Линейные функции и отображения

Какие из следующих отображений пространства $\mathbb {R}_{n}[x]$ в себя являются линейными:

Рассмотрим линейное пространство всех сходящихся числовых последовательностей $\left\{ a_{n}\right\}$. Какие из функций $\left\{ a_{n}\right\} \mapsto \lim_{n \rightarrow \infty } a_{n}$, $\left\{ a_{n}\right\} \mapsto \sup a_{n}$ и $\left\{ a_{n}\right\} \mapsto a_{1}$ являются линейными?

В линейном пространстве Mat $_{n}$ вещественных матриц порядка $n$ рассмотрим функции следа и определителя. Являются ли они линейными?

Доказать, что для любой ненулевой линейной функции $l$ на конечномерном линейном пространстве $V$ существует базис, в котором функция $l$ имеет вид $l(x) = x^{1}$, где $x^{1}$ — первая координата вектора $x \in V$ в этом базисе.

Доказать, что отображение, обратное к линейному изоморфизму, также является линейным изоморфизмом. Вывести отсюда, что отношение изоморфности является отношением эквивалентности.

Доказать, что линейные функции на произвольном векторном пространстве $V$ также образуют линейное пространство (которое обозначается через $V^{*}$ и называется сопряженным или двойственным к пространству $V$). Доказать, что для любого конечномерного пространства $V$ имеется естественный изоморфизм между пространствами $V$ и $\left(V^{*}\right)^{*}$.

Пусть $V$-линейное пространство с базисом $e_{1}, \ldots , e_{n}$. Доказать существование и единственность линейных функций $e^{1}, \ldots , e^{n}$ на $V$ таких, что $e^{i}\left(e_{j}\right) = \delta_{j}^{i}$ (символ Кронекера). Проверить, что такое множество образует базис пространства $V^{*}$ линейных функций на пространстве $V$ (такой базис называется двойственным или дуальным к базису $e_{1}, \ldots , e_{n}$). Как он связан с координатами в базисе $e_{1}, \ldots , e_{n}$?

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — базис пространства $V$. Доказать, что всякая линейная функция $l$ на $V$ имеет вид $l(x) = l_{1} x^{1}+\ldots +l_{n} x^{n}$, где $x^{1}, \ldots , x^{n}$ — координаты вектора $x$ в базисе $e_{1}, \ldots , e_{n}$. Какие координаты имеет функция $l$ в дуальном базисе $e^{1}, \ldots , e^{n}$ пространства $V^{*}$?

Пусть $l$ — ненулевая линейная функция на линейном пространстве $V$ (не обязательно конечномерном). Доказать, что ядро $\operatorname {Ker}(l)$ функции $l$, т. е. множество всех векторов $x \in V$, для которых $l(x) = 0$, является максимальным нетривиальным линейным подпространством в $V$, т. е. не содержится ни в каком подпространстве пространства $V$, отличном от себя и от $V$.

Доказать, что пространство $V / \operatorname {Ker}(l)$ одномерно.

Доказать, что $k$ линейных функций на $n$-мерном линейном пространстве линейно независимы тогда и только тогда, когда пересечение их ядер является $(n-k)$-мерным подпространством.

Доказать, что если ядра двух линейных функций $l_{1}$ и $l_{2}$ на линейном пространстве $V$ (не обязательно конечномерном) совпадают, то существует такое ненулевое число $\lambda$, что $l_{1}(x) = \lambda l_{2}(x)$ для любого $x \in V$.

Доказать, что всякому линейному отображению А: $V \rightarrow W$ естественным образом соответствует линейное отображение $\mathrm{A}^{*}: W^{*} \rightarrow V^{*}$.

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{m}$ и $f_{1}, \ldots , f_{n}$ — базисы пространств $V$ и $W$ соответственно, $e^{1}, \ldots , e^{m}$ и $f^{1}, \ldots , f^{n}$ — двойственные к ним базисы в $V^{*}$ и $W^{*}$. Как связаны матрицы $A$ и $A^{*}$ линейных отображений $\mathbf{A}$ и $\mathbf{A}^{*}$ соответственно в этих базисах?

Аннулятором $\operatorname {Ann} W$ подмножества $W$ векторного пространства $V$ называется множество всех линейных функций, обращающихся на $W$ в нуль. Показать, что $\operatorname {Ann} W$ — линейное подпространство пространства $V^{*}$ линейных функций и что если $V$ конечномерно, то $\operatorname {dim}(\operatorname {Ann} W) = \operatorname {dim} V-\operatorname {rank} W$.

Доказать, что, если $W_{1}$ и $W_{2}$ — подпространства некоторого конечномерного векторного пространства, то равенство $\operatorname {Ann} W_{1} = \mathrm{Ann} W_{2}$ равносильно совпадению подпространств $W_{1}$ и $W_{2}$. Проверить соотношения $\operatorname {Ann}\left(W_{1}+W_{2}\right) = \operatorname {Ann} W_{1} \cap \operatorname {Ann} W_{2}$ и $\operatorname {Ann}\left(W_{1} \cap W_{2}\right) = \operatorname {Ann} W_{1}+\operatorname {Ann} W_{2}$.

Пусть $W$ — линейное подпространство некоторого конечномерного векторного пространства. Доказать, что $\operatorname {Ann}(\operatorname {Ann}(W)) = W$.

Пусть $W$ — подпространство векторного пространства $V$, дополнительное к подпространству $U$. Доказать, что $W$ изоморфно факторпространству $V / U$.

Доказать, что для любого линейного подпространства $U$ пространства $V$ имеет место изоморфизм пространств $\operatorname {Ann}(U)$ и $(V / U)^{*}$.

Показать, что множество всех полулинейных функций на конечномерном пространстве $V$ над полем $\mathbb {C}$ имеет структуру линейного пространства над $\mathbb {C}$ размерности $n = \operatorname {dim} V$. Показать также, что функция $l$ полулинейна тогда и только тогда, когда функция $\bar{l}$, задаваемая формулой $\bar{l}(x) = \overline{l(x)}$, линейна.

Пусть $e_{1}, \ldots , e_{n}$ — базис комплексного линейного пространства $V$, а $e^{1}, \ldots , e^{n}$ — двойственный базис. Показать, что функции $\overline{e^{1}}, \ldots , \overline{e^{n}}$ образуют базис пространства полулинейных функций. Пусть $C$ — матрица перехода к новому базису $f_{1}, \ldots , f_{n}$ в пространстве $V$. Найти матрицу перехода от базиса $\overline{e^{1}}, \ldots , \overline{e^{n}}$ к новому двойственному базису $\overline{f^{1}}, \ldots , \overline{f^{n}}$.

В пространстве $\mathbb {R}_{n}[t]$ многочленов степени не выше $n$ рассмотрим линейные функции $l^{i}, i = 0,1, \ldots , n$, заданные формулой

Доказать, что эти функции образуют базис в пространстве линейных функций на $\mathbb {R}_{n}[t]$.

В пространстве $\mathbb {R}_{n}[t]$ многочленов степени не выше $n$ рассмотрим линейные функции $l^{i}, i = 0,1, \ldots , n$, заданные формулой $l^{i}(P) = P^{(i)}\left(t_{0}\right)$. Доказать, что эти функции образуют базис в пространстве линейных функций на $\mathbb {R}_{n}[t]$. Найти двойственный базис $P_{0}, \ldots , P_{n}$ в пространстве $\mathbb {R}_{n}[t]$.

В пространстве $\mathbb {R}_{n}[t]$ многочленов степени не выше $n$ рассмотрим линейные функции $l^{i}, i = 0,1, \ldots , n$, заданные формулой $l^{i}(P) = P\left(t_{i}\right)$, где $P(t) \in \mathbb {R}_{n}[t]$, а $t_{0}, t_{1}, \ldots , t_{n}$ — различные точки числовой прямой. Доказать, что эти функции образуют базис в пространстве линейных функций на $\mathbb {R}_{n}[t]$. Найти двойственный базис в пространстве $\mathbb {R}_{n}[t]$.

Доказать, что векторное пространство $(\mathbb {R}^{t})^{*}$ линейных функций на пространстве $\mathbb {R}^{t}$ всех многочленов не изоморфно пространству $\mathbb {R}^{t}$.

В пространстве $\mathrm{Mat}_{n}(\mathbb {C})$ комплексных квадратных матриц порядка $n$ рассмотрим линейные функции $l^{p q}, p, q = 1, \ldots , n$, заданные формулой $l^{p q}(A) = \operatorname {tr}\left(U^{p} V^{q} A\right)$, где $A \in M_{n}$,

Доказать, что эти функции образуют базис в пространстве линейных функций на $\mathrm{Mat}_{n}(\mathbb {C})$. Найти двойственный базис $(A_{p q})$ в пространстве $\mathrm{Mat}_{n}(\mathbb {C})$.

Линейное отображение $\mathrm{A}: \mathbb {R}^{3} \rightarrow \mathbb {R}^{2}$ задано матрицей

В области определения выбран новый базис $e_{1} = (1,-1,0)$, $e_{2} = (0,2,-1), e_{3} = (1,0,1)$. Найти матрицу отображения А в этом базисе.

Найти матрицу отображения из предыдущей задачи, если в области значений выбран новый базис: $f_{1} = (3,2), f_{2} = (1,1)$, а базис в $\mathbb {R}^{3}$ оставлен без изменений.