_{5} = 0 \end{cases}$

(13)

$L_{1} = \langle (1,1,-1,-1),(0,1,3,2),(2,1,-1,0)\rangle$ , $L_{2} = \langle (1,1,2,0),(0,1,1,0),(1,3,1,3)\rangle$ .

Линейные подпространства и операции над ними