Операторы в линейных пространствах

Найти матрицу линейного оператора в трехмерном пространстве $\mathbb {R}^{3}$ (со стандартным скалярным произведением), заданного формулой $x \mapsto (x, a) a$, где вектор $a = (1,2,3)$, в стандартном базисе пространства $\mathbb {R}^{3}$ и в базисе $b_{1} = (1,0,1), b_{2} = (2,0,-1), b_{3} = (1,1,0)$.

Рассмотрим пространство $\mathbb {R}_{5}[x]$ многочленов степени не выше пятой и его базис $1, x, x^{2}, x^{3}, x^{4}, x^{5}$. Найти матрицы следующих операторов:

Найти матрицу линейного оператора А в пространстве $\mathbb {R}^{3}$, заданного формулой $\mathbf{A}(x) = [v, x]$, где $[\cdot , \cdot ]$ обозначает векторное произведение, а $v = (2,-1,3)$. Какие операторы можно представить в виде $x \mapsto [v, x]$ для некоторого вектора $v \in \mathbb {R}^{3}$?

Рассмотрим пространство $\mathrm{Mat}_{2}$ квадратных матриц порядка 2. Определим при помощи матрицы

два отображения:

Проверить, что отображения $L_{A}$ и $R_{A}$ являются линейными операторами и найти их матрицы в базисе

Пусть $A, B$ — матрицы операторов А и В соответственно в некотором фиксированном базисе. Какую матрицу имеет композиция $\mathbf{A} \circ$ В этих операторов в том же базисе?

Доказать, что определитель матрицы линейного оператора А в конечномерном векторном пространстве не зависит от выбора базиса. Этот определитель называется определителем оператора A и обозначается $\operatorname {det} \mathbf{A}$.

Доказать, что след матрицы линейного оператора А в конечномерном векторном пространстве не зависит от выбора базиса. Этот след называется следом оператора А и обозначается $\operatorname {tr} \mathbf{A}$.

Доказать, что на конечномерном линейном пространстве не существует таких линейных операторов А и В, что $\mathbf{A B}-\mathbf{B A} =$ Id.

Как изменится матрица линейного оператора, если поменять местами $i$-й и $j$-й базисные векторы?

Как изменится матрица линейного оператора, если $i$-й базисный вектор умножить на некоторое число $\lambda \neq 0$?

Как изменится матрица линейного оператора, если к $i$-му базисному вектору прибавить $j$-й?

Как связаны матрица $A$ оператора А в произвольном базисе $e_{1}, \ldots , e_{n}$ конечномерного пространства $V$ и матрица $A^{*}$ сопряженного оператора $\mathbf{A}^{*}$ в дуальном базисе $e^{1}, \ldots , e^{n}$ пространства $V^{*}$?

Найти матрицу линейного оператора А в базисе $e_{1} = (3,2)$, $e_{2} = (2,1)$, если в стандартном базисе он имеет матрицу $\left(\begin{array}{rr}-2 & 4 \\ 5 & 1\end{array}\right)$.

Линейный оператор в некотором базисе $e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}$ имеет матрицу

Найти матрицу этого оператора в базисе:

Линейный оператор в некотором базисе $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ имеет матрицу

Найти его матрицу в базисе

Линейный оператор А переводит векторы

в векторы

соответственно. Найти матрицу оператора А в стандартном базисе пространства $\mathbb {R}^{3}$.

Линейный оператор в базисе

имеет матрицу

Найти его матрицу в базисе

Линейное пространство $V$ разложено в прямую сумму двух своих подпространств $V = L_{1} \oplus L_{2}$. Определим два отображения $\mathbf{P}$ и $\mathbf{R}$ пространства $V$ в себя, для этого рассмотрим произвольный вектор $x = x_{1}+x_{2} \in V$, где $x_{1} \in L_{1}, x_{2} \in L_{2}$, тогда:

Доказать, что:

Доказать, что ядро KerA и образ ImA любого линейного оператора в пространстве $V$ являются линейными подпространствами пространства $V$, причем если $V$ конечномерно, то

Показать, что ядро и образ любого оператора А инвариантны относительно оператора А.

Найти ядро и образ следующих операторов, действующих в пространстве $\mathbb {R}_{n}[x]$ многочленов степени не выше $n$ :

Найти ядро и образ оператора дифференцирования:

Доказать, что для любых подпространств $L_{1}$ и $L_{2}$ конечномерного линейного пространства $V$, таких что $\operatorname {dim} L_{1}+\operatorname {dim} L_{2} = \operatorname {dim} V$, найдется такой линейный оператор $\mathbf{A}$, что

Доказать, что ядро и образ любого идемпотентного оператора А образуют прямую сумму. Доказать, что А является оператором проектирования на подпространство Im A параллельно Ker A.

Пусть А и В — идемпотентные операторы (проекторы) в одном и том же векторном пространстве. Доказать, что оператор А - В идемпотентен (проектор) тогда и только тогда, когда $\mathbf{A B} = \mathbf{B A} = \mathbf{B}$.

Пусть А- идемпотентный оператор в пространстве $V$. Доказать, что сопряженный оператор $\mathbf{A}^{*}$ в двойственном пространстве $V^{*}$ также идемпотентен. Каковы его ядро и образ?

Доказать, что сумма и пересечение подпространств $L_{1}$ и $L_{2}$, инвариантных относительно оператора $\mathrm{A}$, также инвариантны относительно оператора А.

Доказать, что если оператор $\mathbf{A}$ обратим, то $\mathbf{A}$ и $\mathbf{A}^{-1}$ имеют одни и те же инвариантные подпространства.

Доказать, что если два оператора A, B, определенные на одном и том же векторном пространстве, коммутируют, то ядро и образ оператора А инвариантны относительно В.

Охарактеризовать матрицы таких операторов А в базисе $e_{1}, \ldots , e_{n}$, что

Доказать, что конечномерное вещественное линейное пространство $V$, обладающее некоторой комплексной структурой $\mathrm{J}$, имеет четную размерность.

Пусть векторы $e_{1}, e_{2}, \ldots , e_{n}$ образуют базис вещественного пространства $V$. Доказать, что векторы

образуют базис комплексификации $V_{\mathbb {C}}$ пространства $V$.

Доказать, что вещественный оператор А вырожден тогда и только тогда, когда вырожден оператор комплексификации $\mathbf{A}_{\mathbb {C}}$.

Пусть векторы $e_{1}, \ldots , e_{n}$ образуют базис пространства $V$ над полем $\mathbb {C}$. Доказать, что векторы $e_{1}, \ldots , e_{n}, i e_{1}, \ldots , i e_{n}$ образуют базис овеществления $V_{\mathbb {R}}$.

Пусть A- оператор, действующий в конечномерном комплексном пространстве $V$. Доказать, что оператор $\mathbf{A}_{\mathbb {R}}: V_{\mathbb {R}} \rightarrow V_{\mathbb {R}}$ имеет неотрицательный определитель.

Пусть $V$ — вещественное линейное пространство. Доказать, что имеется следующий естественный изоморфизм вещественных пространств: $\left(V_{\mathbb {C}}\right)_{\mathbb {R}} \rightarrow V \oplus V$.

Пусть $V$ — вещественное линейное пространство и $\mathbf{J}$ — некоторая комплексная структура на нем. Доказать, что:

Доказать, что каковы бы ни были два многочлена $P(x)$, $Q(x)$ и линейный оператор $\mathbf{A}$, операторы $P(\mathbf{A})$ и $Q(\mathbf{A})$ коммутируют между собой.

Доказать, что любой аннулирующий многочлен оператора делится на его минимальный многочлен. Вывести отсюда, что если оператор имеет хотя бы один аннулирующий многочлен, то его минимальный многочлен определен однозначно.

Найти минимальный многочлен оператора А на пространстве $V$ в каждом из следующих случаев:

Доказать, что минимальный многочлен оператора не меняется при расширении поля. А именно, пусть А, А' — операторы в конечномерных пространствах над полями $\mathbb {k}$ и $\mathbb {k}^{\prime }$ соответственно, причем $\mathbb {k}$ — подполе в $\mathbb {k}^{\prime }$. Доказать, что если матрицы операторов А, А' совпадают, то совпадают и их минимальные многочлены. Обобщить это утверждение на случай произвольных (не обязательно конечномерных) пространств.

Пусть А-оператор на конечномерном пространстве $V$, а $U$ — некоторое подпространство в $V$, инвариантное относительно А. Пусть $\mathbf{A}^{\prime }: U \rightarrow U$ — ограничение оператора А на подпространство $U$, а $\mathbf{A}^{\prime \prime }: V / U \rightarrow V / U$ — оператор на факторпространстве, определенный формулой

Доказать, что

Пусть многочлен $f(\lambda )$ аннулирует оператор А, действующий в пространстве $V$, причем $f(\lambda ) = f_{1}(\lambda ) f_{2}(\lambda )$, где многочлены $f_{1}(\lambda )$ и $f_{2}(\lambda )$ взаимно просты. Доказать, что пространство $V$ можно разложить в прямую сумму $V = L_{1} \oplus L_{2}$ двух инвариантных относительно А подпространств.

Доказать, что для любых взаимно простых многочленов $P(x), Q(x)$ и любого линейного оператора А имеет место равенство

Обобщить предыдущую задачу на случай произвольного числа попарно взаимно простых многочленов.

Многочлен $S(x)$ назовем полупростым, если при любом его разложении $S(x) = Q(x) R(x)$ в произведение многочленов сомножители $Q(x)$ и $R(x)$ взаимно просты. Доказать, что минимальный многочлен $\mu_{\mathrm{A}}(\lambda )$ оператора $\mathbf{A}$ на конечномерном векторном пространстве делится на максимальный полупростой делитель его характеристического многочлена $\chi_{\mathrm{A}}(\lambda )$.

Доказать, что линейный оператор в конечномерном пространстве полупрост тогда и только тогда, когда его минимальный многочлен $\mu_{\mathrm{A}}(\lambda )$ полупрост (и следовательно, совпадает с максимальным полупростым делителем характеристического многочлена $\left.\chi_{\mathrm{A}}(\lambda )\right)$.

Доказать, что если оператор А является одновременно и полупростым, и нильпотентным, то он нулевой оператор.

Показать, что матрица $\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ определяет:

1. полупростой оператор в стандартном базисе пространства $\mathbb {R}^{2}$;

2. нильпотентный оператор в стандартном базисе двумерного пространства над $\mathbb {Z}_{2}$.

Какие из следующих операторов А на пространстве $V$ являются нильпотентными, а какие — полупростыми:

(Разложение Жордана). Доказать, что любой оператор А в конечномерном векторном пространстве над полем характеристики нуль представляется в виде суммы $\mathbf{A} = \mathbf{S}+\mathbf{N}$ коммутирующих операторов $\mathbf{S}$ и $\mathbf{N}$, в которой $\mathbf{S}$ — полупростой, а $\mathbf{N}$ — нильпотентный операторы.

Для каждого из следующих операторов, заданного своей матрицей в стандартном базисе пространства $\mathbb {k}^{n}$, найти разложение Жордана:

Пусть $V$ — пространство всех бесконечных последовательностей $\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$ с элементами из $\mathbb {k}, P(\lambda ) = \lambda^{n}-a_{n-1} \lambda^{n-1}-\ldots -a_{1} \lambda -a_{0}$ — некоторый многочлен. Рассмотрим оператор сдвига $\mathbf{T}$, действующий по формуле

Пусть $U$-ядро оператора $P(\mathbf{T})$, а $\mathbf{T}^{\prime }$ — ограничение оператора $\mathbf{T}$ на $U$. Найти

Доказать, что если степень минимального многочлена оператора А равна $k$, то найдется такой вектор $v$, что векторы $v, \mathbf{A} v, \ldots$..., $\mathrm{A}^{k-1} v$ линейно независимы.

Доказать, что характеристический многочлен оператора совпадает с минимальным тогда и только тогда, когда в некотором базисе этот оператор имеет матрицу вида

Найти характеристический многочлен этого оператора.

Доказать, что характеристический многочлен оператора A совпадает с его минимальным многочленом тогда и только тогда, когда каждый оператор, коммутирующий с А, представляется в виде $P(\mathbf{A})$, где $P(x)$ — некоторый многочлен.

Доказать, что множество всех собственных векторов оператора А с одним и тем же собственным значением $\lambda$ вместе с нулевым вектором образуют линейное подпространство. Это подпространство называется собственным подпространством, отвечающим собственному значению $\lambda$, и обозначается через $V_{\lambda }(\mathbf{A})$.

Доказать, что множество собственных значений оператора A на конечномерном пространстве совпадает со множеством корней многочлена $\chi_{\mathrm{A}}(\lambda )$. Кратность корня $\lambda$ в характеристическом многочлене будет называться кратностью собственного значения $\lambda$.

Доказать, что если $v_{1}, \ldots , v_{k}$ — собственные векторы одного и того же оператора с попарно различными собственными значениями $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{k}$, то векторы $v_{1}, \ldots , v_{k}$ линейно независимы.

Пусть $V$ — вещественное пространство и $\mathrm{J}, \mathrm{J}^{2} = -\mathrm{Id}$, — комплексная структура на нем. Доказать, что:

Пусть $V$ — комплексное пространство. Сопряженное комплексное линейное пространство $\bar{V}$ как множество совпадает с $V$, операция сложения векторов также совпадает со сложением в $V$, а умножение на комплексные числа определено следующим образом:

(в правой части последнего равенства подразумевается умножение в $V$). Установить естественный изоморфизм $\left(V_{\mathbb {R}}\right)_{\mathbb {C}} \rightarrow V \oplus \bar{V}$.

Доказать, что если характеристический многочлен $\chi_{\mathrm{A}}(\lambda )$ оператора А, действующего в пространстве $V$ размерности $n$, имеет ровно $n$ попарно различных корней, то существует базис $e_{1}, \ldots , e_{n}$, в котором матрица оператора А диагональна.

Доказать, что все собственные значения оператора А в конечномерном пространстве отличны от нуля тогда и только тогда, когда $\operatorname {det} A \neq 0$.

Доказать, что если А- невырожденный оператор на конечномерном пространстве, то А и А $\mathbf{A}^{-1}$ имеют одни и те же собственные векторы. Как связаны между собой их соответствующие собственные значения?

Доказать, что размерность собственного подпространства $V_{\lambda }(\mathbf{A})$ не превосходит кратности корня $\lambda$ в характеристическом многочлене оператора A.

Доказать, что кратность корня $\lambda$ полупростого оператора совпадает с размерностью собственного подпространства $V_{\lambda }$ этого оператора.

Найти собственные значения, их кратности и собственные подпространства линейных операторов:

Найти собственные значения и собственные подпространства оператора транспонирования $\mathbf{T}: X \rightarrow X^{\top }$, действующего в пространстве Mat $_{n}$ квадратных матриц порядка $n$.

Найти собственные значения и собственные подпространства оператора:

Найти собственные значения, их кратности и соответствующие собственные подпространства операторов дифференцирования $\frac{d}{d x}$ и двукратного дифференцирования $\frac{d^{2}}{d x^{2}}$, действующих:

Пусть $p_{0}(t)$ — произвольный фиксированный вещественный многочлен, отличный от константы. Определим преобразование $\varphi$ пространства $\mathbb {R}^{t}$ всех вещественных многочленов в себя, которое сопоставляет произвольному многочлену $p(t)$ его остаток $r(t)$ при делении на $p_{0}(t): \varphi (p(t)) = r(t), p(t) = q(t) p_{0}(t)+r(t)$.

Пусть А, В — линейные операторы на конечномерном пространстве. Доказать, что собственные значения операторов АВ и ВА совпадают.

Пусть А, В — линейные операторы в произвольном векторном пространстве. Доказать, что ненулевые собственные значения операторов АВ и ВА совпадают.

Пусть $x$ — собственный вектор оператора А с собственным значением $\lambda$, а $f(t)$ — некоторый многочлен. Доказать, что $x$ является собственным вектором оператора $f(\mathbf{A})$ с собственным значением $f(\lambda )$.

Пусть D-оператор дифференцирования, а $\mathbf{X}$ — оператор умножения на $x$ в бесконечномерном пространстве $\mathbb {R}^{x}$ всех многочленов (или пространстве $C^{\infty }(\mathbb {R})$ бесконечно гладких функций) от $x$ с вещественными коэффициентами. Рассмотрим также операторы

Доказать следующие тождества:

В условиях предыдущей задачи доказать, что если функция $\psi (x)$ является собственным вектором оператора $\mathbf{H}$ с собственным значением $\lambda$, то $\mathbf{A}_{+} \psi$ и $\mathbf{A}_{-} \psi$ также будут собственными векторами (если они ненулевые) для оператора $\mathbf{H}$ с собственными значениями $\lambda +2$ и $\lambda -2$ соответственно.

Задача 1172: пусть D — оператор дифференцирования, а $\mathbf{X}$ — оператор умножения на $x$ в бесконечномерном пространстве $\mathbb {R}^{x}$ всех многочленов (или пространстве $C^{\infty }(\mathbb {R})$ бесконечно гладких функций) от $x$ с вещественными коэффициентами. Рассмотрим также операторы

В условиях задачи 1172 доказать, что если $\psi_{0}$ лежит в ядре оператора $\mathbf{A}_{-}$, то векторы $\psi_{k} = \mathbf{A}_{+}^{k} \psi_{0}$ являются собственными для оператора Н. Вычислить соответствующие собственные значения $\lambda_{k}$.

Задача 1172: пусть D — оператор дифференцирования, а $\mathbf{X}$ — оператор умножения на $x$ в бесконечномерном пространстве $\mathbb {R}^{x}$ всех многочленов (или пространстве $C^{\infty }(\mathbb {R})$ бесконечно гладких функций) от $x$ с вещественными коэффициентами. Рассмотрим также операторы

Рассмотрим

(многочлены Эрмита), где оператор $\mathbf{A}_{+}$определен в задаче 1172. Доказать следующие тождества:

Доказать, что для данного оператора А в $n$-мерном пространстве над полем $\mathbb {k}$ существует базис, в котором А имеет диагональную матрицу, тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Выяснить, какие из следующих матриц линейных операторов можно привести к диагональному виду заменой базиса. В случае, когда это возможно, найти базис из собственных векторов и матрицу оператора в этом базисе:

Матрицы $A$ и $B$ называются подобными, если существует невырожденная матрица $C$, для которой $B = C^{-1} A C$. Определить, какая из двух матриц