Ядро и образ линейного оператора. Инвариантные подпространства. Проекторы. Комплексификация и овеществление

Доказать, что ядро KerA и образ ImA любого линейного оператора в пространстве $V$ являются линейными подпространствами пространства $V$, причем если $V$ конечномерно, то

Показать, что ядро и образ любого оператора А инвариантны относительно оператора А.

Найти ядро и образ следующих операторов, действующих в пространстве $\mathbb {R}_{n}[x]$ многочленов степени не выше $n$ :

Найти ядро и образ оператора дифференцирования:

Доказать, что для любых подпространств $L_{1}$ и $L_{2}$ конечномерного линейного пространства $V$, таких что $\operatorname {dim} L_{1}+\operatorname {dim} L_{2} = \operatorname {dim} V$, найдется такой линейный оператор $\mathbf{A}$, что

Доказать, что ядро и образ любого идемпотентного оператора А образуют прямую сумму. Доказать, что А является оператором проектирования на подпространство Im A параллельно Ker A.

Пусть А и В — идемпотентные операторы (проекторы) в одном и том же векторном пространстве. Доказать, что оператор А - В идемпотентен (проектор) тогда и только тогда, когда $\mathbf{A B} = \mathbf{B A} = \mathbf{B}$.

Пусть А- идемпотентный оператор в пространстве $V$. Доказать, что сопряженный оператор $\mathbf{A}^{*}$ в двойственном пространстве $V^{*}$ также идемпотентен. Каковы его ядро и образ?

Доказать, что сумма и пересечение подпространств $L_{1}$ и $L_{2}$, инвариантных относительно оператора $\mathrm{A}$, также инвариантны относительно оператора А.

Доказать, что если оператор $\mathbf{A}$ обратим, то $\mathbf{A}$ и $\mathbf{A}^{-1}$ имеют одни и те же инвариантные подпространства.

Доказать, что если два оператора A, B, определенные на одном и том же векторном пространстве, коммутируют, то ядро и образ оператора А инвариантны относительно В.

Охарактеризовать матрицы таких операторов А в базисе $e_{1}, \ldots , e_{n}$, что

Доказать, что конечномерное вещественное линейное пространство $V$, обладающее некоторой комплексной структурой $\mathrm{J}$, имеет четную размерность.

Пусть векторы $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ образуют базис вещественного пространства $V$. Доказать, что векторы

образуют базис комплексификации $V_{\mathbb {C}}$ пространства $V$.

Доказать, что вещественный оператор А вырожден тогда и только тогда, когда вырожден оператор комплексификации $\mathbf{A}_{\mathbb {C}}$.

Пусть векторы $e_{1}, \ldots , e_{n}$ образуют базис пространства $V$ над полем $\mathbb {C}$. Доказать, что векторы $e_{1}, \ldots , e_{n}, i e_{1}, \ldots , i e_{n}$ образуют базис овеществления $V_{\mathbb {R}}$.

Пусть A- оператор, действующий в конечномерном комплексном пространстве $V$. Доказать, что оператор $\mathbf{A}_{\mathbb {R}}: V_{\mathbb {R}} \rightarrow V_{\mathbb {R}}$ имеет неотрицательный определитель.

Пусть $V$ — вещественное линейное пространство. Доказать, что имеется следующий естественный изоморфизм вещественных пространств: $\left(V_{\mathbb {C}}\right)_{\mathbb {R}} \rightarrow V \oplus V$.

Пусть $V$ — вещественное линейное пространство и $\mathbf{J}$ — некоторая комплексная структура на нем. Доказать, что: