Подстановка линейного оператора в многочлен. Аннулирующие многочлены

Доказать, что каковы бы ни были два многочлена $P(x)$, $Q(x)$ и линейный оператор $\mathbf{A}$, операторы $P(\mathbf{A})$ и $Q(\mathbf{A})$ коммутируют между собой.

Доказать, что любой аннулирующий многочлен оператора делится на его минимальный многочлен. Вывести отсюда, что если оператор имеет хотя бы один аннулирующий многочлен, то его минимальный многочлен определен однозначно.

Найти минимальный многочлен оператора А на пространстве $V$ в каждом из следующих случаев:

Доказать, что минимальный многочлен оператора не меняется при расширении поля. А именно, пусть А, А' — операторы в конечномерных пространствах над полями $\mathbb {k}$ и $\mathbb {k}^{\prime }$ соответственно, причем $\mathbb {k}$ — подполе в $\mathbb {k}^{\prime }$. Доказать, что если матрицы операторов А, А' совпадают, то совпадают и их минимальные многочлены. Обобщить это утверждение на случай произвольных (не обязательно конечномерных) пространств.

Пусть А-оператор на конечномерном пространстве $V$, а $U$ — некоторое подпространство в $V$, инвариантное относительно А. Пусть $\mathbf{A}^{\prime }: U \rightarrow U$ — ограничение оператора А на подпространство $U$, а $\mathbf{A}^{\prime \prime }: V / U \rightarrow V / U$ — оператор на факторпространстве, определенный формулой

Доказать, что

Пусть многочлен $f(\lambda )$ аннулирует оператор А, действующий в пространстве $V$, причем $f(\lambda ) = f_{1}(\lambda ) f_{2}(\lambda )$, где многочлены $f_{1}(\lambda )$ и $f_{2}(\lambda )$ взаимно просты. Доказать, что пространство $V$ можно разложить в прямую сумму $V = L_{1} \oplus L_{2}$ двух инвариантных относительно А подпространств.

Доказать, что для любых взаимно простых многочленов $P(x), Q(x)$ и любого линейного оператора А имеет место равенство

Обобщить предыдущую задачу на случай произвольного числа попарно взаимно простых многочленов.

Многочлен $S(x)$ назовем полупростым, если при любом его разложении $S(x) = Q(x) R(x)$ в произведение многочленов сомножители $Q(x)$ и $R(x)$ взаимно просты. Доказать, что минимальный многочлен $\mu_{\mathrm{A}}(\lambda )$ оператора $\mathbf{A}$ на конечномерном векторном пространстве делится на максимальный полупростой делитель его характеристического многочлена $\chi_{\mathrm{A}}(\lambda )$.

Доказать, что линейный оператор в конечномерном пространстве полупрост тогда и только тогда, когда его минимальный многочлен $\mu_{\mathrm{A}}(\lambda )$ полупрост (и следовательно, совпадает с максимальным полупростым делителем характеристического многочлена $\left.\chi_{\mathrm{A}}(\lambda )\right)$.

Доказать, что если оператор А является одновременно и полупростым, и нильпотентным, то он нулевой оператор.

Показать, что матрица $\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ определяет:

1. полупростой оператор в стандартном базисе пространства $\mathbb {R}^{2}$;

2. нильпотентный оператор в стандартном базисе двумерного пространства над $\mathbb {Z}_{2}$.

Какие из следующих операторов А на пространстве $V$ являются нильпотентными, а какие — полупростыми:

(Разложение Жордана). Доказать, что любой оператор А в конечномерном векторном пространстве над полем характеристики нуль представляется в виде суммы $\mathbf{A} = \mathbf{S}+\mathbf{N}$ коммутирующих операторов $\mathbf{S}$ и $\mathbf{N}$, в которой $\mathbf{S}$ — полупростой, а $\mathbf{N}$ — нильпотентный операторы.

Для каждого из следующих операторов, заданного своей матрицей в стандартном базисе пространства $\mathbb {k}^{n}$, найти разложение Жордана:

Пусть $V$ — пространство всех бесконечных последовательностей $\left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right)$ с элементами из $\mathbb {k}, P(\lambda ) = \lambda^{n}-a_{n-1} \lambda^{n-1}-\ldots -a_{1} \lambda -a_{0}$ — некоторый многочлен. Рассмотрим оператор сдвига $\mathbf{T}$, действующий по формуле

Пусть $U$-ядро оператора $P(\mathbf{T})$, а $\mathbf{T}^{\prime }$ — ограничение оператора $\mathbf{T}$ на $U$. Найти

Доказать, что если степень минимального многочлена оператора А равна $k$, то найдется такой вектор $v$, что векторы $v, \mathbf{A} v, \ldots$..., $\mathrm{A}^{k-1} v$ линейно независимы.

Доказать, что характеристический многочлен оператора совпадает с минимальным тогда и только тогда, когда в некотором базисе этот оператор имеет матрицу вида

Найти характеристический многочлен этого оператора.

Доказать, что характеристический многочлен оператора A совпадает с его минимальным многочленом тогда и только тогда, когда каждый оператор, коммутирующий с А, представляется в виде $P(\mathbf{A})$, где $P(x)$ — некоторый многочлен.