11.5

Жорданова нормальная форма линейных операторов

[14/64%]
Показать
LaTeX
Задача 1187

(Корневое подпространство). Пусть А-линейный оператор в пространстве VV. Доказать, что множество Rλ(A)⊂VR_{\lambda }(\mathrm{A}) \subset V, состоящее из всех корневых векторов оператора A\mathrm{A}, отвечающих данному собственному значению λ\lambda, и нулевого вектора, является линейным подпространством в VV.

?
Задача 1188

Доказать, что если операторы А и В перестановочны, то каждое корневое подпространство RλR_{\lambda } (A) оператора А инвариантно относительно В.

?
Задача 1189

Найти собственные значения и корневые подпространства линейных операторов, заданных следующими матрицами:

?
(1)

(26−1511−512−6)\left(\begin{array}{rrc}2 & 6 & -15 \\ 1 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & -6\end{array}\right);

(2)

(0−23211−1−100201−101)\left(\begin{array}{rrrr}0 & -2 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1\end{array}\right).

Задача 1190

Найти собственные значения и корневые подпространства оператора дифференцирования d/dxd / d x, действующего в пространстве вещественных бесконечно дифференцируемых функций на прямой R\mathbb {R}.

?
Задача 1191

(Корневое разложение). Доказать, что для любого оператора А в конечномерном пространстве VV над алгебраически замкнутым полем имеет место разложение

V=⨁λRλ(A) V = \bigoplus _{\lambda } R_{\lambda }(\mathbf{A})

где сумма берется по всем собственным значениям λ\lambda оператора A\mathbf{A}.

?
Задача 1192

Доказать, что размерность корневого подпространства Rλ(A)R_{\lambda }(\mathrm{A}) равна кратности корня λ\lambda в характеристическом многочлене χA(λ)\chi_{\mathrm{A}}(\lambda ).

?
Задача 1193

Пусть А-линейный оператор в пространстве VV над алгебраически замкнутым полем. Для собственного значения λ\lambda оператора А обозначим через πλ\pi_{\lambda } оператор проектирования на корневое подпространство Rλ(A)R_{\lambda }(\mathbf{A}) параллельно прямой сумме остальных корневых подпространств. Доказать, что формулы

S=∑λλπλ,N=A−S \mathbf{S} = \sum _{\lambda } \lambda \pi _{\lambda }, \quad \mathbf{N} = \mathbf{A}-\mathbf{S}

задают полупростой и нильпотентный операторы из разложения Жордана (см. задачу 1148).

?
Задача 1194

Доказать, что разложение Жордана A=S+N\mathrm{A} = \mathrm{S}+\mathrm{N} для оператора А в конечномерном векторном пространстве над R,C\mathbb {R}, \mathbb {C} (над произвольным полем нулевой характеристики) единственно.

?
Задача 1195

Пусть А- нильпотентный оператор на конечномерном линейном пространстве VV, т.е. Ak=0\mathrm{A}^{k} = 0 для некоторого kk. Доказать, что VV можно так разложить в прямую сумму инвариантных подпространств Vi,i=1,…,mV_{i}, i = 1, \ldots , m, чтобы ограничение оператора A\mathbf{A} на ViV_{i} имело в некотором базисе матрицу

[01…00001…0………00…0100…00] \left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right]
?
Задача 1196

В условиях предыдущей задачи доказать, что m=dim⁡(Ker⁡A)m = \operatorname {dim}(\operatorname {Ker} A), и, таким образом, количество клеток указанного вида не зависит от способа разложения.

Задача 1195: А — нильпотентный оператор на конечномерном линейном пространстве VV, т.е. Ak=0\mathrm{A}^{k} = 0 для некоторого kk; VV разложено в прямую сумму инвариантных подпространств Vi,i=1,…,mV_{i}, i = 1, \ldots , m, таких что ограничение оператора A\mathbf{A} на ViV_{i} имеет в некотором базисе жорданову клетку с нулями на диагонали.

?
Задача 1197

Обозначим через rjr_{j} количество жордановых клеток размера jj в разложении нильпотентного оператора A\mathbf{A}, для которого Ak=0\mathbf{A}^{k} = 0. Доказать равенства:

rk=dim⁡(Ker⁡Ak)−dim⁡(Ker⁡Ak−1)rk−1+rk=dim⁡(Ker⁡Ak−1)−dim⁡(Ker⁡Ak−2)rk−2+rk−1+rk=dim⁡(Ker⁡Ak−2)−dim⁡(Ker⁡Ak−3)……………………………………………………………………r1+r2+…+rk=dim⁡(Ker⁡A) \begin{aligned} & r_{k} = \operatorname {dim}\left(\operatorname {Ker} \mathbf{A}^{k}\right)-\operatorname {dim}\left(\operatorname {Ker} \mathbf{A}^{k-1}\right) \\ & r_{k-1}+r_{k} = \operatorname {dim}\left(\operatorname {Ker} \mathbf{A}^{k-1}\right)-\operatorname {dim}\left(\operatorname {Ker} \mathbf{A}^{k-2}\right) \\ & r_{k-2}+r_{k-1}+r_{k} = \operatorname {dim}\left(\operatorname {Ker} \mathbf{A}^{k-2}\right)-\operatorname {dim}\left(\operatorname {Ker} \mathbf{A}^{k-3}\right) \\ & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ & r_{1}+r_{2}+\ldots +r_{k} = \operatorname {dim}(\operatorname {Ker} \mathbf{A}) \end{aligned}

Используя эти соотношения, найти выражения rjr_{j} через dim⁡(Ker⁡Am)\operatorname {dim}\left(\operatorname {Ker} \mathbf{A}^{m}\right), где m=1,…,km = 1, \ldots , k.

?
Задача 1198

Найти жорданову форму оператора двукратного дифференцирования в пространстве C10[t]\mathbb {C}_{10}[t] многочленов степени не выше 10.

?
Задача 1199

Найти жорданову форму JJ и жорданов базис (ei)(e_{i}) для следующих операторов:

?
(1)

(−20−1−1−1−1100)\left(\begin{array}{rrr}-2 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right);

(2)

(−2−3−4−100111)\left(\begin{array}{rrr}-2 & -3 & -4 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)

(3)

(−2−4−5−1−3−3144)\left(\begin{array}{rrr}-2 & -4 & -5 \\ -1 & -3 & -3 \\ 1 & 4 & 4\end{array}\right);

(4)

(10151327−20−2−10)\left(\begin{array}{rrr}10 & 1 & 5 \\ 13 & 2 & 7 \\ -20 & -2 & -10\end{array}\right);

(5)

(2−3−4−1551−4−4)\left(\begin{array}{rrr}2 & -3 & -4 \\ -1 & 5 & 5 \\ 1 & -4 & -4\end{array}\right);

(6)

(0−2−3−1241−3−5)\left(\begin{array}{rrr}0 & -2 & -3 \\ -1 & 2 & 4 \\ 1 & -3 & -5\end{array}\right);

(7)

(1−4−31−5−4−154)\left(\begin{array}{rrr}1 & -4 & -3 \\ 1 & -5 & -4 \\ -1 & 5 & 4\end{array}\right)

(8)

(0−1−1−1−1−2011)\left(\begin{array}{rrr}0 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)

(9)

(a00b0a000ba0000a)\left(\begin{array}{llll}a & 0 & 0 & b \\ 0 & a & 0 & 0 \\ 0 & b & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a\end{array}\right);

(10)

(210001100011−1−1−10)\left(\begin{array}{rrrr}2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 0\end{array}\right);

(11)

(1012301012001010001000001)\left(\begin{array}{lllll}1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right);

(12)

(01000001000001000001132−2−3)\left(\begin{array}{rrrrr}0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 2 & -2 & -3\end{array}\right);

(13)

(201100111010−100001000201000111000−100)\left(\begin{array}{rrrrrr}2 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\end{array}\right);

(14)

(301111030000003011000300000030000003)\left(\begin{array}{llllll}3 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right);

(15)

(−3−525−201263−4−8−6−337)\left(\begin{array}{rrrr}-3 & -5 & 2 & 5 \\ -2 & 0 & 1 & 2 \\ 6 & 3 & -4 & -8 \\ -6 & -3 & 3 & 7\end{array}\right)

(16)

(34−1−347−1−4−12−203121220−4−13)\left(\begin{array}{rrrr}3 & 4 & -1 & -3 \\ 4 & 7 & -1 & -4 \\ -12 & -20 & 3 & 12 \\ 12 & 20 & -4 & -13\end{array}\right);

(17)

(−1111−11002−5−10−250−1)\left(\begin{array}{rrrr}-1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -5 & -1 & 0 \\ -2 & 5 & 0 & -1\end{array}\right);

(18)

(−5−927−3−21399−5−12−9−9310)\left(\begin{array}{rrrr}-5 & -9 & 2 & 7 \\ -3 & -2 & 1 & 3 \\ 9 & 9 & -5 & -12 \\ -9 & -9 & 3 & 10\end{array}\right).

Задача 1200

Найти жорданову форму JJ, матрицу CC перехода к жорданову базису, матрицы проекторов на корневые подпространства и разложение Жордана для следующих операторов:

?
(1)

(7−2−1410−104−56−2−13103−1−64)\left(\begin{array}{rrcc}7 & -2 & -14 & 10 \\ -1 & 0 & 4 & -5 \\ 6 & -2 & -13 & 10 \\ 3 & -1 & -6 & 4\end{array}\right)

(2)

(325−8−3−3−12194616−22237−9)\left(\begin{array}{rccc}3 & 2 & 5 & -8 \\ -3 & -3 & -12 & 19 \\ 4 & 6 & 16 & -22 \\ 2 & 3 & 7 & -9\end{array}\right);

(3)

(1−2−810−104−52−2−9101−1−44)\left(\begin{array}{rrrc}1 & -2 & -8 & 10 \\ -1 & 0 & 4 & -5 \\ 2 & -2 & -9 & 10 \\ 1 & -1 & -4 & 4\end{array}\right);

(4)

(3−1133111330056400−3−4−400123)\left(\begin{array}{rrrrr}3 & -1 & 1 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 5 & 6 & 4 \\ 0 & 0 & -3 & -4 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3\end{array}\right)

(5)

(21−2−11−102210034400−2−3−400123)\left(\begin{array}{rrrrr}2 & 1 & -2 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & -2 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3\end{array}\right)

(6)

(−4−142540−8−4−1200−4−400022000000)\left(\begin{array}{rrrrr}-4 & -1 & 4 & 2 & 5 \\ 4 & 0 & -8 & -4 & -12 \\ 0 & 0 & -4 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right);

(7)

(−796−41−45302001−6−4001−4−200−131)\left(\begin{array}{rrrrr}-7 & 9 & 6 & -4 & 1 \\ -4 & 5 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -6 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & 3 & 1\end{array}\right);

(8)

(−7−4−468956−9−12005−9−3004−7−20000−1)\left(\begin{array}{rrrrr}-7 & -4 & -4 & 6 & 8 \\ 9 & 5 & 6 & -9 & -12 \\ 0 & 0 & 5 & -9 & -3 \\ 0 & 0 & 4 & -7 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right);

(9)

(−1−1−2−1−4438−5800−410800−497003−6−5)\left(\begin{array}{rrrrr}-1 & -1 & -2 & -1 & -4 \\ 4 & 3 & 8 & -5 & 8 \\ 0 & 0 & -4 & 10 & 8 \\ 0 & 0 & -4 & 9 & 7 \\ 0 & 0 & 3 & -6 & -5\end{array}\right).